Soit une projection d’un espace vectoriel de dimension .
Montrer .
Soient et deux -espaces vectoriels de dimensions finies respectives et avec .
On considère et vérifiant
Montrer que est un projecteur.
Déterminer son rang, son image et son noyau.
Solution
donc est un projecteur.
Le rang d’un projecteur est égal à sa trace donc
On a
On en déduit
On a
donc
Soient des projecteurs d’un espace de dimension finie.
Montrer que est un projecteur si, et seulement si, pour tous et tels que .
Soient vérifiant
Montrer
Solution
Les matrices sont des matrices de projection et donc
On en déduit
Or
Ainsi,
et la relation sur les rangs donne
Les espaces sont donc en somme directe
Pour tout , on peut écrire
En particulier, pour le vecteur , on obtient
La somme directe précédente donne alors par unicité d’écriture
et peut alors conclure.
Soient des projecteurs d’un espace de dimension finie vérifiant
En employant la trace, établir
En déduire que .
Calculer pour .
Solution
Lorsque est un projecteur, on sait . On a donc par linéarité de la trace
Soient . On sait lorsque car est un projecteur. Montrons pour en observant
Puisque est un projecteur, et sont supplémentaires. Par ce qui précède, et sont aussi supplémentaires. On en déduit11 1 On n’a pas directement l’égalité car il n’y a pas unicité d’un supplémentaire.
Pour , l’égalité donne
On a donc l’inclusion puis l’égalité par l’égalité des dimensions. En particulier, et donc .
Soient un -espace vectoriel de dimension finie et des projecteurs de dont la somme vaut . On note les images de . Montrer
Solution
Puisque , on a pour tout ,
Ainsi,
De plus,
Or les sont des projecteurs, donc .
Ainsi,
On peut alors conclure puis .
Soit un sous-groupe fini de tel que . Montrer que .
Solution
Posons . On a
Or, pour , l’application est une permutation du groupe et donc
Par suite, et est une projection vectorielle. Puisque son rang égale sa trace, . Ainsi, .
Soient ou et une partie non vide et finie de stable par multiplication.
Soit . Montrer que n’est pas injective.
En déduire que est un sous-groupe de .
Soient
Montrer, si , que . En déduire .
Trouver un supplémentaire, dans , stable par tous les éléments de , de
Montrer que
Que dire si cette somme est nulle?
Solution
L’application considérée est au départ d’un ensemble infini et à valeurs dans un ensemble fini, elle ne peut donc être injective et il existe , ce qui fournit avec car est inversible. On en déduit que et que . Cela suffit pour conclure que est un sous-groupe de .
Si alors et sont des permutations de . On en déduit que car pour chaque terme les sommes portent sur les mêmes éléments.
Puisque , et sont supplémentaires dans .
Si alors et pour tout , donc . Ainsi est stable par .
Si alors pour tout , donc puis .
Inversement, si alors et pour tout , et donc . Ainsi,
et est solution du problème posé.
est une projection donc et donc .
Si alors . Par suite, et il n’y a donc pas de vecteur non nul invariant pour tous les éléments de et inversement.
Soit vérifiant (avec ). On pose
Calculer .
Vérifier .
En déduire
Solution
Puisque , on a
Par récurrence pour tout . On en déduit
et donc est la matrice d’un projecteur.
Par suite,
Pour , on a donc et ainsi .
Inversement, si , il existe tel que et alors
donc puis . On peut alors conclure
Soient un espace vectoriel de dimension finie et un sous-groupe de de cardinal fini . Montrer
Édité le 14-10-2023
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