[<] Matrice d'une application linéaire [>] Étude d'endomorphisme connu par sa matrice
Soit
On note la base canonique de .
Soit l’endomorphisme de dont la matrice dans est .
On pose et .
Montrer que constitue une base de .
Écrire la matrice de dans cette base.
Déterminer une base de et de .
Solution
On vérifie que la famille est libre, puis c’est une base car formée de trois vecteurs en dimension 3.
Par calcul matriciel
et donc
On observe que et .
Le théorème du rang permet de conclure: est une base de et est une base de .
Dans l’espace réel , on considère le sous-espace vectoriel de dimension engendré par les fonctions11 1 Voir le sujet 4512.
Montrer que la dérivée d’une fonction de est encore une fonction de .
On note l’endomorphisme de défini par pour tout .
Donner la matrice de dans la base .
Application : Déterminer les fonctions réelles solutions sur de l’équation différentielle
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel réel .
On suppose que pour tout , les vecteurs et forment une famille liée.
Soit une base de .
Montrer que la matrice de dans est diagonale.
En calculant conclure que est une homothétie vectorielle, c’est-à-dire qu’il existe tel que pour tout .
Solution
Pour , savoir liée avec assure qu’il existe tel que . La matrice de dans est alors une matrice diagonale.
Pour , la famille est liée avec . Il existe donc tel que . Par linéarité de , il vient
et donc
Par liberté de la famille , on obtient . Ainsi, .
Soient et définie par .
Former la matrice de l’endomorphisme du -espace vectoriel dans la base .
Déterminer l’image et le noyau de .
Solution
On introduit et .
La matrice de dans la base est donc
Cas: . On a : l’endomorphisme est inversible et donc
Cas: . alors : l’endomorphisme n’est pas inversible. De plus, n’est pas l’endomorphisme nul, c’est donc un endomorphisme de rang .
On remarque
et donc est un vecteur directeur de la droite :
On remarque aussi
et donc est un vecteur directeur de la droite
Soient et définie par .
Vérifier que est un endomorphisme du -espace vectoriel .
Former la matrice de l’endomorphisme dans la base .
Déterminer le rang, l’image et le noyau de .
Soient et définie par .
Vérifier que est un endomorphisme du -espace vectoriel .
Former la matrice de dans la base .
À quelle condition sur et , l’endomorphisme est-il inversible?
Soit un endomorphisme du -espace vectoriel .
Établir qu’il existe un unique couple tel que .
Solution
On vérifie sans peine que, pour tous et tous ,
On a et . Afin d’identifier partie réelle et imaginaire, on écrit
On peut alors former la matrice de
On a
L’endomorphisme est donc inversible si, et seulement si, .
Soit . On exprime la matrice de dans la base
Par unicité de la représentation matricielle d’un endomorphisme,
Après résolution du système, on obtient
On peut aussi résoudre la question en montrant que l’application
est un isomorphisme d’espaces vectoriels en constatant qu’elle est linéaire, injective et qu’elle opère entre deux espaces de dimensions finies égales (à 4).
Soient et définie par .
Vérifier que est un endomorphisme du -espace vectoriel .
Former la matrice de dans la base .
Calculer le déterminant de en fonction de et .
Inversement, soit un endomorphisme du -espace vectoriel . Montrer qu’il existe d’uniques nombres complexes et tels que .
Déterminer les complexes pour lesquels désigne une symétrie vectorielle.
Solution
On vérifie sans peine que, pour tous et tous ,
On a et . Afin d’identifier partie réelle et imaginaire, on écrit
On peut alors former la matrice de
Immédiatement,
Analyse: Supposons . On a et ce qui donne
Ce système se résout pour fournir
Cela détermine de façon unique.
Synthèse: Pour les valeurs de et qui précèdent,
Les endomorphismes et sont égaux sur une base donc égaux sur l’espace entier.
On observe
L’endomorphisme est donc une symétrie si, et seulement si,
Dans le cas , on obtient .
Dans le cas , on obtient
En écrivant avec , on obtient aussi l’écriture
On considère les sous-espaces vectoriels supplémentaires de suivants:
On note la base canonique de .
On note la projection vectorielle sur parallèlement à , celle sur parallèlement à , et enfin, la symétrie vectorielle par rapport à et parallèlement à .
Former la matrice de dans .
En déduire les matrices, dans , de et de .
Solution
Pour calculons .
Comme , il existe tel que .
Comme on a ce qui donne
et donc
Par suite,
Comme ,
Dans l’espace , donner la matrice dans la base canonique de la projection sur le plan d’équation parallèlement à la droite d’équations .
Solution
Soit . Le projeté de sur parallèlement à est caractérisé géométriquement par
ce qui donne les conditions
(avec ). Après résolution, on obtient
La matrice cherchée est donc
Soit la matrice dont le coefficient général est donné par un coefficient binomial:
Soit l’endomorphisme représenté par la matrice dans la base canonique .
Exprimer simplement pour tout .
Calculer pour tout .
Calculer .
Solution
Pour ,
On en déduit
donc
d’où
donc
d’où
Soit . Pour , on pose .
Vérifier que définit un endomorphisme de .
Former la matrice de dans la base11 1 La famille des pour est une base de car il s’agit d’une famille de polynômes de degrés étagés (voir le sujet 5186). On peut aussi dire que c’est la base liée à la formule de Taylor en . .
L’endomorphisme est-il bijectif?
Soit un espace vectoriel réel de dimension finie .
Indiquer des endomorphismes de dont la représentation matricielle est la même dans toutes les bases de .
Soit une base de . Montrer que pour tout , la famille est une base de .
Déterminer tous les endomorphismes de dont la représentation matricielle est diagonale dans toutes les bases de .
Quels sont les endomorphismes de dont la représentation matricielle est la même dans toutes les bases de ?
Solution
Les endomorphismes ont la propriété voulue.
Les familles et engendrent le même espace vectoriel. Étant toutes deux formées de vecteurs, si l’une est libre, l’autre aussi.
Soit un endomorphisme de dont la matrice est diagonale dans toutes les bases de .
La matrice de dans la base est de la forme .
Puisque la matrice de dans la base est aussi diagonale, il existe tel que
Or par linéarité
Par liberté de la famille on identifie les scalaires et l’on peut affirmer
Ainsi, si un endomorphisme à une représentation matricielle diagonale dans toutes les bases de , sa matrice est de la forme et donc cet endomorphisme est de la forme .
Soit un tel endomorphisme. Si est sa matrice dans une base alors sa matrice dans la base a pour coefficient général
et comme cette matrice doit être égale à la précédente, on obtient
Ainsi, cet endomorphisme a une matrice diagonale dans toute base de et en vertu de ce qui précède, il est de la forme avec .
[<] Matrice d'une application linéaire [>] Étude d'endomorphisme connu par sa matrice
Édité le 29-08-2023
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