[<] Matrice d'une application linéaire [>] Étude d'endomorphisme connu par sa matrice

 
Exercice 1  1276  Correction  

Soit

A=(31-3-11111-1).

On note =(e1,e2,e3) la base canonique de 3.
Soit f l’endomorphisme de 3 dont la matrice dans est A.
On pose ε1=(1,1,1),ε2=(1,-1,0),ε3=(1,0,1) et =(ε1,ε2,ε3).

  • (a)

    Montrer que constitue une base de 3.

  • (b)

    Écrire la matrice de f dans cette base.

  • (c)

    Déterminer une base de Ker(f) et de Im(f).

Solution

  • (a)

    On vérifie que la famille est libre, puis c’est une base car formée de trois vecteurs en dimension 3.

  • (b)

    Par calcul matriciel

    f(ε1)=ε1,f(ε2)=2ε2,f(ε3)=0

    et donc

    Mat(f)=(100020000).
  • (c)

    On observe que ε3Ker(f) et ε1,ε2Im(f).
    Le théorème du rang permet de conclure: (ε3) est une base de Ker(f) et (ε1,ε2) est une base de Im(f).

 
Exercice 2  5205  

Dans l’espace réel 𝒞(,), on considère le sous-espace vectoriel E de dimension 4 engendré par les fonctions11 1 Voir le sujet 4512.

c0:xcos(x),c1:xxcos(x),s0:xsin(x)ets1:xxsin(x).
  • (a)

    Montrer que la dérivée d’une fonction de E est encore une fonction de E.

On note D l’endomorphisme de E défini par D(f)=f pour tout fE.

  • (b)

    Donner la matrice de D dans la base =(c0,c1,s0,s1).

  • (c)

    Application: Déterminer les fonctions réelles solutions sur de l’équation différentielle

    (E):y′′+2y+y=xcos(x).
 
Exercice 3  715   Correction  

Soient a* et f: définie par f(z)=z+az¯.

  • (a)

    Former la matrice de l’endomorphisme f du -espace vectoriel dans la base (1,i).

  • (b)

    Déterminer l’image et le noyau de f.

Solution

  • (a)

    Posons x=Re(a) et y=Im(a).
    f(1)=1+x+iy et f(i)=i-ai=y+i(1-x).
    La matrice de f dans la base (1,i) est donc

    (1+xyy1-x).
  • (b)

    Si |a|1 alors det(f)0. Im(f)= et Ker(f)={0}.
    Si |a|=1 alors det(f)=0 et f0. f est un endomorphisme de rang 1.
    On a f(eiθ/2)=2eiθ/2 et f(ei(θ+π)/2)=0 donc

    Im(f)=Vect{eiθ/2}etKer(f)=iIm(f).
 
Exercice 4  5202   

Soient θ et f: définie par f(z)=z+eiθz¯.

  • (a)

    Vérifier que f est un endomorphisme du -espace vectoriel .

  • (b)

    Former la matrice de l’endomorphisme f dans la base (1,i).

  • (c)

    Déterminer le rang, l’image et le noyau de f.

 
Exercice 5  5409   Correction  

Soient a,b et fa,b: définie par fa,b(z)=az+bz¯.

  • (a)

    Vérifier que fa,b est un endomorphisme du -espace vectoriel .

  • (b)

    Former la matrice de fa,b dans la base (1,i).

  • (c)

    Calculer le déterminant de fa,b en fonction de a et b.

  • (d)

    Inversement, soit f: un endomorphisme du -espace vectoriel . Montrer qu’il existe d’uniques nombres complexes a et b tels que f=fa,b.

  • (e)

    Déterminer les complexes a,b pour lesquels fa,b désigne une symétrie vectorielle.

Solution

  • (a)

    On vérifie sans peine que, pour tous λ1,λ2 et tous z1,z2,

    fa,b(λ1z1+λ2z2)=λ1fa,b(z1)+λ2fa,b(z2).
  • (b)

    On a fa,b(1)=a+b et fa,b(i)=i(a-b). Afin d’identifier partie réelle et imaginaire, on écrit

    a=Re(a)+iIm(a)etb=Re(b)+iIm(b).

    On peut alors former la matrice de fa,b

    Mat(1,i)(fa,b)=(Re(a)+Re(b)Im(b)-Im(a)Im(a)+Im(b)Re(a)-Re(b)).
  • (c)

    Immédiatement,

    det(fa,b) =(Re(a)+Re(b))(Re(a)-Re(b))-(Im(a)+Im(b))(Im(b)-Im(a))
    =|a|2-|b|2.
  • (d)

    Analyse: Supposons f=fa,b. On a f(1)=fa,b(1) et f(i)=fa,b(i) ce qui donne

    {a+b=f(1)i(a-b)=f(i).

    Ce système se résout pour fournir

    a=12(f(1)-if(i))etb=12(f(1)+if(i)).

    Cela détermine (a,b)2 de façon unique.

    Synthèse: Pour les valeurs de a et b qui précèdent,

    {f(1)=fa,b(1)f(i)=fa,b(i).

    Les endomorphismes f et fa,b sont égaux sur une base donc égaux sur l’espace entier.

  • (e)

    On observe

    fa,b(fa,b(z))=(a2+|b|2)z+2Re(a)bz¯.

    L’endomorphisme fa,b est donc une symétrie si, et seulement si,

    {a2+|b|2=12Re(a)b=0.

    Dans le cas b=0, on obtient a=±1.

    Dans le cas b0, on obtient

    a=ixetb=1+x2eiθ avec (x,θ)2.

    En écrivant x=sh(φ) avec φ, on obtient aussi l’écriture

    a=ish(φ)etb=ch(φ)eiθ.
 
Exercice 6  1270   Correction  

On considère les sous-espaces vectoriels supplémentaires de 3 suivants:

P={(x,y,z)3|x+2y-z=0}etD=Vect(w) où w=(1,0,-1).

On note =(i,j,k) la base canonique de 3.

On note p la projection vectorielle sur P parallèlement à D, q celle sur D parallèlement à P, et enfin, s la symétrie vectorielle par rapport à P et parallèlement à D.

  • (a)

    Former la matrice de p dans .

  • (b)

    En déduire les matrices, dans , de q et de s.

Solution

  • (a)

    Pour u=(x,y,z) calculons p(u)=(x,y,z).
    Comme p(u)-uD, il existe λ𝕂 tel que p(u)=u+λ.w.
    Comme p(u)P on a x+2y-z=0 ce qui donne

    λ=-(x+2y-z)/2

    et donc

    p(u)=((x-2y+z)/2,y,(x+2y+z)/2).

    Par suite,

    Mat(p)=(1/2-11/20101/211/2).
  • (b)

    Comme q=I-p et s=2p-I,

    Mat(q)=(1/21-1/2000-1/2-11/2) et Mat(s)=(0-21010120).
 
Exercice 7  5302   Correction  

Dans l’espace 3, donner la matrice dans la base canonique de la projection sur le plan P d’équation x+y+z=0 parallèlement à la droite D d’équations x=y2=z3.

Solution

Soit u=(x,y,z)3. Le projeté u=(x,y,z) de u sur P parallèlement à D est caractérisé géométriquement par

uPetu-uD=Vect{(1,2,3)}

ce qui donne les conditions

{x+y+z=0x=λ+xy=2λ+yz=3λ+z

(avec λ). Après résolution, on obtient

{x=16(5x-y-z)y=16(-2x+4y-2z)z=16(-3x-3y+3z)

La matrice cherchée est donc

16(5-1-1-24-2-3-33)
 
Exercice 8  714   Correction  

Soit A=(ai,j)1i,jn+1n+1() la matrice dont le coefficient général est donné par un coefficient binomial:

ai,j=(j-1i-1).

Soit φ(n[X]) l’endomorphisme représenté par la matrice A dans la base canonique (1,X,,Xn).

  • (a)

    Exprimer simplement φ(P) pour tout Pn[X].

  • (b)

    Calculer Am pour tout m.

  • (c)

    Calculer A-1.

Solution

  • (a)

    Pour 0kn,

    φ(Xk)=i=0n(ki)Xi=i=0k(ki)Xi+i=k+1n(ki)=0Xi=(X+1)k.

    On en déduit

    φ(P)=P(X+1).
  • (b)

    φm(P)=P(X+m) donc

    φm(Xk)=(X+m)k=i=0k(ki)mk-iXi=i=0n(ki)mk-iXi

    d’où

    Am=(mj-iai,j)1i,jn+1.
  • (c)

    φ-1(P)=P(X-1) donc

    φ-1(Xk)=(X-1)k

    d’où

    A-1=((-1)j-iai,j)1i,jn+1.
 
Exercice 9  5201   

Soit n. Pour Pn[X], on pose φ(P)=nXP-(X2-1)P.

  • (a)

    Vérifier que φ définit un endomorphisme de n[X].

  • (b)

    Former la matrice de φ dans la base11 1 La famille des (X-1)k pour k=0,,n est une base de n[X] car il s’agit d’une famille de polynômes de degrés étagés (voir le sujet 5186). On peut aussi dire que c’est la base liée à la formule de Taylor en λ=1 (). ((X-1)k)0kn.

  • (c)

    L’endomorphisme φ est-il bijectif?

 
Exercice 10  3160     CCP (MP)Correction  

Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie n2.

  • (a)

    Indiquer des endomorphismes de E dont la représentation matricielle est la même dans toutes les bases de E.

  • (b)

    Soit (e1,,en) une base de E. Montrer que pour tout i{2,,n}, la famille (e1+ei,e2,,en) est une base de E.

  • (c)

    Déterminer tous les endomorphismes de E dont la représentation matricielle est diagonale dans toutes les bases de E.

  • (d)

    Quels sont les endomorphismes de E dont la représentation matricielle est la même dans toutes les bases de E?

Solution

  • (a)

    Les endomorphismes λIdE ont la propriété voulue.

  • (b)

    Les familles (e1,,en) et (e1+ei,e2,,en) engendrent le même espace vectoriel. Étant toutes deux formées de n vecteurs, si l’une est libre, l’autre aussi.

  • (c)

    Soit u un endomorphisme de E dont la matrice est diagonale dans toutes les bases de E.
    La matrice de u dans la base (e1,,en) est de la forme diag(λ1,λ2,,λn).
    Puisque la matrice de u dans la base (e1+ei,e2,,en) est aussi diagonale, il existe α tel que

    u(e1+ei)=α(e1+ei).

    Or par linéarité

    u(e1+ei)=u(e1)+u(ei)=λ1e1+λiei.

    Par liberté de la famille (e1,ei) on identifie les scalaires et l’on peut affirmer

    λ1=α=λi.

    Ainsi, si un endomorphisme à une représentation matricielle diagonale dans toutes les bases de E, sa matrice est de la forme λIn et donc cet endomorphisme est de la forme λIdE.

  • (d)

    Soit u un tel endomorphisme. Si A=(ai,j) est sa matrice dans une base (e1,,en) alors sa matrice dans la base (e1,2e2,,nen) a pour coefficient général

    jiai,j

    et comme cette matrice doit être égale à la précédente, on obtient

    i,j{1,,n},ijai,j=0.

    Ainsi, cet endomorphisme a une matrice diagonale dans toute base de E et en vertu de ce qui précède, il est de la forme λIdE avec λ.

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Édité le 08-11-2019

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