Soit $x\notin \mathrm{Ker}\left(f^{n-1}\right)$. Un tel $x$ existe puisque $f^{n-1}\ne 0$.
Considérons la famille $ℬ=(f^{n-1}(x),\mathrm{\dots },f(x),x)$.
Supposons

En y appliquant successivement $f^{n-1},\mathrm{\dots },f,\mathrm{Id}$ on obtient ${\lambda }_0=0,\mathrm{\dots },{\lambda }_{n-2}=0$ puis ${\lambda }_{n-1}=0$ car $f^{n-1}(x)\ne 0_E$.
$ℬ$ est une famille libre formée de $n=dimE$ vecteurs, c’est donc une base de $E$.
De plus, ${\mathrm{Mat}}_{ℬ}(f)$ est de la forme convenable.

• (a)

  Comme $f^{n-1}\ne 0,\exists x\in E,f^{n-1}(x)\ne 0$.
  Si ${\lambda }_{0}x+{\lambda }_{1}f(x)+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_{n-1}{f}^{n-1}(x)=0$ alors:
  en composant avec $f^{n-1}$, on obtient ${\lambda }_0{f}^{n-1}(x)=0$ d’où ${\lambda }_0=0$.
  en composant successivement avec $f^{n-2},\mathrm{\dots },f,I$, on obtient successivement ${\lambda }_1=0,\mathrm{\dots },{\lambda }_{n-2}=0,{\lambda }_{n-1}=0$
  Par suite, $ℬ=(x,f(x),f^2(x),\mathrm{\dots },f^{n-1}(x))$ est libre et forme donc une base de $E$.

• (b)

  On a

  $${\mathrm{Mat}}_{B}f=\left(\begin{array}{cccc}\hfill 0\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill (0)\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill (0)\hfill & \hfill \hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right)=A$$

  puis

  $${\mathrm{Mat}}_{ℬ}(f^2)=A^2=\left(\begin{array}{cccc}\hfill 0\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill (0)\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill (0)\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right),\mathrm{\dots },\text{.}$$

  $${\mathrm{Mat}}_{ℬ}(f^{n-1})=A^{n-1}=\left(\begin{array}{cccc}\hfill 0\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill (0)\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill \hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

• (c)

  Notons $C(f)=\{g\in ℒ(E)|g\circ f=f\circ g\}$.
  Il est clair que $\mathrm{Vect}(I,f,f^2,\mathrm{\dots },f^{n-1})\subset C(f)$.
  Inversement, soit $g\in C(f)$, notons $a_0,\mathrm{\dots },a_{n-1}$ les composantes de $g(x)$ dans $ℬ$. On a

  $$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill g(x)=a_{0}x+a_{1}f(x)+\mathrm{\cdots }+a_{n-1}{f}^{n-1}(x)& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill g(f(x))=f(g(x))=a_{0}f(x)+\mathrm{\cdots }+a_{n-2}{f}^{n-1}(x)& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill \mathrm{⋮}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill g(f^{n-1}(x))=f^{n-1}(g(x))=a_0{f}^{n-1}(x)\text{.}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

  Par suite,

  $${\mathrm{Mat}}_{ℬ}g=\left(\begin{array}{cccc}\hfill a_0\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill (0)\hfill \\ \hfill a_1\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill a_{n-1}\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill a_1\hfill & \hfill a_0\hfill \end{array}\right)=a_{0}I+a_{1}A+\mathrm{\cdots }+a_{n-1}{A}^{n-1}\text{.}$$

  Donc $g=a_{0}I+a_{1}f+\mathrm{\cdots }+a_{n-1}{f}^{n-1}\in \mathrm{Vect}(I,f,\mathrm{\dots },f^{n-1})$.
  Ainsi,

  $$C(f)=\mathrm{Vect}(I,f,f^2,\mathrm{\dots },f^{n-1})\text{.}$$