[<] Changement de bases [>] Rang d'une matrice
Soient un -espace vectoriel de dimension et tel que et .
Montrer qu’il existe une base de dans laquelle la matrice de est
Solution
Comme , il existe tel que . Posons
Si alors
En appliquant à cette relation, on a car on sait .
Puisque , on a et sans plus de difficultés on montre aussi et .
La famille est libre en dimension 3, c’est donc une base de . La matrice de dans celle-ci est comme voulue.
Soit un endomorphisme de vérifiant . Montrer que l’on peut trouver une base de dans laquelle la matrice de est
Soient un -espace vectoriel de dimension et tel que et .
Montrer qu’il existe une base de pour laquelle:
Solution
Soit . Un tel existe puisque .
Considérons la famille .
Supposons
En y appliquant successivement on obtient puis car .
est une famille libre formée de vecteurs, c’est donc une base de .
De plus, est de la forme convenable.
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension vérifiant
Justifier qu’il existe un vecteur tel que la famille forme une base de .
Déterminer les matrices de dans cette base.
En déduire que
Solution
Comme .
Si alors:
en composant avec , on obtient d’où .
en composant successivement avec , on obtient successivement
Par suite, est libre et forme donc une base de .
On a
puis
Notons .
Il est clair que .
Inversement, soit , notons les composantes de dans . On a
Par suite,
Donc .
Ainsi,
Soit un endomorphisme d’un espace réel de dimension finie vérifiant .
Montrer qu’il existe une base de dans laquelle la matrice de s’écrit par blocs
où les désignent des blocs nuls de tailles appropriées.
Soit un endomorphisme non nul d’un -espace vectoriel de dimension vérifiant .
Soit . Démontrer que si avec et alors et .
Montrer que
Prouver . Montrer que, si alors est une famille libre de .
Que vaut ? En déduire .
Déterminer une base de dans laquelle la matrice de est
Solution
Par hypothèse et . En composant l’identité avec , on obtient
et il en découle
Ce qui précède assure l’unicité de la décomposition d’un vecteur de et donc le caractère direct de la somme.
De plus, pour , en posant et , on vérifie et
On peut donc affirmer que est la somme directe de et .
On a donc . Or donc puis .
Soit un vecteur non nul de . Supposons
(1) |
En composant avec , on obtient puis
(2) |
La combinaison donne . Sachant , on obtient puis car et sont réels. La famille est donc libre.
En dimension impaire . Si l’endomorphisme est inversible, la relation peut être simplifiée en . Ceci donne ce qui est incompatible avec . On en déduit que n’est pas inversible: .
La conjonction des résultats qui précèdent donne
Soit un vecteur non nul de et un vecteur non nul de . La famille est base de et la famille est base de . Ces deux espaces étant supplémentaires dans , la famille est base de . La matrice de dans celle-ci est de la forme voulue.
Soit un élément non nul de vérifiant
Montrer que et que l’on peut trouver une base dans laquelle a pour matrice
Solution
Soit . Il existe tel que et alors
Ainsi puis, par le théorème du rang, on peut affirmer
Si alors puis . C’est impossible.
On en déduit que et puisque , on a .
Soit non nul.
Puisque par hypothèse n’est pas l’application nulle, considérons vecteur non nul. Posons .
On vérifie
De plus, les vecteurs et ne sont pas colinéaires.
En effet, si , on obtient en composant par , et l’on en déduit . Sachant , on obtient ce qui est impossible avec .
Puisque est une famille libre de et puisque est une famille libre de , on peut affirmer que est une base de . Dans celle-ci, la matrice de est égale à .
Soient tel que et . Calculer .
Solution
Si alors .
Sinon, il existe une base de dans laquelle la matrice de est
La matrice de commutant avec celle de , elle est de la forme
Puisque , il vient .
Par suite, la matrice de est nulle.
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Édité le 14-10-2023
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