Il existe une colonne $X$ telle que $AX\ne 0$ et alors $\mathrm{Im}(A)=\mathrm{Vect}(AX)$.
$A^{2}X\in \mathrm{Im}(A)$ donc il existe $\lambda \in 𝕂$ tel que $A^{2}X=\lambda AX$.
De plus, pour $Y\in \mathrm{Ker}(A)$, $A^{2}Y=0=\lambda AY$.
Enfin $\mathrm{Ker}(A)$ et $\mathrm{Vect}(X)$ sont supplémentaires dans ${ℳ}_{n\mathrm{,1}}(𝕂)$ donc $A^2=\lambda A$.

• (a)

  Soit $U$ une colonne non nulle de l’image de $H$.
  Pour tout $1\le j\le p$, la colonne $C_j$ de $H$ peut s’écrire $C_j={\lambda }_{j}U$ avec ${\lambda }_j\in 𝕂$.
  La matrice colonne $V={}^t\left(\begin{array}{ccc}\hfill {\lambda }_1\hfill & \hfill \mathrm{\dots }\hfill & \hfill {\lambda }_n\hfill \end{array}\right)$ vérifie alors $H=U{}^{t}V$.

• (b)

  On a alors $H^2=U({}^{t}VU){}^{t}V$ avec $\lambda ={}^{t}VU$ un scalaire donc $H^2=\lambda H$ et

  $$\lambda ={}^{t}VU=\mathrm{tr}\left({}^{t}VU\right)=\mathrm{tr}\left(U{}^{t}V\right)=\mathrm{tr}(H)\text{.}$$

• (c)

  En développant

  $$({\mathrm{I}}_n+H)\left({\mathrm{I}}_n-\frac{1}{1+\mathrm{tr}(H)}H\right)={\mathrm{I}}_n+H-\frac{1}{1+\mathrm{tr}(H)}H-\frac{1}{1+\mathrm{tr}(H)}{H}^2={\mathrm{I}}_n\text{.}$$

  Par le théorème d’inversibilité des matrices, on obtient ${\mathrm{I}}_n+H$ est inversible et

  $${({\mathrm{I}}_n+H)}^{-1}={\mathrm{I}}_n-\frac{1}{1+\mathrm{tr}(H)}H\text{.}$$

• (d)

  On a $\mathrm{rg}(H{A}^{-1})=\mathrm{rg}(H)=1$ car on ne modifie pas le rang en multipliant par une matrice inversible.
  On en déduit que ${\mathrm{I}}_n+H{A}^{-1}$ est inversible et

  $${\left({\mathrm{I}}_n+H{A}^{-1}\right)}^{-1}={\mathrm{I}}_n-\frac{1}{1+\mathrm{tr}(H{A}^{-1})}H{A}^{-1}\text{.}$$

  En multipliant par la matrice inversible $A$, on obtient $A+H=\left({\mathrm{I}}_n+H{A}^{-1}\right)A$ inversible et

  $${(A+H)}^{-1}=A^{-1}{\left({\mathrm{I}}_n+H{A}^{-1}\right)}^{-1}=A_n^{-1}-\frac{1}{1+\mathrm{tr}(H{A}^{-1})}{A}^{-1}H{A}^{-1}\text{.}$$