[<] Rang d'une matrice par blocs [>] Matrices équivalentes

 
Exercice 1  700  Correction  

Soit A une matrice carrée de rang 1. Montrer qu’il existe λ𝕂 tel que A2=λA.

Solution

Il existe une colonne X telle que AX0 et alors Im(A)=Vect(AX).
A2XIm(A) donc il existe λ𝕂 tel que A2X=λAX.
De plus, pour YKer(A), A2Y=0=λAY.
Enfin Ker(A) et Vect(X) sont supplémentaires dans n,1(𝕂) donc A2=λA.

 
Exercice 2  701   

Soit An(𝕂) une matrice de rang 1.

  • (a)

    Établir l’existence de deux colonnes X,Yn,1(𝕂) vérifiant A=YXt.

  • (b)

    En déduire l’existence de λ𝕂 tel que A2=λA.

 
Exercice 3  4974     MINES (PC)

Soient (X1,,Xn) et (Y1,,Yn) deux familles libres d’éléments de n,1().

Établir que la famille (XiYjt)1i,jn est une base de n() constituée de matrices de rang 1.

 
Exercice 4  3460   Correction  

Soit Hn() une matrice de rang 1.

  • (a)

    Montrer qu’il existe des matrices U,Vn,1(𝕂) telles que H=UVt.

  • (b)

    En déduire

    H2=tr(H)H.
  • (c)

    On suppose tr(H)-1. Montrer que In+H est inversible et

    (In+H)-1=In-11+tr(H)H.
  • (d)

    Soient AGLn(𝕂) telle que tr(HA-1)-1. Montrer que A+H est inversible et

    (A+H)-1=A-1-11+tr(HA-1)A-1HA-1.

Solution

  • (a)

    Soit U une colonne non nulle de l’image de H.
    Pour tout 1jp, la colonne Cj de H peut s’écrire Cj=λjU avec λj𝕂.
    La matrice colonne V=(λ1λn)t vérifie alors H=UVt.

  • (b)

    On a alors H2=U(VtU)Vt avec λ=VtU un scalaire donc H2=λH et

    λ=VtU=tr(VtU)=tr(UVt)=tr(H).
  • (c)

    En développant

    (In+H)(In-11+tr(H)H)=In+H-11+tr(H)H-11+tr(H)H2=In.

    Par le théorème d’inversibilité des matrices, on obtient In+H est inversible et

    (In+H)-1=In-11+tr(H)H.
  • (d)

    On a rg(HA-1)=rg(H)=1 car on ne modifie pas le rang en multipliant par une matrice inversible.
    On en déduit que In+HA-1 est inversible et

    (In+HA-1)-1=In-11+tr(HA-1)HA-1.

    En multipliant par la matrice inversible A, on obtient A+H=(In+HA-1)A inversible et

    (A+H)-1=A-1(In+HA-1)-1=An-1-11+tr(HA-1)A-1HA-1.

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Édité le 08-11-2019

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