[<] Rang d'une matrice [>] Matrices équivalentes
Soit une matrice de rang .
Établir l’existence de deux colonnes vérifiant .
En déduire l’existence de tel que .
Soit une matrice carrée de rang .
Montrer qu’il existe tel que .
Solution
Il existe une colonne telle que car n’est pas la matrice nulle.
On a alors .
Or et il existe donc tel que .
De plus, pour , .
Enfin, les espaces et sont supplémentaires dans donc .
Soient et deux familles libres d’éléments de .
Établir que la famille est une base de constituée de matrices de rang .
Soit une matrice de rang .
Montrer qu’il existe des matrices telles que .
En déduire
On suppose . Montrer que est inversible et
Soient telle que . Montrer que est inversible et
Solution
Soit une colonne non nulle de l’image de .
Pour tout , la colonne de peut s’écrire avec .
La matrice colonne vérifie alors .
On a alors avec un scalaire donc et
En développant
Par le théorème d’inversibilité des matrices, on obtient est inversible et
On a car on ne modifie pas le rang en multipliant par une matrice inversible.
On en déduit que est inversible et
En multipliant par la matrice inversible , on obtient inversible et
[<] Rang d'une matrice [>] Matrices équivalentes
Édité le 28-05-2025
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