Exercice 1 4963 Correction

Soit $A \in ℳ_{n, p} (ℝ)$ . Existe-t-il une matrice $M \in ℳ_{p, n} (ℝ)$ vérifiant $A = A M A$ ?

Solution

Soit $r = rg (A)$ . On peut écrire $A = Q J_{r} P$ avec $P, Q$ inversibles et $J_{r}$ matrice canonique de rang $r$ de type $(n, p)$ . Considérons alors $M = P^{- 1} J_{r}^{'} Q^{- 1}$ avec $J_{r}^{'}$ matrice canonique de rang $r$ de type $(p, n)$ . Puisque $J_{r} J_{r}^{'} J_{r} = J_{r}$ , on obtient par simple calcul $A M A = A$ .

Exercice 2 703 Correction

(a)

Montrer qu’une matrice $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ est non inversible si, et seulement si, elle est équivalente à une matrice nilpotente.
(b)

Soit $f : ℳ_{n} (𝕂) \to 𝕂$ une application vérifiant: $f (O_{n}) = 0$ , $f (I_{n}) \neq 0$ et pour tous $A, B \in ℳ_{n} (𝕂)$ ,

$f (A B) = f (A) f (B) .$

Montrer que $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ est inversible si, et seulement si, $f (A) \neq 0$ .

Solution

(a)

Si $A$ n’est pas inversible alors $rg (A) < n$ . Or il est possible de construire une matrice nilpotente de rang égal à $rg (A)$ . Deux matrices étant équivalentes si, et seulement si, elles ont le même rang, on peut conclure que $A$ est équivalente à une matrice nilpotente. La réciproque est immédiate.
(b)

Si $A$ est inversible alors $f (A) f (A^{- 1}) = f (I_{n}) = 1$ donc $f (A) \neq 0$ . Si $A$ n’est pas inversible alors $A$ est équivalente à une matrice nilpotente $B$ . Pour celle-ci, on a $f (B) = 0$ car $f (B^{n}) = f {(B)}^{n}$ . Puisque l’on peut écrire $A = P B Q$ avec $P$ et $Q$ inversibles, on peut conclure $f (A) = 0$ .

Matrices équivalentes