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Exercice 1  1290  

Soit An,p(𝕂) une matrice de rang r. Montrer qu’il existe des matrices B et C, respectivement dans n,r(𝕂) et r,p(𝕂), telles que A=BC.

 
Exercice 2  2602   

Soit An() une matrice de rang r. Déterminer la dimension de l’espace

{Bn()|ABA=On}.
 
Exercice 3  703   Correction  
  • (a)

    Montrer qu’une matrice An(𝕂) est non inversible si, et seulement si, elle est équivalente à une matrice nilpotente.

  • (b)

    Soit f:n(𝕂)𝕂 une application vérifiant: f(On)=0, f(In)0 et pour tous A,Bn(𝕂),

    f(AB)=f(A)f(B).

    Montrer que An(𝕂) est inversible si, et seulement si, f(A)0.

Solution

  • (a)

    Si A n’est pas inversible alors rg(A)<n. Or il est possible de construire une matrice nilpotente de rang égal à rg(A). Deux matrices étant équivalentes si, et seulement si, elles ont le même rang, on peut conclure que A est équivalente à une matrice nilpotente. La réciproque est immédiate.

  • (b)

    Si A est inversible alors f(A)f(A-1)=f(In)=1 donc f(A)0. Si A n’est pas inversible alors A est équivalente à une matrice nilpotente B. Pour celle-ci, on a f(B)=0 car f(Bn)=f(B)n. Puisque l’on peut écrire A=PBQ avec P et Q inversibles, on peut conclure f(A)=0.

 
Exercice 4  1602   Correction  

Soient A,Bn(𝕂).

  • (a)

    Justifier qu’il existe U,VGLn(𝕂) tels que

    rg(UA+BV)=min(n,rg(A)+rg(B)).
  • (b)

    On suppose rg(A)+rg(B)n. Montrer qu’il existe U,VGLn(𝕂) tels que

    UA+BVGLn().

Solution

  • (a)

    Posons r=rg(A) et s=rg(B). Les matrices A et B sont respectivement équivalentes aux matrices

    Jr=(IrOr,n-rOn-r,tOn-r)etJs=(On-sOn-s,sOs,n-sIs).

    Il existe donc P,Q,R,SGLn() telles que

    PAQ=Jr et RBS=Js

    et alors

    PAQ+RBS=Jr+Js

    qui est une matrice de rang min(n,r+s).
    On peut aussi écrire

    (R-1P)A+B(SQ-1)=R-1(Jr+Js)Q-1

    et en posant U=R-1P et V=SQ-1, on obtient U,VGLn() telles que

    rg(UA+BV)=min(n,r+s).
  • (b)

    Si r+sn alors min(n,r+s)=n et ce qui précède conduit à une matrice inversible.

 
Exercice 5  4963   Correction  

Soit An,p(). Existe-t-il une matrice Mp,n() vérifiant A=AMA?

Solution

Soit r=rg(A). On peut écrire A=QJrP avec P,Q inversibles et Jr matrice canonique de rang r de type (n,p). Considérons alors M=P-1JrQ-1 avec Jr matrice canonique de rang r de type (p,n). Puisque JrJrJr=Jr, on obtient par simple calcul AMA=A.

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Édité le 08-11-2019

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