Exercice 1 5198

(a)

Donner la matrice dans la base canonique de l’endomorphisme

$f : {\begin{matrix} ℝ^{3} & \to & ℝ^{3} \\ (x, y, z) & \mapsto & (y - z, z - x, x - y) . \end{matrix}$
(b)

Donner la matrice dans la base canonique de l’endomorphisme

$φ : {\begin{matrix} ℝ_{2} [X] & \to & ℝ_{2} [X] \\ a X^{2} + b X + c & \mapsto & a + b X + c X^{2} . \end{matrix}$
(c)

On suppose $ℂ$ muni de sa structure d’espace vectoriel réel. Donner la matrice dans la base $(1, i)$ de l’endomorphisme

$g : {\begin{matrix} ℂ & \to & ℂ \\ z & \mapsto & (1 + i) z . \end{matrix}$

Exercice 2 5197

(a)

Donner la matrice de l’application linéaire

$f : {\begin{matrix} ℝ^{3} & \to & ℝ^{2} \\ (x, y, z) & \mapsto & (x + y - z,2 x + z) \end{matrix}$

relative aux bases canoniques des espaces $ℝ^{3}$ et $ℝ^{2}$ .
(b)

Soient $a, b, c, d$ des réels. Donner la matrice de l’application linéaire

$E : {\begin{matrix} ℝ_{3} [X] & \to & ℝ^{4} \\ P & \mapsto & (P (a), P (b), P (c), P (d)) \end{matrix}$

relative aux bases canoniques de $ℝ_{3} [X]$ et $ℝ^{4}$ .

Exercice 3 1269 Correction

Déterminer la matrice relative aux bases canoniques des applications linéaires $f$ suivantes:

(a)

$f : {\begin{matrix} ℝ^{3} & \to & ℝ^{2} \\ (x, y, z) & \mapsto & (x + y, y - 2 x + z) \end{matrix}$
(b)

$f : {\begin{matrix} ℝ^{3} & \to & ℝ^{3} \\ (x, y, z) & \mapsto & (y + z, z + x, x + y) \end{matrix}$
(c)

$f : {\begin{matrix} ℝ_{3} [X] & \to & ℝ_{3} [X] \\ P & \mapsto & P (X + 1) \end{matrix}$
(d)

$f : {\begin{matrix} ℝ_{3} [X] & \to & ℝ^{4} \\ P & \mapsto & (P (1), P (2), P (3), P (4)) \end{matrix}$

Solution

On note $A$ la représentation matricielle cherchée.

(a)

$A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ - 2 & 1 & 1 \end{matrix}) .$
(b)

$A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}) .$
(c)

$A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .$
(d)

$A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 3 & 9 & 27 \\ 1 & 4 & 16 & 64 \end{matrix}) .$

Exercice 4 5199

Soit

J = (\begin{matrix} 0 & 1 & (0) \\ 0 & ⋱ \\ ⋱ & 1 \\ (0) & 0 \end{matrix}) \in ℳ_{n} (ℝ) .

À l’aide des applications linéaires canoniquement associées, calculer $J^{⊤} J$ et $J J^{⊤}$ .

Exercice 5 2688 MINES (MP)Correction

Soit $ω$ une racine primitive $n$ -ième de l’unité. On pose

F_{ω} (P) = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k = 0}^{n - 1} P (ω^{k}) X^{k}

pour tout $P \in ℂ_{n - 1} [X]$ .

Montrer que $F_{ω}$ est un automorphisme de $ℂ_{n - 1} [X]$ et exprimer son inverse.

Solution

$F_{ω}$ est clairement un endomorphisme de $ℂ_{n - 1} [X]$ . Sa matrice dans la base $(1, X, \dots, X^{n - 1})$ est $A = {(a_{i, j})}_{0 \leq i, j \leq n - 1}$ avec

a_{i, j} = \frac{1}{\sqrt{n}} ω^{i j} pour tout 0 \leq i, j \leq n - 1 .

On remarque que $\bar{A} A = I_{n}$ car

\frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} ω^{(j - i) k} = {\begin{matrix} 1 & si i = j \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Par suite, $F_{ω}$ est un automorphisme et $F_{ω}^{- 1}$ étant représenté par $\bar{A}$ ,

F_{ω}^{- 1} (P) = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k = 0}^{n - 1} P (ω^{- k}) X^{k} .

Exercice 6 4539

Soient $n \in ℕ$ et $A = {(a_{i, j})}_{0 \leq i, j \leq n} \in ℳ_{n + 1} (ℝ)$ la matrice dont le coefficient général¹¹ 1 On notera que, dans ce sujet, lignes et colonnes sont indexées à partir du rang $0$ . est donné par le coefficient binomial:

a_{i, j} = (\binom{j}{i}) pour tout (i, j) \in {⟦ 0; n ⟧}^{2} .

Soit $φ$ l’endomorphisme de $ℝ_{n} [X]$ représenté par la matrice $A$ dans la base canonique $(1, X, \dots, X^{n})$ .

(a)

Exprimer simplement $φ (P)$ pour tout $P$ de $ℝ_{n} [X]$ .
(b)

Montrer que $A$ est inversible et calculer $A^{- 1}$ .

[>] Matrice d'un endomorphisme

Édité le 29-08-2023

Matrice d'une application linéaire