Exercice 1 4529

Soient $E$ un espace vectoriel réel muni d’une base $ℬ = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ et $f$ l’endomorphisme de $E$ figuré dans la base $ℬ$ par la matrice

A = (\begin{matrix} - 3 & - 1 & 1 \\ 4 & 2 & - 1 \\ 2 & 2 & - 1 \end{matrix}) .

On pose $e_{1}^{'} = e_{2} + e_{3}$ , $e_{2}^{'} = e_{1} - e_{2} + e_{3}$ et $e_{3}^{'} = e_{1} - e_{2}$ .

(a)

Vérifier que $ℬ^{'} = (e_{1}^{'}, e_{2}^{'}, e_{3}^{'})$ est une base de $E$ .
(b)

Former la matrice $D$ de $f$ dans la base $ℬ^{'}$ .
(c)

Exprimer la matrice de passage $P$ de $ℬ$ à $ℬ^{'}$ et son inverse $P^{- 1}$ .
(d)

Quelle relation relie les matrices $A$ , $D$ et $P$ ?
(e)

En déduire une expression de $A^{n}$ pour tout $n \in ℕ$ .

Exercice 2 1282 Correction

Soit $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel muni d’une base $ℬ = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ .
Soit $f$ l’endomorphisme de $E$ dont la matrice dans $ℬ$ est

A = (\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 \\ - 2 & 1 & - 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{matrix}) .

Soit $ℬ^{'} = (ε_{1}, ε_{2}, ε_{3})$ la famille définie par

{\begin{matrix} ε_{1} = e_{1} + e_{2} - e_{3} \\ ε_{2} = e_{1} - e_{3} \\ ε_{3} = e_{1} - e_{2} . \end{matrix}

(a)

Montrer que $ℬ^{'}$ est une base de $E$ et former la matrice $D$ de $f$ dans $ℬ^{'}$ .
(b)

Exprimer la matrice de passage $P$ de $ℬ$ à $ℬ^{'}$ et calculer $P^{- 1}$ .
(c)

Quelle relation lie les matrices $A, D, P$ et $P^{- 1}$ ?
(d)

Calculer $A^{n}$ pour tout $n \in ℕ$ .

Solution

(a)

$ℬ^{'}$ est libre et formée de trois vecteurs en dimension 3, c’est une base de $E$ .
$f (ε_{1}) = ε_{1}, f (ε_{2}) = 2 ε_{2}, f (ε_{3}) = 3 ε_{3}$ donc $D = diag (1,2,3)$ .
(b)

$P = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 0 \end{matrix}), P^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) .$
(c)

Par formule de changement base

$A = P D P^{- 1} .$
(d)

Puisqu’il est facile de calculer $D^{n}$

$A^{n} = P D^{n} P^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \end{matrix}) + 2^{n} (\begin{matrix} - 1 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix}) + 3^{n} (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .$

Exercice 3 717 Correction

Soit $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base $e = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ .
Soit $f \in ℒ (E)$ dont la matrice dans la base $e$ est

A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 2 \end{matrix}) .

On pose $e_{1}^{'} = e_{1} + e_{3}$ , $e_{2}^{'} = e_{1} + e_{2}$ et $e_{3}^{'} = e_{1} + e_{2} + e_{3}$ .

(a)

Montrer que la famille $e^{'} = (e_{1}^{'}, e_{2}^{'}, e_{3}^{'})$ est une base de $E$ et déterminer la matrice $B$ de $f$ dans $e^{'}$ .
(b)

Calculer $A^{n}$ pour tout $n \in ℕ$ .

Solution

(a)

On introduit la matrice

$P = {Mat}_{e} (e^{'}) = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) .$

On vérifie que la matrice $P$ est inversible (soit par le calcul de son déterminant, soit par un calcul de rang). Cela assure que la famille $e^{'}$ est une base de $E$ . En évaluant l’image d’un vecteur par l’application linéaire $f$ par la formule $Y = A X$ , on obtient

${\begin{matrix} f (e_{1}^{'}) & = e_{1} + e_{3} = e_{1}^{'} \\ f (e_{2}^{'}) & = e_{1} + e_{2} = e_{2}^{'} \\ f (e_{3}^{'}) & = 2 e_{1} + e_{2} + e_{3} = e_{1}^{'} + e_{3}^{'} . \end{matrix}$

On peut donc former la matrice

$B = {Mat}_{e^{'}} (f) = {Mat}_{e^{'}} (f (e_{1}^{'}), f (e_{2}^{'}), f (e_{3}^{'})) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .$
(b)

Par récurrence, on vérifie

$\forall n \in ℕ, B^{n} = (\begin{matrix} 1 & 0 & n \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .$

Par formule de changement de base, $A = P D P^{- 1}$ et donc $A^{n} = P B^{n} P^{- 1}$ .

En renversant le système

${\begin{matrix} e_{1}^{'} & = e_{1} + e_{3} \\ e_{2}^{'} & = e_{1} + e_{2} \\ e_{3}^{'} & = e_{1} + e_{2} + e_{3} \end{matrix}$

on obtient

${\begin{matrix} e_{1} & = e_{1}^{'} - e_{2}^{'} \\ e_{2} & = - e_{1}^{'} + e_{3}^{'} \\ e_{3} & = - e_{2}^{'} + e_{3}^{'} \end{matrix}$

ce qui détermine

$P^{- 1} = {Mat}_{e^{'}} (e) = (\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 1 & 1 \end{matrix}) .$

En écrivant $B^{n} = I_{3} + n E_{1,3}$ , on simplifie le déroulement du calcul de $A^{n}$ et l’on obtient

$A^{n} = I_{n} + n P E_{1,3} P^{- 1} = (\begin{matrix} 1 - n & n & n \\ 0 & 1 & 0 \\ - n & n & n + 1 \end{matrix}) .$

Exercice 4 718 Correction

Soit $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base $ℬ = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ .
Soit $f \in ℒ (E)$ dont la matrice dans la base $ℬ$ est

A = (\begin{matrix} 0 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}) .

On pose $ε_{1} = e_{1} + e_{3}$ , $ε_{2} = e_{1} + e_{2}$ et $ε_{3} = e_{1} + e_{2} + e_{3}$ .

(a)

Montrer que $ℬ^{'} = (ε_{1}, ε_{2}, ε_{3})$ forme une base de $E$ et déterminer la matrice de $f$ dans $ℬ^{'}$ .
(b)

Calculer $A^{n}$ .

Solution

(a)

On vérifie aisément que la famille $ℬ^{'}$ est libre et c’est donc une base de $E$ .
$f (ε_{1}) = ε_{1}, f (ε_{2}) = ε_{1} + ε_{2}, f (ε_{3}) = ε_{1} + ε_{2} + ε_{3}$ donc

${Mat}_{ℬ^{'}} f = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = B .$
(b)

$B = I_{3} + J$ avec

$J = (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}), J^{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .$

Puisque $I_{3}$ et $J$ commutent la formule du binôme donne

$B^{n} = I_{3} + n J + \frac{n (n - 1)}{2} J^{2}$

car $J^{k} = O_{3}$ pour $k \geq 3$ .
Par formule de changement de base, on obtient

$A^{n} = (\begin{matrix} 1 - \frac{n (n + 1)}{2} & \frac{n (n + 3)}{2} & \frac{n (n + 1)}{2} \\ - n & n + 1 & n \\ - \frac{n (n - 1)}{2} & \frac{n (n + 1)}{2} & 1 + \frac{n (n - 1)}{2} \end{matrix}) .$

Exercice 5 716 Correction

Soit $f \in ℒ (ℝ^{3})$ représenté dans la base canonique $ℬ$ par

(\begin{matrix} 2 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}) .

(a)

Soit $𝒞 = (ε_{1}, ε_{2}, ε_{3})$ avec $ε_{1} = (1,0,1), ε_{2} = (- 1,1,0), ε_{3} = (1,1,1)$ . Montrer que $𝒞$ est une base.
(b)

Déterminer la matrice de $f$ dans $𝒞$ .
(c)

Calculer la matrice de $f^{n}$ dans $ℬ$ pour tout $n \in ℕ$ .

Solution

(a)

On vérifie aisément que famille $𝒞$ est libre et c’est donc une base de $ℝ^{3}$ .
(b)

$f (ε_{1}) = ε_{1}$ , $f (ε_{2}) = ε_{2}$ et $f (ε_{3}) = ε_{1} + ε_{3}$ donc

${Mat}_{𝒞} f = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .$
(c)

Par récurrence:

${Mat}_{𝒞} (f^{n}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & n \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .$

Par la formule de changement de bases avec

$P = (\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) et P^{- 1} = (\begin{matrix} - 1 & - 1 & 2 \\ - 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \end{matrix})$

on obtient

${Mat}_{ℬ} (f^{n}) = (\begin{matrix} n + 1 & n & - n \\ 0 & 1 & 0 \\ n & n & 1 - n \end{matrix}) .$

Exercice 6 1283 Correction

Soit $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel muni d’une base $ℬ = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ .
Soit $f$ l’endomorphisme de $E$ dont la matrice dans $ℬ$ est

A = (\begin{matrix} 3 & - 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}) .

(a)

Montrer qu’il existe une base $𝒞 = (ε_{1}, ε_{2}, ε_{3})$ de $E$ dans laquelle la matrice représentative de $f$ est une matrice diagonale $D$ de coefficients diagonaux: $1,2$ et $3$ .
(b)

Déterminer la matrice de passage $P$ de $ℬ$ à $𝒞$ . Calculer $P^{- 1}$ .
(c)

Quelle relation lie les matrices $A, D, P et P^{- 1}$ ?
(d)

Calculer $A^{n}$ pour tout $n \in ℕ$ .

Solution

(a)

En recherchant des vecteurs tels que $f (x) = x, f (x) = 2 x$ et $f (x) = 3 x$ on observe que $ε_{1} = (- 1,1,2), ε_{2} = (0,1,1) et ε_{3} = (1,1,1)$ conviennent. De plus, ces trois vecteurs forment une famille libre et donc une base de $ℝ^{3}$ .
(b)

$P = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix}) et P^{- 1} = (\begin{matrix} 0 & - 1 & 1 \\ - 1 & 3 & - 2 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix}) .$
(c)

Par changement base

$A = P D P^{- 1} .$
(d)

Sachant calculer $D^{n}$ on obtient

$A^{n} = (\begin{matrix} 3^{n} & 1 - 3^{n} & - 1 + 3^{n} \\ - 2^{n} + 3^{n} & - 1 + {3.2}^{n} - 3^{n} & 1 - {2.2}^{n} + 3^{n} \\ - 2^{n} + 3^{n} & - 2 + {3.2}^{n} - 3^{n} & 2 - {2.2}^{n} + 3^{n} \end{matrix})$

que l’on peut encore écrire

$A^{n} = (\begin{matrix} 0 & 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & - 2 & 2 \end{matrix}) + 2^{n} (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 3 & - 2 \\ - 1 & 3 & - 2 \end{matrix}) + 3^{n} (\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix}) .$

Exercice 7 4540

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension $3$ muni d’une base $ℬ = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ .

On considère les matrices

A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 \end{matrix}) et D = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

Soit $f$ l’endomorphisme de $E$ figuré par la matrice $A$ dans la base $ℬ$ .

(a)

Montrer que l’endomorphisme $f$ peut être représenté par la matrice $D$ .
(b)

En déduire une matrice $P \in {GL}_{3} (ℝ)$ telle que $A = P D P^{- 1}$ .
(c)

On considère les suites réelles $(x_{n})$ , $(y_{n})$ et $(z_{n})$ déterminées par:

${\begin{matrix} x_{0} & = 1 \\ y_{0} & = 0 \\ z_{0} & = 0 \end{matrix} et {\begin{matrix} x_{n + 1} & = y_{n} & + z_{n} \\ y_{n + 1} & = x_{n} & + z_{n} \\ z_{n + 1} & = x_{n} & - y_{n} \end{matrix} pour tout n \in ℕ .$

Exprimer $x_{n}$ , $y_{n}$ et $z_{n}$ pour tout $n \geq 1$ .

Exercice 8 1284 Correction

Soit $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension 3 et $ℬ = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ une base de $E$ .
On considère les matrices

A = (\begin{matrix} 4 & - 2 & - 2 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 3 & - 2 & - 1 \end{matrix}) et D = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}) .

Soit $f$ l’endomorphisme de $E$ dont la matrice dans la base $ℬ$ est $A$ .

(a)

Montrer qu’il existe une base $𝒞 = (ε_{1}, ε_{2}, ε_{3})$ de $E$ telle que la matrice de $f$ dans $𝒞$ soit $D$ .
(b)

Déterminer la matrice $P$ de ${GL}_{3} (ℝ)$ telle que $A = P D P^{- 1}$ . Calculer $P^{- 1}$ .
(c)

Calculer $A^{n}$ pour tout $n \in ℕ$ .
(d)

En déduire le terme général des suites ${(x_{n})}_{n \in ℕ}, {(y_{n})}_{n \in ℕ}$ et ${(z_{n})}_{n \in ℕ}$ définies par:

${\begin{matrix} x_{0} = 1 \\ y_{0} = 0 \\ z_{0} = 0 \end{matrix} et {\begin{matrix} x_{n + 1} = 4 x_{n} - 2 (y_{n} + z_{n}) \\ y_{n + 1} = x_{n} - z_{n} \\ z_{n + 1} = 3 x_{n} - 2 y_{n} - z_{n} \end{matrix} pour tout n \in ℕ .$

Solution

(a)

En résolvant les équations: $f (u) = 0, f (u) = u et f (u) = 2 u$ on trouve que $ε_{1} = e_{1} + e_{2} + e_{3}, ε_{2} = e_{2} - e_{3} et ε_{3} = e_{1} + e_{3}$ sont des vecteurs tels que $f (ε_{1}) = 0, f (ε_{2}) = ε_{2}, f (ε_{3}) = 2 ε_{3}$ .
On vérifie aisément que la famille $𝒞$ est libre et c’est donc une base de $E$ , celle-ci convient.
(b)

On a

$P = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix}), P^{- 1} = (\begin{matrix} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \end{matrix}) .$
(c)

Par changement de base

$A^{n} = P D^{n} P^{- 1} = (\begin{matrix} 2^{n + 1} & - 2^{n} & - 2^{n} \\ 1 & 0 & - 1 \\ 2^{n + 1} - 1 & - 2^{n} & 1 - 2^{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \end{matrix}) + 2^{n} (\begin{matrix} 2 & - 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & - 1 \end{matrix}) .$
(d)

Posons $X_{n} = {(\begin{matrix} x_{n} & y_{n} & z_{n} \end{matrix})}^{⊤}$ . On observe $X_{n + 1} = A X_{n}$ . Par récurrence $X_{n} = A^{n} X_{0}$ .
Avec $X_{0} = {(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix})}^{⊤}$ on obtient

${\begin{matrix} x_{n} = 2^{n + 1} \\ y_{n} = 1 \\ z_{n} = 2^{n + 1} - 1 . \end{matrix}$

Exercice 9 3212 CCINP (MP)Correction

Soient $b = (i, j)$ et $B = (I, J)$ deux bases d’un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension 2 et $P$ la matrice de passage de $b$ à $B$ .
Pour $x \in E$ , notons

v = {Mat}_{b} x et V = {Mat}_{B} x .

(a)

Retrouver la relation entre $v$ et $V$ .
(b)

Soient $f \in ℒ (E)$ et

$m = {Mat}_{b} f et M = {Mat}_{B} f .$

Retrouver la relation entre $m$ et $M$ .
(c)

Par quelle méthode peut-on calculer $m^{n}$ lorsque l’on connaît deux vecteurs propres non colinéaires de $f$ .

Solution

(a)

$P$ est la matrice de l’application ${Id}_{E}$ dans les bases $B$ au départ et $b$ à l’arrivée.
La relation $x = {Id}_{E} (x)$ donne matriciellement $v = P V$ .
(b)

La relation $f = {Id}_{E}^{- 1} \circ f \circ {Id}_{E}$ donne matriciellement $M = P^{- 1} m P$ .
(c)

Dans une base de vecteurs propres, la matrice de $f$ est diagonale et ses puissances sont alors faciles à calculer. Par changement de base, on en déduit $m^{n}$ .

[<] Image et noyau d'une matrice [>] Matrice d'un endomorphisme dans une base bien choisie (similitude)

Édité le 29-08-2023

Changement de bases