[<] Matrices équivalentes [>] Trace d'une projection

 
Exercice 1  4216  

Soient An,p(𝕂) et Bp,n(𝕂). Établir tr(AB)=tr(BA).

 
Exercice 2  5121  
  • (a)

    Existe-t-il des matrices A,Bn(𝕂) telles que AB-BA=In?

  • (b)

    On suppose que A,Bn(𝕂) vérifient (AB-BA)2=AB-BA. Montrer que A et B commutent.

 
Exercice 3  3259  

Soient A et B deux matrices de n(𝕂) vérifiant AB-BA=A.

Calculer tr(Ap) pour tout p*.

 
Exercice 4  731  Correction  

Soit φ une forme linéaire sur n(𝕂). Montrer qu’il existe An(𝕂) tel que pour tout Mn(𝕂), φ(M)=tr(AM).

Solution

Posons aj,i=φ(Ei,j). φ(M)=1i,jnaj,imi,j=tr(AM) avec A=(ai,j).

 
Exercice 5  729  Correction  

Soit f un endomorphisme de rang 1 d’un 𝕂-espace vectoriel E de dimension n1. Montrer

f2=tr(f)f

Solution

Méthode: On figure l’endomorphisme f dans une base adaptée à son noyau.

Par la formule du rang,

dimKer(f)=dimE-rg(f)=n-1

Soit (e1,,en-1) une base de Ker(f) complétée en =(e1,,en-1,en) base de E. Les premiers vecteurs de cette base annulant f, la matrice de f dans est de la forme

M=(00α100αn)

Par produit matriciel, on vérifie M2=αnM et donc f2=αn.f avec αn=tr(M)=tr(f).

 
Exercice 6  2547    CCP (MP)Correction  

Soit E un -espace vectoriel de dimension finie n>1.
Montrer que f(E) de rang 1 n’est pas forcément un projecteur.
Montrer que f(E) de rang 1 et de trace 1 est un projecteur.
Trouver une base de (E) constituée de projecteurs.

Solution

Soit (e1,,en) une base de E avec e1,,en-1Ker(f).
La matrice de f dans cette base est de la forme

A=(00λ1λn-100λn)

avec λn=tr(f).
On observe alors que A2=λnA.
Ainsi si tr(f)=1 alors A2=A donc f2=f puis f est un projecteur.
Par l’isomorphisme de représentation matricielle dans une base donnée de E, on peut retraduire le problème matriciellement.
En considérant les éléments Ei,i et Ei,i+Ei,j pour 1ijn on forme une base de n() telle que souhaitée.

 
Exercice 7  4976     X (PC)Correction  

À quelle condition existe-t-il des matrices A,Bn() vérifiant (AB-BA)2=In?

Solution

Supposons que de telles matrices existent et posons M=AB-BA. D’une part

tr(M)=tr(AB)-tr(BA)=0

et d’autre part M2=In et M est donc la matrice d’une symétrie, semblable à

(Ip00Iq) avec p=dimKer(M-In) et q=dimKer(M+Is).

On a donc

p-q=0

et l’entier n=p+q est nécessairement pair.

Inversement, si n est pair, on écrit n=2p et les matrices A et B suivantes sont solutions

A=(0Ip00)etB=(00Ip0).

En résumé, de telles matrices A et B existent si, et seulement si, n est un entier pair.

 
Exercice 8  732   

Soit T une forme linéaire sur n(𝕂) vérifiant T(AB)=T(BA) pour toutes matrices A et B de n(𝕂). Établir que T est colinéaire à la forme linéaire trace.

 
Exercice 9  2686     MINES (MP)Correction  
  • (a)

    Soit f une forme linéaire sur n() vérifiant

    A,Bn(),f(AB)=f(BA)

    montrer que f est proportionnelle à la trace.

  • (b)

    Soit g un endomorphisme de l’espace vectoriel n() vérifiant

    g(AB)=g(BA)

    pour toutes matrices A,Bn() et g(In)=In. Montrer que g conserve la trace.

Solution

  • (a)

    Notons Ei,j les matrices élémentaires de n(). Puisque

    Ei,i=Ei,jEj,i et Ej,j=Ej,iEi,j

    l’hypothèse de travail donne

    f(Ei,i)=f(Ei,jEj,i)=f(Ej,iEi,j)=f(Ej,j).

    De plus, pour ij, on a

    Ei,j=Ei,jEj,jetOn=Ej,jEi,j

    donc

    f(Ei,j)=f(Ei,jEj,j)=f(Ej,jEi,j)=f(On)=0.

    Ainsi,

    f(A)=f(ai,jEi,j)=λtr(A)

    en notant λ la valeur commune des f(Ei,i).

  • (b)

    Posons f=trg. L’application f est une forme linéaire vérifiant

    A,Bn(),f(AB)=f(BA).

    Ainsi f=λtr.
    Or f(In)=tr(g(In))=tr(In) donc λ=1. Ainsi f=tr et

    Mn(),tr(g(M))=f(M)=tr(M).
 
Exercice 10  4544   

Soit n un entier supérieur à 2.

  • (a)

    Soit φ une forme linéaire sur n(). Montrer qu’il existe une unique matrice An() telle que φ(M)=tr(AM) pour toute matrice Mn().

  • (b)

    En déduire que tout hyperplan de n() contient une matrice inversible.

 
Exercice 11  3029   Correction  

Soient An() et φ l’endomorphisme de n() défini par

φ(M)=MA.

Exprimer la trace de φ en fonction de celle de A.

Solution

Calculons les coefficients diagonaux de la représentation matricielle de φ dans la base canonique formée des matrices élémentaires Ei,j.
On a φ(Ei,j)=Ei,jA.
Or A=k=1n=1nak,Ek, donc φ(Ei,j)==1naj,Ei, car Ei,jEk,=δj,kEi,.
La composante de φ(Ei,j) selon Ei,j vaut aj,j.
Par suite, la trace de φ vaut i=1nj=1naj,j=ntr(A).

 
Exercice 12  4217   

Soit An(). Pour Mn(), on pose φ(M)=AM-MA.

  • (a)

    Vérifier que φ définit un endomorphisme de n().

  • (b)

    Calculer la trace de φ.

 
Exercice 13  3419   Correction  

Soit An(). Calculer la trace de l’endomorphisme fn() donné par

f(M)=AM+MA.

Solution

La trace de f est la somme des coefficients diagonaux de la matrice représentative de f dans la base de n() formée des matrices élémentaires Ei,j. Puisque le coefficient d’indice (i,j) de la matricef(Ei,j) est ai,i+aj,j, on obtient

tr(f)=1i,jn(ai,i+aj,j)=2ntr(A).
 
Exercice 14  4163     CENTRALE (MP)Correction  

Soient E et F deux -espaces vectoriels de dimension finie, n=dimE,p=dimF. Soit f(E,F). On note

H={g(F,E),fgf=0}.
  • (a)

    Si f est bijectif, montrer H={0}.

  • (b)

    On revient au cas général. Montrer que dimH=np-r2 avec r=rg(f).

  • (c)

    On suppose que E=F et l’on définit l’application φ:gfgf. Montrer

    tr(φ)=(tr(f))2.

Solution

  • (a)

    Si f est bijectif (nécessairement n=p), il suffit de composer de part et d’autre par f-1 pour écrire

    fgg=0 fg=0
    g=0.
  • (b)

    Dans des bases adaptées, l’application linéaire f peut être figurée par la matrice Jr canonique de rang r de type (n,p). Par représentation matricielle, l’espace H est alors isomorphe à

    {Mp,n()|JrMJr=On}.

    Un calcul par blocs, montre que les matrices solutions sont celles de la forme

    M=(ABCD) avec A=Or.

    La dimension de H s’en déduit.

  • (c)

    Soient (e1,,en) une base de E et ui,j l’endomorphisme de E envoyant ej sur ei et les autres vecteurs de bases sur 0E (ui,j est l’endomorphisme figuré par la matrice élémentaire Ei,j).

    On peut écrire

    f=k,=1nak,uk,

    avec A=(ak,) la matrice figurant f dans la base (e1,,en).

    Sachant ui,juk,=δj,kui,, il vient

    ui,jf==1naj,ui,

    puis

    fui,jf=k=1n=1nak,iaj,uk,.

    La coordonnée selon ui,j de φ(ui,j) est donc ai,iaj,j. On en déduit

    tr(φ)=i,j=1nai,iaj,j=(i=1nai,i)(j=1naj,j)=(tr(f))2.
 
Exercice 15  711   

Établir que Vect{AB-BA|A,Bn()} est un hyperplan de n().

 
Exercice 16  730      CENTRALE (MP)Correction  

Soit M une matrice carrée de taille n à coefficients dans 𝕂 sous-corps de .
Montrer que si tr(M)=0, il existe deux matrices A et B telles que

M=AB-BA.

Solution

Supposons que M soit semblable à une matrice M via une matrice inversible P c’est-à-dire

M=P-1MP.

Si on peut écrire M=AB-BA alors M=AB-BA avec A=PAP-1 et B=PBP-1.
On peut ainsi transformer la matrice M en une matrice semblable sans changer la problématique.
Établissons maintenant le résultat demandé en raisonnant par récurrence sur la taille de la matrice M.
Si M est taille 1: ok
Supposons la propriété établie au rang n*.
Soit M une matrice carrée d’ordre n+1 de trace nulle.
Montrons que M est semblable à une matrice de la forme

(0***).

Si M est matrice d’une homothétie alors tr(M)=0 permet de conclure M=On.
Sinon, il existe des vecteurs qui ne sont pas vecteurs propres de l’endomorphisme associé à M.
Soit x, un tel vecteur. En introduisant une base dont x et f(x) sont les deux premiers vecteurs, on obtient que la matrice M est semblable à celle voulue.
Compte tenu de la remarque préliminaire, on suppose désormais que la matrice M est de la forme

(0LCM)

avec tr(M)=0.
Par l’hypothèse de récurrence on peut écrire

M=AB-BA.

Soit λ𝕂 qui n’est par valeur propre de la matrice B.
En posant

A=(1L(B-λI)-1(λI-B)-1CA)

et

B=(00B)

on obtient

M=AB-BA.

Récurrence établie.

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Édité le 08-11-2019

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