Exercice 1 4216

Soient $A \in ℳ_{n, p} (𝕂)$ et $B \in ℳ_{p, n} (𝕂)$ . Établir $tr (A B) = tr (B A)$ .

Exercice 2 5121

(a)

Existe-t-il des matrices $A, B \in ℳ_{n} (𝕂)$ telles que $A B - B A = I_{n}$ ?
(b)

On suppose que $A, B \in ℳ_{n} (𝕂)$ vérifient ${(A B - B A)}^{2} = A B - B A$ . Montrer que $A$ et $B$ commutent.

Exercice 3 3259

Soient $A$ et $B$ deux matrices de $ℳ_{n} (𝕂)$ vérifiant $A B - B A = A$ .

Calculer $tr (A^{p})$ pour tout $p \in ℕ^{*}$ .

Exercice 4 5891 Correction

(a)

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant $tr (A A^{⊤}) = 0$ . Montrer que $A$ est la matrice nulle.
(b)

Soient $A, B \in ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant

$\forall X \in ℳ_{n} (ℝ), tr (A X) = tr (B X) .$

Que dire des matrices $A$ et $B$ ?

Solution

(a)

Notons $a_{i, j}$ le coefficient d’indice $(i, j)$ de la matrice $A$ . Le coefficient d’indice $(i, i)$ de $A A^{⊤}$ est

${[A A^{⊤}]}_{i, j} = \sum_{j = 1}^{n} [A_{i, j}] {[A^{⊤}]}_{i, j} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i, j}^{2}$

et donc

$tr (A A^{⊤}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i, j}^{2} = 0 .$

Par nullité d’une somme de termes tous positifs, on obtient $a_{i, j} = 0$ pour tous $i, j = 1, \dots, n$ et donc $A = O_{n}$ .
(b)

Par différence

$\forall X \in ℳ_{n} (ℝ), tr ((A - B) X) = 0 .$

Cela vaut en particulier pour $X = {(A - B)}^{⊤}$ et donc $A - B = O_{n}$ . On en déduit $A = B$ .

Exercice 5 731 Correction

Soit $φ$ une forme linéaire sur l’espace $ℳ_{n} (𝕂)$ .

Montrer qu’il existe une matrice $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ telle que pour tout $M \in ℳ_{n} (𝕂)$ , $φ (M) = tr (A M)$ .

Solution

Posons $a_{j, i} = φ (E_{i, j}) \in 𝕂$ . On peut écrire

M = \sum_{1 \leq i, j \leq n} m_{i, j} E_{i, j}

Par linéarité

φ (M) = \sum_{1 \leq i, j \leq n} a_{j, i} m_{i, j} = tr (A M)

avec $A = (a_{i, j}) \in ℳ_{n} (𝕂)$ .

Exercice 6 729 Correction

Soit $f$ un endomorphisme de rang $1$ d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ de dimension $n \geq 1$ . Montrer

f^{2} = tr (f) f .

Solution

Méthode: On figure l’endomorphisme $f$ dans une base adaptée à son noyau.

Par la formule du rang,

dim Ker (f) = dim E - rg (f) = n - 1 .

Soit $(e_{1}, \dots, e_{n - 1})$ une base de $Ker (f)$ complétée en $ℬ = (e_{1}, \dots, e_{n - 1}, e_{n})$ base de $E$ . Les premiers vecteurs de cette base annulant $f$ , la matrice de $f$ dans $ℬ$ est de la forme

M = (\begin{matrix} 0 & \dots & 0 & α_{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & α_{n} \end{matrix}) .

Par produit matriciel, on vérifie $M^{2} = α_{n} M$ et donc $f^{2} = α_{n} . f$ avec $α_{n} = tr (M) = tr (f)$ .

Exercice 7 2547 CCINP (MP)Correction

Soit $E$ un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension finie $n > 1$ .
Montrer que $f \in ℒ (E)$ de rang 1 n’est pas forcément un projecteur.
Montrer que $f \in ℒ (E)$ de rang 1 et de trace 1 est un projecteur.
Trouver une base de $ℒ (E)$ constituée de projecteurs.

Solution

Soit $(e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ avec $e_{1}, \dots, e_{n - 1} \in Ker (f)$ .
La matrice de $f$ dans cette base est de la forme

A = (\begin{matrix} 0 & \dots & 0 & λ_{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & λ_{n - 1} \\ 0 & \dots & 0 & λ_{n} \end{matrix})

avec $λ_{n} = tr (f)$ .
On observe alors que $A^{2} = λ_{n} A$ .
Ainsi si $tr (f) = 1$ alors $A^{2} = A$ donc $f^{2} = f$ puis $f$ est un projecteur.
Par l’isomorphisme de représentation matricielle dans une base donnée de $E$ , on peut retraduire le problème matriciellement.
En considérant les éléments $E_{i, i}$ et $E_{i, i} + E_{i, j}$ pour $1 \leq i \neq j \leq n$ on forme une base de $ℳ_{n} (ℝ)$ telle que souhaitée.

Exercice 8 4976 X (PC)Correction

À quelle condition existe-t-il des matrices $A, B \in ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant ${(A B - B A)}^{2} = I_{n}$ ?

Solution

Supposons que de telles matrices existent et posons $M = A B - B A$ . D’une part

tr (M) = tr (A B) - tr (B A) = 0

et d’autre part $M^{2} = I_{n}$ et $M$ est donc la matrice d’une symétrie, semblable à

(\begin{matrix} I_{p} & 0 \\ 0 & I_{q} \end{matrix}) avec p = dim Ker (M - I_{n}) et q = dim Ker (M + I_{s}) .

On a donc

p - q = 0

et l’entier $n = p + q$ est nécessairement pair.

Inversement, si $n$ est pair, on écrit $n = 2 p$ et les matrices $A$ et $B$ suivantes sont solutions

A = (\begin{matrix} 0 & I_{p} \\ 0 & 0 \end{matrix}) et B = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ I_{p} & 0 \end{matrix}) .

En résumé, de telles matrices $A$ et $B$ existent si, et seulement si, $n$ est un entier pair.

Exercice 9 732

Soit $T$ une forme linéaire sur $ℳ_{n} (𝕂)$ vérifiant $T (A B) = T (B A)$ pour toutes matrices $A$ et $B$ de $ℳ_{n} (𝕂)$ . Établir que $T$ est colinéaire à la forme linéaire trace.

Exercice 10 2686 MINES (MP)Correction

(a)

Soit $f$ une forme linéaire sur $ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant

$\forall A, B \in ℳ_{n} (ℝ), f (A B) = f (B A) .$

Montrer que $f$ est proportionnelle à la trace.
(b)

Application : Soit $g$ un endomorphisme de l’espace vectoriel $ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant

$\forall A, B \in ℳ_{n} (ℝ), g (A B) = g (B A) et g (I_{n}) = I_{n} .$

Montrer que $g$ conserve la trace:

$\forall M \in ℳ_{n} (ℝ), tr (g (M)) = tr (M)$

Solution

(a)

Notons $E_{i, j}$ les matrices élémentaires de $ℳ_{n} (ℝ)$ . Puisque

$E_{i, i} = E_{i, j} E_{j, i} et E_{j, j} = E_{j, i} E_{i, j}$

l’hypothèse de travail donne

$f (E_{i, i}) = f (E_{i, j} E_{j, i}) = f (E_{j, i} E_{i, j}) = f (E_{j, j}) .$

De plus, pour $i \neq j$ , on a

$E_{i, j} = E_{i, j} E_{j, j} et O_{n} = E_{j, j} E_{i, j}$

donc

$f (E_{i, j}) = f (E_{i, j} E_{j, j}) = f (E_{j, j} E_{i, j}) = f (O_{n}) = 0 .$

Ainsi, par linéarité

$f (A) = f (\sum_{1 \leq i, j \leq n} a_{i, j} E_{i, j}) = \sum_{1 \leq i, j \leq n} a_{i, j} f (E_{i, j}) = λ \sum_{i = 1}^{n} a_{i, i} = λ tr (A)$

en notant $λ$ la valeur commune des $f (E_{i, i})$ .
(b)

Posons $f = tr \circ g$ . L’application $f$ est une forme linéaire vérifiant

$\forall A, B \in ℳ_{n} (ℝ), f (A B) = f (B A) .$

Ainsi $f = λ tr$ .
Or $f (I_{n}) = tr (g (I_{n})) = tr (I_{n})$ donc $λ = 1$ . Ainsi $f = tr$ et

$\forall M \in ℳ_{n} (ℝ), tr (g (M)) = f (M) = tr (M) .$

Exercice 11 4544

Soit $n$ un entier supérieur à $2$ .

(a)

Soit $φ$ une forme linéaire sur $ℳ_{n} (ℝ)$ . Montrer qu’il existe une unique matrice $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ telle que $φ (M) = tr (A M)$ pour toute matrice $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ .
(b)

En déduire que tout hyperplan de $ℳ_{n} (ℝ)$ contient une matrice inversible.

Exercice 12 3029 Correction

Soient $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ et $φ$ l’endomorphisme de $ℳ_{n} (ℝ)$ défini par

φ (M) = M A .

Exprimer la trace de $φ$ en fonction de celle de $A$ .

Solution

Calculons les coefficients diagonaux de la représentation matricielle de $φ$ dans la base canonique formée des matrices élémentaires $E_{i, j}$ .
On a $φ (E_{i, j}) = E_{i, j} A$ .
Or $A = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{ℓ = 1}^{n} a_{k, ℓ} E_{k, ℓ}$ donc $φ (E_{i, j}) = \sum_{ℓ = 1}^{n} a_{j, ℓ} E_{i, ℓ}$ car $E_{i, j} E_{k, ℓ} = δ_{j, k} E_{i, ℓ}$ .
La composante de $φ (E_{i, j})$ selon $E_{i, j}$ vaut $a_{j, j}$ .
Par suite, la trace de $φ$ vaut $\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{j, j} = n tr (A)$ .

Exercice 13 4217

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ . Pour $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ , on pose $φ (M) = A M - M A$ .

(a)

Vérifier que $φ$ définit un endomorphisme de $ℳ_{n} (ℝ)$ .
(b)

Calculer la trace de $φ$ .

Exercice 14 3419 Correction

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ . Calculer la trace de l’endomorphisme $f \in ℳ_{n} (ℝ)$ donné par

f (M) = A M + M A .

Solution

La trace de $f$ est la somme des coefficients diagonaux de la matrice représentative de $f$ dans la base de $ℳ_{n} (ℝ)$ formée des matrices élémentaires $E_{i, j}$ . Puisque le coefficient d’indice $(i, j)$ de la matrice $f (E_{i, j})$ est $a_{i, i} + a_{j, j}$ , on obtient

tr (f) = \sum_{1 \leq i, j \leq n} (a_{i, i} + a_{j, j}) = 2 n tr (A) .

Exercice 15 711

Établir que $Vect {A B - B A | A, B \in ℳ_{n} (ℝ)}$ est un hyperplan de $ℳ_{n} (ℝ)$ .

[<] Matrices équivalentes [>] Trace d'une projection

Édité le 14-10-2023