[<] Étude d'endomorphisme connu par sa matrice [>] Changement de bases

 
Exercice 1  4530  

Déterminer le noyau et l’image de la matrice

A=(1010111-10)3().
 
Exercice 2  4531  

Soient An,p(𝕂) et Bp,q(𝕂). Montrer

AB=On,qIm(B)Ker(A).
 
Exercice 3  1288   Correction  

Soient n* et Mn() définie par

M=(11000110011001).
  • (a)

    Donner le rang de M et la dimension de son noyau.

  • (b)

    Préciser noyau et image de M.

  • (c)

    Calculer Mn.

Solution

  • (a)

    En retirant la première ligne à la dernière

    rg(11000110011001)=rg(11000110010-101)

    puis en ajoutant la deuxième ligne à la dernière etc.

    rg(11000110011001)=rg(11000110010001-(-1)n).

    Si n est pair alors rg(M)=n-1, sinon rg(M)=n.

  • (b)

    Cas: n impair. C’est immédiat, la matrice M est inversible.

    Cas: n pair.

    Ker(M)=Vect((1-11-1))

    et

    Im(M):x1-x2+x3++xn-1-xn=0.
  • (c)

    M=I+N avec la matrice de permutation

    N=(01000010011000).

    On en déduit

    Mn=k=0n(nk)Nk=(2(n0)(n1)(n2)(nn-1)(nn-1)2(n0)(n1)(n2)(n2)(n1)(n1)(n2)(nn-1)2(n0))

    en notant (nk) le coefficient binomial «  k parmi n   ».

 
Exercice 4  5323  Correction  

Soit An(𝕂). On suppose qu’il existe une colonne Y0n,1(𝕂) telle que l’équation AX=Y0 d’inconnue Xn,1(𝕂) possède une unique solution X0.

Montrer que pour tout Yn,1(𝕂), l’équation AX=Y admet une unique solution.

Solution

Méthode: On montre que la matrice A est inversible en observant que son noyau est réduit à la colonne nulle.

Soit XKer(A). On a AX=0 et donc A(X0+X)=Y0. Par unicité de la solution à l’équation AX=Y0, on obtient X0+X=X0 et donc X=0. Ainsi, le noyau de A est réduit à la colonne nulle11 1 Aussi, on peut affirmer que l’ensemble des solutions de l’équation linéaire AX=Y est soit vide, soit égal à un sous-espace affine de direction Ker(A). Ici, lorsque Y=Y0, l’ensemble des solutions est réduit à un point ce qui entraîne que le noyau de A est réduit à l’élément nul. et l’on peut affirmer que la matrice carrée A est inversible.

On en déduit que, pour tout Yn,1(𝕂), l’équation AX=Y admet une unique solution qui est X=A-1Y.

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Édité le 29-08-2023

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