[<] Étude d'endomorphisme connu par sa matrice [>] Changement de bases
Déterminer le noyau et l’image de la matrice
Soient et . Montrer
Soient et définie par
Donner le rang de et la dimension de son noyau.
Préciser noyau et image de .
Calculer .
Solution
En retirant la première ligne à la dernière
puis en ajoutant la deuxième ligne à la dernière etc.
Si est pair alors , sinon .
Cas: impair. C’est immédiat, la matrice est inversible.
Cas: pair.
et
avec la matrice de permutation
On en déduit
en notant le coefficient binomial « parmi ».
Soit . On suppose qu’il existe une colonne telle que l’équation d’inconnue possède une unique solution .
Montrer que pour tout , l’équation admet une unique solution.
Solution
Méthode: On montre que la matrice est inversible en observant que son noyau est réduit à la colonne nulle.
Soit . On a et donc . Par unicité de la solution à l’équation , on obtient et donc . Ainsi, le noyau de est réduit à la colonne nulle11 1 Aussi, on peut affirmer que l’ensemble des solutions de l’équation linéaire est soit vide, soit égal à un sous-espace affine de direction . Ici, lorsque , l’ensemble des solutions est réduit à un point ce qui entraîne que le noyau de est réduit à l’élément nul. et l’on peut affirmer que la matrice carrée est inversible.
On en déduit que, pour tout , l’équation admet une unique solution qui est .
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Édité le 29-08-2023
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