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Exercice 1  1277  Correction  

Soit E un 𝕂-espace vectoriel muni d’une base =(i,j,k).
Soit f l’endomorphisme de E dont la matrice dans est

A=(2-1-110-11-10).
  • (a)

    Calculer A2. Qu’en déduire sur f?

  • (b)

    Déterminer une base de Im(f) et Ker(f).

  • (c)

    Quelle est la matrice de f relativement à une base adaptée à la supplémentarité de Im(f) et Ker(f)?

Solution

  • (a)
    A2=(2-1-110-11-10)=A

    doncf est une projection vectorielle.

  • (b)

    En résolvant les équations f(x)=x et f(x)=0 on obtient que (u,v) forme une base de Im(f) et (w) forme une base de Ker(f) avec u=i+j,v=i+k et w=i+j+k.

  • (c)
    Mat(u,v,w)(f)=(100010000).
 
Exercice 2  4538  

Déterminer les transformations vectorielles de 3 réalisées par les endomorphismes figurés dans la base canonique par les matrices:

  • (a)

    A=(3-421-11-120)

  • (b)

    B=(00-1111-100).

 
Exercice 3  4528   

Soit f l’endomorphisme de 3 figuré dans la base canonique par la matrice

A=(-13-311-11-11).

On introduit les vecteurs e1=(1,1,0), e2=(-1,1,1) et e3=(0,1,1).

  • (a)

    Montrer que =(e1,e2,e3) est une base de 3.

  • (b)

    Écrire la matrice de f dans cette base.

  • (c)

    Sans calculs, déterminer une base de Ker(f) et de Im(f).

 
Exercice 4  1278   Correction  

Soit

A=(2-1-1-12-1-1-12).

On note =(e1,e2,e3) la base canonique de 3.
Soit f l’endomorphisme de 3 dont la matrice dans est A.

  • (a)

    Déterminer Ker(f) et Im(f). Démontrer que ces sous-espaces sont supplémentaires dans 3.

  • (b)

    Déterminer une base adaptée à cette supplémentarité et écrire la matrice de f dans cette base.

  • (c)

    Décrire f comme composée de transformations vectorielles élémentaires.

Solution

  • (a)

    Ker(f)=Vect(u) avec u=(1,1,1). Im(f)=Vect(v,w) avec v=(2,-1,-1),w=(-1,2,-1).
    Comme 𝒞=(u,v,w) est libre on peut conclure que Ker(f) et Im(f) sont supplémentaires dans 3.

  • (b)

    𝒞 est une base adaptée à la supplémentarité de Ker(f) et Im(f).

    Mat𝒞(f)=(000030003).
  • (c)

    f est la composée, commutative, de l’homothétie vectorielle de rapport 3 avec la projection vectorielle sur Im(f) parallèlement à Ker(f).

 
Exercice 5  4537   

Soit f l’endomorphisme de 3 figuré dans la base canonique par la matrice

A=(101-121101).
  • (a)

    Déterminer le noyau et l’image de f.

  • (b)

    Vérifier que ces espaces sont supplémentaires et exprimer la matrice de f dans une base adaptée à cette supplémentarité.

  • (c)

    Décrire f comme la composition de deux transformations vectorielles simples.

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Édité le 08-11-2019

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