Exercice 1 1277 Correction

Soit $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel muni d’une base $ℬ = (i, j, k)$ .
Soit $f$ l’endomorphisme de $E$ dont la matrice dans $ℬ$ est

A = (\begin{matrix} 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - 1 & 0 \end{matrix}) .

(a)

Calculer $A^{2}$ . Qu’en déduire sur $f$ ?
(b)

Déterminer une base de $Im (f)$ et $Ker (f)$ .
(c)

Quelle est la matrice de $f$ relativement à une base adaptée à la supplémentarité de $Im (f)$ et $Ker (f)$ ?

Solution

(a)

$A^{2} = (\begin{matrix} 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - 1 & 0 \end{matrix}) = A$

donc $f$ est une projection vectorielle.
(b)

En résolvant les équations $f (x) = x$ et $f (x) = 0$ on obtient que $(u, v)$ forme une base de $Im (f)$ et $(w)$ forme une base de $Ker (f)$ avec $u = i + j, v = i + k$ et $w = i + j + k$ .
(c)

${Mat}_{(u, v, w)} (f) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .$

Exercice 2 4538

Déterminer les transformations vectorielles de $ℝ^{3}$ réalisées par les endomorphismes figurés dans la base canonique par les matrices:

(a)

$A = (\begin{matrix} 3 & - 4 & 2 \\ 1 & - 1 & 1 \\ - 1 & 2 & 0 \end{matrix})$
(b)

$B = (\begin{matrix} 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 0 & 0 \end{matrix})$ .

Exercice 3 4528

Soit $f$ l’endomorphisme de $ℝ^{3}$ figuré dans la base canonique par la matrice

A = (\begin{matrix} - 1 & 3 & - 3 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix}) .

On introduit les vecteurs $e_{1} = (1,1,0)$ , $e_{2} = (- 1,1,1)$ et $e_{3} = (0,1,1)$ .

Exercice 4 1278 Correction

Soit

A = (\begin{matrix} 2 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{matrix}) .

On note $ℬ = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ la base canonique de $ℝ^{3}$ .
Soit $f$ l’endomorphisme de $ℝ^{3}$ dont la matrice dans $ℬ$ est $A$ .

(a)

Déterminer $Ker (f)$ et $Im (f)$ . Démontrer que ces sous-espaces sont supplémentaires dans $ℝ^{3}$ .
(b)

Déterminer une base adaptée à cette supplémentarité et écrire la matrice de $f$ dans cette base.
(c)

Décrire $f$ comme composée de transformations vectorielles élémentaires.

Solution

(a)

$Ker (f) = Vect (u)$ avec $u = (1,1,1)$ . $Im (f) = Vect (v, w)$ avec $v = (2, - 1, - 1), w = (- 1,2, - 1)$ .
Comme $𝒞 = (u, v, w)$ est libre on peut conclure que $Ker (f)$ et $Im (f)$ sont supplémentaires dans $ℝ^{3}$ .
(b)

$𝒞$ est une base adaptée à la supplémentarité de $Ker (f)$ et $Im (f)$ .

${Mat}_{𝒞} (f) = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}) .$
(c)

$f$ est la composée, commutative, de l’homothétie vectorielle de rapport 3 avec la projection vectorielle sur $Im (f)$ parallèlement à $Ker (f)$ .

Exercice 5 4537

Soit $f$ l’endomorphisme de $ℝ^{3}$ figuré dans la base canonique par la matrice

A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) .

(a)

Déterminer le noyau et l’image de $f$ .
(b)

Vérifier que ces espaces sont supplémentaires et exprimer la matrice de $f$ dans une base adaptée à cette supplémentarité.
(c)

Décrire $f$ comme la composition de deux transformations vectorielles simples.

Édité le 29-08-2023

Étude d'endomorphisme connu par sa matrice