Exercice 1 4525

Calculer le rang des matrices suivantes:

(a)

$(\begin{matrix} 1 & - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})$
(b)

$(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & - 1 \end{matrix})$
(c)

$(\begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ - 1 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - 1 & 0 & 1 \end{matrix})$ .

Exercice 2 1285 Correction

Calculer le rang de familles de vecteurs suivantes de $ℝ^{3}$ :

(a)

$(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ avec $x_{1} = (1,1,0), x_{2} = (1,0,1) et x_{3} = (0,1,1)$
(b)

$(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ avec $x_{1} = (2,1,1), x_{2} = (1,2,1) et x_{3} = (1,1,2)$
(c)

$(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ avec $x_{1} = (1,2,1), x_{2} = (1,0,3) et x_{3} = (1,1,2)$ .

Solution

(a)

$rg (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 3$ .
(b)

$rg (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 3$ .
(c)

$rg (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2$ .

Exercice 3 1286 Correction

Calculer le rang des applications linéaires suivantes:

(a)

$f : 𝕂^{3} \to 𝕂^{3}$ définie par

$f (x, y, z) = (- x + y + z, x - y + z, x + y - z) .$
(b)

$f : 𝕂^{3} \to 𝕂^{3}$ définie par

$f (x, y, z) = (x - y, y - z, z - x) .$
(c)

$f : 𝕂^{4} \to 𝕂^{4}$ définie par

$f (x, y, z, t) = (x + y - t, x + z + 2 t,2 x + y - z + t, - x + 2 y + z) .$

Solution

(a)

$rg (f) = 3$
(b)

$rg (f) = 2$
(c)

$rg (f) = 4$ .

Exercice 4 2533 CCINP (MP)Correction

Soient $u, v : ℝ_{n} [X] \to ℝ_{n} [X]$ définies par

u (P) = P (X + 1) et v (P) = P (X - 1) .

(a)

Calculer $rg (u - v)$ en utilisant sa matrice.
(b)

Retrouver ce résultat d’une autre manière.

Solution

(a)

Dans la base canonique, la matrice de $u - v$ est de la forme

$(\begin{matrix} 0 & 2 & * \\ 0 & ⋱ \\ ⋱ & 2 n \\ 0 & 0 \end{matrix})$

donc

$rg (u - v) = (n + 1) - 1 = n .$
(b)

On peut aussi étudier le noyau de $u - v$ et par un argument de périodicité justifier que seuls les polynômes constants sont éléments de ce noyau.

Exercice 5 4541

Calculer le rang des matrices suivantes en fonction des paramètres réels $a$ , $b$ et $c$ :

(a)

$A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ b + c & c + a & a + b \\ b c & c a & a b \end{matrix})$
(b)

$B = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^{3} & b^{3} & c^{3} \end{matrix})$ .

Exercice 6 1287 Correction

Calculer le rang des matrices suivantes en fonction des paramètres:

(a)

$(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ b + c & c + a & a + b \\ b c & c a & a b \end{matrix})$
(b)

$(\begin{matrix} 1 & \cos (θ) & \cos (2 θ) \\ \cos (θ) & \cos (2 θ) & \cos (3 θ) \\ \cos (2 θ) & \cos (3 θ) & \cos (4 θ) \end{matrix})$
(c)

$(\begin{matrix} a & b & (0) \\ ⋱ & ⋱ \\ (0) & ⋱ & b \\ b & (0) & a \end{matrix})$

Solution

(a)

Notons $A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ b + c & c + a & a + b \\ b c & c a & a b \end{matrix})$ ,

$rg (A) = rg (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a - b & a - c \\ 0 & c (a - b) & b (a - c) \end{matrix}) = rg (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a - b & a - c \\ 0 & 0 & (b - c) (a - c) \end{matrix}) .$

En discutant les 5 cas possibles: $rg (A) = Card ({a, b, c})$ .

(b)

Notons $A = (\begin{matrix} 1 & \cos (θ) & \cos (2 θ) \\ \cos (θ) & \cos (2 θ) & \cos (3 θ) \\ \cos (2 θ) & \cos (3 θ) & \cos (4 θ) \end{matrix})$ .

rg (A) = rg (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ \cos (θ) & \sin^{2} (θ) & \sin (θ) \sin (2 θ) \\ \cos (2 θ) & \sin (θ) \sin (2 θ) & \sin^{2} (2 θ) \end{matrix}) .

Si $\sin (θ) = 0$ alors $rg (A) = 1$ .
Si $\sin (θ) \neq 0$ alors

rg (A) = rg (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ \cos (θ) & \sin^{2} (θ) & 2 \cos (θ) \times \sin^{2} (θ) \\ \cos (2 θ) & \sin (θ) \sin (2 θ) & 2 \cos (θ) \times \sin (θ) \sin (2 θ) \end{matrix}) = rg (\begin{matrix} 1 & 0 \\ \cos (θ) & \sin^{2} (θ) \\ \cos (2 θ) & \sin (θ) \sin (2 θ) \end{matrix}) = 2 .

Résumons: Si $θ \neq 0 [π]$ , $rg (A) = 2$ , sinon $rg (A) = 1$ .

(c)

Notons $A$ la matrice étudiée.
Cas: $a = b = 0$ . $rg (A) = 0$ car la matrice $A$ est nulle.

Cas: $a = 0$ et $b \neq 0$ . $rg (A) = n$ car les $n$ colonnes de $A$ sont indépendantes.

Cas: $a \neq 0$ . En effectuant successivement $C_{2} \leftarrow a C_{2} - b C_{1}, C_{3} \leftarrow a^{2} C_{3} - b C_{2}, \dots, C_{n} \leftarrow a^{n - 1} C_{n} - b C_{n - 1}$ , on obtient

$rg (A) = (\begin{matrix} a \\ ⋱ \\ a \\ a^{n} - {(- 1)}^{n} b^{n} \end{matrix})$

(il y a conservation du rang car $a \neq 0$ ).

Donc, si $a^{n} = {(- b)}^{n}$ alors $rg (A) = n - 1$ , sinon $rg (A) = n$ .

Exercice 7 1292

Soit $m \in ℝ$ . Donner la dimension des sous-espaces vectoriels de $ℝ^{3}$ suivants:

(a)

$F = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x + m y + z = 0 et m x + y + z = 0}$ .
(b)

$G = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | m x + y + z = x + m y + z = x + y + m z = 0}$ .

Exercice 8 1293 Correction

On considère, pour $m$ paramètre réel, les sous-espaces vectoriels de $ℝ^{3}$ :

F = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x + m y + z = 0 et m x + y - m z = 0}

G = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x - m y + z = 0} .

(a)

Déterminer la dimension de $F$ et $G$ .
(b)

Discuter, selon la valeur de $m$ , la dimension du sous-espace vectoriel $F \cap G$ .

Solution

(a)

$rg (\begin{matrix} 1 & m & 1 \\ m & 1 & - m \end{matrix}) = 2$

donc $dim F = 1$ et $rg (\begin{matrix} 1 & - m & 1 \end{matrix}) = 1$ donc $dim G = 2$ .
(b)

$rg (\begin{matrix} 1 & m & 1 \\ m & 1 & - m \\ 1 & - m & 1 \end{matrix}) = {\begin{matrix} 2 & si m = 0 \\ 3 & sinon \end{matrix}$

donc

$dim (F \cap G) = {\begin{matrix} 1 & si m = 0 \\ 0 & sinon. \end{matrix}$

Exercice 9 1289 Correction

Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées d’ordre $3$ telles que $A B = O_{3}$ .

Montrer que l’une au moins de ces matrices est de rang inférieur ou égal à $1$ .

Solution

Soient $u$ et $v$ les endomorphismes de $ℝ^{3}$ canoniquement associés à $A$ et $B$ .

Comme $u \circ v = 0$ , on a $Im (v) \subset Ker (u)$ , puis $rg (v) = 3 - dim Ker (v) \leq dim Ker (u)$ .
Par suite, $dim Ker (u) + dim Ker (v) \geq 3$ , puis $dim Ker (u) \geq 2 ou dim Ker (v) \geq 2$ .
On a alors respectivement $rg (u) = rg (A) \leq 1$ ou $rg (v) = rg (B) \leq 1$ .

Exercice 10 4542

Soient $A \in ℳ_{3,2} (ℝ)$ et $B \in ℳ_{2,3} (ℝ)$ deux matrices vérifiant

A B = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

Déterminer les rangs de $A$ et $B$ et calculer $B A$ .

Exercice 11 699 Correction

Soient $A \in ℳ_{3,2} (ℝ)$ et $B \in ℳ_{2,3} (ℝ)$ matrices de rang 2 vérifiant ${(A B)}^{2} = A B$ .
Montrer $B A = I_{2}$ .

Solution

On a $A (B A - I_{2}) B = 0$ .
Or puisque $A$ est de rang 2, $Ker (A) = {0}$ et donc $(B A - I_{2}) B = 0$ .
De plus, puisque $B$ est de rang 2, $Im (B) = ℳ_{2} (ℝ)$ et donc $B A - I_{2} = 0$ .

Exercice 12 710 Correction

Soit $G$ un groupe multiplicatif formé d’éléments de $ℳ_{n} (ℝ)$ .

Montrer que les éléments de $G$ ont tous le même rang.

Solution

Commençons par noter que le neutre multiplicatif de $G$ n’est pas nécessairement $I_{n}$ . Par exemple, $G = {O_{n}}$ est un groupe multiplicatif formé d’éléments de $ℳ_{n} (ℝ)$ .
Notons $J$ le neutre du groupe $G$ . Soit $A \in G$ .

D’une part, $J A = A$ donc $rg (A) = rg (J A) \leq rg (J)$ .

D’autre part, il existe $B \in M_{n} (ℝ)$ tel que $A B = J$ donc $rg (J) = rg (A B) \leq rg (A)$ .

Finalement,

\forall A \in G, rg (A) = rg (J) .

On peut même être plus précis et constater que les matrices de $A$ ont toutes la même image.

Exercice 13 3032 X (MP)Correction

Soit $f : ℳ_{n} (ℂ) \to ℂ$ non constante telle que:

\forall (A, B) \in ℳ_{n} {(ℂ)}^{2}, f (A B) = f (A) f (B) .

Pour $A \in ℳ_{n} (ℂ)$ , prouver l’équivalence:

A \in {GL}_{n} (ℂ) \Leftrightarrow f (A) \neq 0 .

Solution

Commençons par déterminer $f (I_{n})$ et $f (O_{n})$ .
On a $f (I_{n}) = f (I_{n}^{2}) = f {(I_{n})}^{2}$ donc $f (I_{n}) = 0$ ou 1.
Si $f (I_{n}) = 0$ alors pour tout $A \in ℳ_{n} (ℂ)$ , $f (A) = f (A \times I_{n}) = f (A) \times f (I_{n}) = 0$ et donc $f$ est constante ce qui est exclu. Ainsi, $f (I_{n}) = 1$ .
Aussi $f (O_{n}) = f (O_{n}^{2}) = f (O_{n}) \times f (O_{n})$ donc $f (O_{n}) = 0$ ou 1.
Si $f (O_{n}) = 1$ alors pour tout $A \in ℳ_{n} (ℂ)$ , $f (A) = f (O_{n}) \times f (A) = f (O_{n} \times A) = f (O_{n}) = 1$ et donc $f$ est constante ce qui est exclu. Ainsi, $f (O_{n}) = 0$ .
Si $A$ est inversible alors $f (I_{n}) = f (A \times A^{- 1})$ donne $f (A) \times f (A^{- 1}) = 1$ et donc $f (A) \neq 0$ .
La réciproque est plus délicate.
Supposons $A$ non inversible et posons $r = rg (A)$ .
La matrice $A$ est équivalente à la matrice

J_{r} = (\begin{matrix} I_{r} & O_{r, n - r} \\ O_{n - r, r} & O_{n - r} \end{matrix})

ce qui permet d’écrire $A = Q J_{r} P$ avec $P, Q$ inversibles. On a alors $f (A) = f (Q) f (J_{r}) f (P)$ et il suffit de montrer $f (J_{r}) = 0$ pour conclure.
Par permutation des vecteurs de bases, la matrice $J_{r}$ est semblable à toute matrice diagonale où figure $r$ coefficients 1 et $n - r$ coefficients 0. En positionnant, pertinemment les coefficients 0, on peut former des matrices $A_{1}, \dots, A_{p}$ toutes semblables à $J_{r}$ vérifiant

A_{1} \dots A_{p} = O_{n} .

On a alors

f (A_{1}) \dots f (A_{p}) = 0 .

Or il est facile d’établir que si deux matrices sont semblables, la fonction $f$ prend les mêmes valeurs sur celles-ci. Par suite, $f (J_{r}) = f (A_{1}) = \dots = f (A_{p})$ et ainsi $f {(J_{r})}^{p} = 0$ puis enfin $f (J_{r}) = 0$ .

Exercice 14 5349 MINES (MP)Correction

Soit $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ .

Montrer que la matrice $M$ est inversible ou nulle si, et seulement si, $rg (A M) = rg (M A)$ pour toute matrice $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ .

Solution

$(⟹)$ Si $M$ est inversible alors, pour toute matrice $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ , $rg (A M) = rg (A)$ et $rg (M A) = rg (A)$ car on ne modifie pas le rang d’une matrice en multipliant par une matrice inversible. On en déduit $rg (A M) = rg (M A)$ . Si $M$ est la matrice nulle alors $rg (A M) = rg (M A) = 0$ pour toute matrice $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ .

$(⟸)$ Supposons $rg (A M) = rg (M A)$ pour toute matrice $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ . Si la matrice $M$ n’est pas inversible, il existe une colonne $X$ non nulle telle que $M X = 0$ . Pour toute colonne $Y$ , on considère alors $A = X Y^{⊤} \in ℳ_{n} (ℝ)$ et l’on a

rg (M A) = rg (M X Y^{⊤}) = 0 donc rg (X Y^{⊤} M) = 0 .

Puisque la colonne $X$ n’est pas nulle, nécessairement la ligne $Y^{⊤} M$ doit être nulle. Cela entraîne $M^{⊤} Y = 0$ pour toute colonne $Y$ et donc $M^{⊤} = 0$ . Ainsi, si la matrice $M$ n’est pas inversible, c’est la matrice nulle.

Proposons une démarche alternative.

Posons $r \in ⟦ 0; n ⟧$ le rang $M$ . On peut écrire $M = Q J_{r} P$ avec $P, Q \in {GL}_{n} (ℝ)$ et $J_{r}$ la matrice canonique de rang $r$ de $ℳ_{n} (ℝ)$ . L’égalité $rg (A M) = rg (M A)$ entraîne $rg (A Q J_{r}) = rg (J_{r} P A)$ et donc $rg (P A Q J r) = rg (J_{r} P A Q)$ car on ne modifie pas le rang en multipliant par une matrice inversible. L’application $A \mapsto P A Q$ étant bijective de $ℳ_{n} (ℝ)$ vers $ℳ_{n} (ℝ)$ , on obtient $rg (J_{r} B) = rg (B J_{r})$ pour toute matrice $B$ de $ℳ_{n} (ℝ)$ . Par l’absurde, si $r \in ⟦ 1; n - 1 ⟧$ , considérons $B$ la matrice dont les $r$ premières lignes sont nulles et les suivantes constituées de coefficients tous égaux à $1$ . Le produit $J_{r} B$ est nul alors que $B J_{r}$ ne l’est pas. C’est absurde.

[<] Matrice d'un endomorphisme dans une base bien choisie (similitude) [>] Matrices de rang 1

Édité le 28-05-2025

Rang d'une matrice