[<] Matrice d'un endomorphisme dans une base bien choisie (similitude) [>] Image et noyau d'une matrice

 
Exercice 1  4525  

Calculer le rang des matrices suivantes:

  • (a)

    (1-12100-110-10001200000)

  • (b)

    (111-1-1-101102-1)

  • (c)

    (01111012-110-11-101).

 
Exercice 2  1285  Correction  

Calculer le rang de familles de vecteurs suivantes de 3:

  • (a)

    (x1,x2,x3) avec x1=(1,1,0),x2=(1,0,1) et x3=(0,1,1)

  • (b)

    (x1,x2,x3) avec x1=(2,1,1),x2=(1,2,1) et x3=(1,1,2)

  • (c)

    (x1,x2,x3) avec x1=(1,2,1),x2=(1,0,3) et x3=(1,1,2).

Solution

  • (a)

    rg(x1,x2,x3)=3 b) rg(x1,x2,x3)=3 c) rg(x1,x2,x3)=2

 
Exercice 3  1286  Correction  

Calculer le rang des applications linéaires suivantes:

  • (a)

    f:𝕂3𝕂3 définie par

    f(x,y,z)=(-x+y+z,x-y+z,x+y-z).
  • (b)

    f:𝕂3𝕂3 définie par

    f(x,y,z)=(x-y,y-z,z-x).
  • (c)

    f:𝕂4𝕂4 définie par

    f(x,y,z,t)=(x+y-t,x+z+2t,2x+y-z+t,-x+2y+z).

Solution

  • (a)

    rg(f)=3

  • (b)

    rg(f)=2

  • (c)

    rg(f)=4.

 
Exercice 4  2533    CCP (MP)Correction  

Soient u,v:n[X]n[X] définies par

u(P)=P(X+1) et v(P)=P(X-1).
  • (a)

    Calculer rg(u-v) en utilisant sa matrice.

  • (b)

    Retrouver ce résultat d’une autre manière.

Solution

  • (a)

    Dans la base canonique, la matrice de u-v est de la forme

    (02*02n00)

    donc

    rg(u-v)=(n+1)-1=n.
  • (b)

    On peut aussi étudier le noyau de u-v et par un argument de périodicité justifier que seuls les polynômes constants sont éléments de ce noyau.

 
Exercice 5  4541   

Calculer le rang des matrices suivantes en fonction des paramètres réels a, b et c:

  • (a)

    A=(111b+cc+aa+bbccaab)

  • (b)

    B=(111abca3b3c3).

 
Exercice 6  1287   Correction  

Calculer le rang des matrices suivantes en fonction des paramètres:

  • (a)

    (111b+cc+aa+bbccaab)

  • (b)

    (1cos(θ)cos(2θ)cos(θ)cos(2θ)cos(3θ)cos(2θ)cos(3θ)cos(4θ))

  • (c)

    (ab(0)(0)bb(0)a)

Solution

  • (a)

    Notons A=(111b+cc+aa+bbccaab),

    rg(A)=rg(1110a-ba-c0c(a-b)b(a-c))=rg(1110a-ba-c00(b-c)(a-c)).

    En discutant les 5 cas possibles: rg(A)=Card({a,b,c}).

  • (b)

    Notons A=(1cos(θ)cos(2θ)cos(θ)cos(2θ)cos(3θ)cos(2θ)cos(3θ)cos(4θ)).

    rg(A)=rg(100cos(θ)sin2(θ)sin(θ)sin(2θ)cos(2θ)sin(θ)sin(2θ)sin2(2θ)).

    Si sin(θ)=0 alors rg(A)=1.
    Si sin(θ)0 alors

    rg(A)=rg(100cos(θ)sin2(θ)2cos(θ)×sin2(θ)cos(2θ)sin(θ)sin(2θ)2cos(θ)×sin(θ)sin(2θ))=rg(10cos(θ)sin2(θ)cos(2θ)sin(θ)sin(2θ))=2.

    Résumons: Si θ0[π], rg(A)=2, sinon rg(A)=1.

  • (c)

    Notons A la matrice étudiée.
    Cas: a=b=0. rg(A)=0 car la matrice A est nulle.

    Cas: a=0 et b0. rg(A)=n car les n colonnes de A sont indépendantes.

    Cas: a0. En effectuant successivement C2aC2-bC1,C3a2C3-bC2,,Cnan-1Cn-bCn-1, on obtient

    rg(A)=(aaan-(-1)nbn)

    (il y a conservation du rang car a0).

    Donc, si an=(-b)n alors rg(A)=n-1, sinon rg(A)=n.

 
Exercice 7  1289  Correction  

Soient A et B deux matrices carrées d’ordre 3 telles que AB=O3.
Montrer que l’une au moins de ces matrices est de rang inférieur ou égal à 1.

Solution

Soient u et v les endomorphismes de 3 canoniquement associés à A et B.
Comme uv=0, on a Im(v)Ker(u), puis rg(v)=3-dimKer(v)dimKer(u).
Par suite, dimKer(u)+dimKer(v)3, puis dimKer(u)2 ou dimKer(v)2.
On a alors respectivement rg(u)=rg(A)1 ou rg(v)=rg(B)1.

 
Exercice 8  4542   

Soient A3,2() et B2,3() deux matrices vérifiant

AB=(100010000).

Déterminer les rangs de A et B et calculer BA.

 
Exercice 9  699   Correction  

Soient A3,2() et B2,3() matrices de rang 2 vérifiant (AB)2=AB.
Montrer BA=I2.

Solution

On a A(BA-I2)B=0.
Or puisque A est de rang 2, Ker(A)={0} et donc (BA-I2)B=0.
De plus, puisque B est de rang 2, Im(B)=2() et donc BA-I2=0.

 
Exercice 10  710  Correction  

Soit G un groupe multiplicatif formé d’éléments de n().

Montrer que les éléments de G ont tous le même rang.

Solution

Commençons par noter que le neutre multiplicatif de G n’est pas nécessairement In. Par exemple, G={On} est un groupe multiplicatif formé d’éléments de n().
Notons J le neutre du groupe G. Soit AG.

D’une part, JA=A donc rg(A)=rg(JA)rg(J).

D’autre part, il existe BMn() tel que AB=J donc rg(J)=rg(AB)rg(A).

Finalement,

AG,rg(A)=rg(J).

On peut même être plus précis et constater que les matrices de A ont toutes la même image.

 
Exercice 11  3032     X (MP)Correction  

Soit f:n() non constante telle que:

(A,B)n()2,f(AB)=f(A)f(B).

Pour An(), prouver l’équivalence:

AGLn()f(A)0.

Solution

Commençons par déterminer f(In) et f(On).
On a f(In)=f(In2)=f(In)2 donc f(In)=0 ou 1.
Si f(In)=0 alors pour tout An(), f(A)=f(A×In)=f(A)×f(In)=0 et donc f est constante ce qui est exclu. Ainsi, f(In)=1.
Aussi f(On)=f(On2)=f(On)×f(On) donc f(On)=0 ou 1.
Si f(On)=1 alors pour tout An(), f(A)=f(On)×f(A)=f(On×A)=f(On)=1 et donc f est constante ce qui est exclu. Ainsi, f(On)=0.
Si A est inversible alors f(In)=f(A×A-1) donne f(A)×f(A-1)=1 et donc f(A)0.
La réciproque est plus délicate.
Supposons A non inversible et posons r=rg(A).
La matrice A est équivalente à la matrice

Jr=(IrOr,n-rOn-r,rOn-r)

ce qui permet d’écrire A=QJrP avec P,Q inversibles. On a alors f(A)=f(Q)f(Jr)f(P) et il suffit de montrer f(Jr)=0 pour conclure.
Par permutation des vecteurs de bases, la matrice Jr est semblable à toute matrice diagonale où figure r coefficients 1 et n-r coefficients 0. En positionnant, pertinemment les coefficients 0, on peut former des matrices A1,,Ap toutes semblables à Jr vérifiant

A1Ap=On.

On a alors

f(A1)f(Ap)=0.

Or il est facile d’établir que si deux matrices sont semblables, la fonction f prend les mêmes valeurs sur celles-ci. Par suite, f(Jr)=f(A1)==f(Ap) et ainsi f(Jr)p=0 puis enfin f(Jr)=0.

 
Exercice 12  5349     MINES (MP)Correction  

Soit Mn().

Montrer que la matrice M est inversible ou nulle si, et seulement si, rg(AM)=rg(MA) pour toute matrice An().

Solution

() Si M est inversible alors, pour toute matrice An(), rg(AM)=rg(A) et rg(MA)=rg(A) car on ne modifie pas le rang d’une matrice en multipliant par une matrice inversible. On en déduit rg(AM)=rg(MA). Si M est la matrice nulle alors rg(AM)=rg(MA)=0 pour toute matrice An().

() Supposons rg(AM)=rg(MA) pour toute matrice An(). Si la matrice M n’est pas inversible, il existe une colonne X non nulle telle que MX=0. Pour toute colonne Y, on considère alors A=XYtn() et l’on a

rg(MA)=rg(MXYt)=0 donc rg(XYtM)=0.

Puisque la colonne X n’est pas nulle, nécessairement la ligne YtM doit être nulle. Cela entraîne MtY=0 pour toute colonne Y et donc Mt=0. Ainsi, si la matrice M n’est pas inversible, c’est la matrice nulle.

 
Exercice 13  3861      X (MP)

Soient A,Bn() vérifiant A2B=A et rg(A)=rg(B). Montrer B2A=B.

[<] Matrice d'un endomorphisme dans une base bien choisie (similitude) [>] Image et noyau d'une matrice



Édité le 08-11-2019

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