[<] Théorème des valeurs intérmédiaires [>] Théorème des bornes atteintes
Soit continue. Montrer que admet un point fixe.
Solution
Soit définie par . Un point fixe de est une valeur d’annulation de .
est continue, et donc, par le théorème des valeurs intermédiaires, s’annule.
Soit continue.
Montrer que, si , alors admet un point fixe11 1 Un point fixe d’une fonction est une solution de l’équation ..
Montrer que, si , alors admet un point fixe.
Soit continue et décroissante.
Montrer que admet un unique point fixe.
Solution
Unicité: Soit . est strictement décroissante donc injective et ne peut donc s’annuler qu’au plus une fois.
Existence: Par l’absurde, puisque est continue, si elle ne s’annule pas elle est strictement positive ou négative.
Si alors ce qui est absurde puisque .
Si alors ce qui est absurde puisque .
Soit continue, positive et telle que
Montrer qu’il existe tel que .
Solution
Si alors convient.
Sinon, considérons
La fonction est définie et continue sur .
Puisque , par opérations sur les limites .
De plus, . Puisque est continue et qu’elle prend des valeurs inférieures et supérieures à 1, on peut affirmer par le théorème des valeurs intermédiaires qu’il existe tel que d’où .
Soient une fonction continue et . On note l’itéré de composition d’ordre de la fonction :
On suppose que admet un point fixe, montrer que admet aussi un point fixe.
Soit une fonction croissante. Montrer que admet un point fixe.
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Édité le 29-08-2023
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