[<] Théorème des valeurs intérmédiaires [>] Théorème des bornes atteintes

 
Exercice 1  1800  Correction  

Soit f:[0;1][0;1] continue. Montrer que f admet un point fixe.

Solution

Soit φ:[0;1] définie par φ(x)=f(x)-x. Un point fixe de f est une valeur d’annulation de φ.
φ est continue, φ(0)=f(0)0 et φ(1)=f(1)-10 donc, par le théorème des valeurs intermédiaires, φ s’annule.

 
Exercice 2  3719  

Soit f:[a;b] continue.

  • (a)

    Montrer que, si f([a;b])[a;b], alors f admet un point fixe11 1 Un point fixe d’une fonction f est une solution de l’équation f(x)=x..

  • (b)

    Montrer que, si [a;b]f([a;b]), alors f admet un point fixe.

 
Exercice 3  1806  Correction  

Soit f: continue et décroissante.

Montrer que f admet un unique point fixe.

Solution

Unicité: Soit g:xf(x)-x. g est strictement décroissante donc injective et ne peut donc s’annuler qu’au plus une fois.

Existence: Par l’absurde, puisque g est continue, si elle ne s’annule pas elle est strictement positive ou négative.
Si x,g(x)>0 alors f(x)>xx++ ce qui est absurde puisque lim+f=inff.
Si x,g(x)<0 alors f(x)<xx-- ce qui est absurde puisque lim-f=supf.

 
Exercice 4  1807   Correction  

Soit f:[0;+[ continue, positive et telle que

limx+f(x)x=<1.

Montrer qu’il existe α[0;+[ tel que f(α)=α.

Solution

Si f(0)=0 alors α=0 convient.
Sinon, considérons

g:xf(x)x.

La fonction g est définie et continue sur +*.
Puisque f(0)>0, par opérations sur les limites limx0g(x)=+.

De plus, limx+g(x)=. Puisque g est continue et qu’elle prend des valeurs inférieures et supérieures à 1, on peut affirmer par le théorème des valeurs intermédiaires qu’il existe α+* tel que g(α)=1 d’où f(α)=α.

 
Exercice 5  5018   

Soient f: une fonction continue et n*. On note fn l’itéré de composition d’ordre n de la fonction f:

fn=fff(n facteurs).

On suppose que fn admet un point fixe, montrer que f admet aussi un point fixe.

 
Exercice 6  1783    

Soit f:[0;1][0;1] une fonction croissante. Montrer que f admet un point fixe.

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Édité le 08-11-2019

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