[<] Définitions quantifiées des limites [>] Théorème des valeurs intérmédiaires

 
Exercice 1  4865  

Étudier la continuité de la fonction f définie sur par

f(x)={x2 si x0-x2 si x<0.
 
Exercice 2  1793  Correction  

Étudier la continuité sur de l’application

f:xx+x-x.

Solution

Par opération f est continue sur chaque Ik=]k;k+1[ avec k. Il reste à étudier la continuité en a.

Quand xa+,

f(x)=x+x-xa=f(a)

car xa.

Quand xa-,

f(x)=x+x-xa-1+1=a=f(a)

car xa-1.

Par continuité à droite et à gauche, f est continue en a.

Finalement, f est continue sur .

 
Exercice 3  1794  

Étudier la continuité de

f:xx+(x-x)2.
 
Exercice 4  1795   Correction  

Soit f: définie par

f(x)={1 si x0 sinon.

Montrer que f est totalement discontinue.

Solution

Soit a.
Il existe une suite (un) de nombre rationnels et une suite (vn) de nombres irrationnels telles que un,vna.
On a f(un)=11 et f(vn)=00 donc f n’a pas de limite en a et est donc discontinue en a.

 
Exercice 5  1796   

Soit f:+* une fonction telle que xf(x) est croissante et xf(x)x décroissante. Montrer que f est continue.

 
Exercice 6  1797  
  • (a)

    Soient f:I et g:I deux fonctions continues. Montrer la continuité de la fonction sup(f,g) définie sur I par

    sup(f,g)(x)=max(f(x),g(x)).
  • (b)

    Soient f:I, g:I et h:I trois fonctions continues. Montrer la continuité de la fonction qui à xI associe la valeur, parmi f(x),g(x),h(x), qui est comprise entre les deux autres.

 
Exercice 7  240   

Étudier la continuité de la fonction f:[0;+[ définie par

f(x)=sup{xnn!|n}.

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Édité le 08-11-2019

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