Exercice 1 4867

Donner un exemple:

(a)

de fonction continue sur $[0; + \infty [$ ni minorée, ni majorée.
(b)

de fonction continue sur $] 0; + \infty [$ sans limite en $0$ ;
(c)

de fonction définie sur $ℝ$ continue en aucun point.
(d)

de fonction définie sur $ℝ$ continue en aucun point sauf $0$ .

Exercice 2 1779

Soit $f : ℝ \to ℝ$ telle que $f \circ f$ est croissante et $f \circ f \circ f$ strictement décroissante.

Étudier la monotonie de $f$ .

Exercice 3 6072 Correction

Étudier la parité de la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par

f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}

Solution

Remarquons que la fonction $f$ est correctement définie: le dénominateur ne s’annule pas. Pour $x \in ℝ$ , $- x \in ℝ$ et

f (- x) = \frac{e^{- x} - 1}{e^{- x} + 1}

On multiplie par $e^{x}$ au numérateur et au dénominateur

f (- x) = \frac{e^{x}}{e^{x}} \cdot \frac{e^{- x} - 1}{e^{- x} + 1} = \frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} = - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} = - f (x)

La fonction $f$ est impaire.

Exercice 4 1780

Étudier la parité de la fonction $f$ d’une variable réelle définie par

f (x) = \ln (\sqrt{x^{2} + 1} + x) .

Exercice 5 5026 Correction

Déterminer une fonction $f : ℝ \to ℝ$ telle que $f$ ne présente ni minimum ni maximum sur aucun intervalle $[a; b]$ avec $a < b \in ℝ$ .

Solution

Tout nombre décimal s’écrit

x = \frac{p}{10^{k}} avec p \in ℤ et k \in ℕ .

De plus, cette écriture est unique si l’on impose que $p$ n’est pas un multiple de $10$ .

Considérons alors la fonction $f$ définie par $f (x) = 0$ si $x$ n’est pas un nombre décimal et

f (x) = {(- 1)}^{p} (1 - \frac{1}{10^{k}})

si $x$ est un nombre décimal s’écrivant $p / 10^{k}$ avec $p \in ℤ$ qui n’est pas divisible par $10$ et $k \in ℕ$ .

Sur tout segment $[a; b]$ avec $a < b$ , la fonction $f$ prend ses valeurs dans $] - 1; 1 [$ et prend des valeurs arbitrairement proches de $1$ et de $- 1$ : elle n’y présente ni minimum ni maximum.

[>] Calcul de limites

Édité le 29-11-2025

Généralités sur les fonctions