Exercice 1 4831

Soit $f : I \to ℝ$ une application continue, impaire et strictement monotone.

Justifier que $f$ réalise une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ et montrer que sa bijection réciproque est impaire.

Exercice 2 1816 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ définie par

f (x) = \frac{x}{1 + | x |} .

(a)

Montrer que $f$ réalise une bijection de $ℝ$ vers un intervalle $I$ à préciser.
(b)

Pour $y \in I$ , déterminer une expression de $f^{- 1} (y)$ analogue à celle de $f (x)$ .

Solution

(a)

Sur $[0; + \infty [$ ,

$f (x) = \frac{x}{1 + x} = 1 - \frac{1}{1 + x}$

$f$ est continue, strictement croissante et ${lim}_{+ \infty} f = 1$ .

Sur $] - \infty; 0 [$ ,

$f (x) = \frac{x}{1 - x} = - 1 + \frac{1}{1 - x}$

$f$ est continue et strictement croissante et ${lim}_{- \infty} f = - 1$ .

Ainsi, $f$ est continue sur $ℝ$ , strictement croissante et réalise une bijection de $ℝ$ vers $I =] {lim}_{- \infty} f; {lim}_{+ \infty} f [=] - 1; 1 [$ . Finalement, $f$ réalise une bijection de $ℝ$ vers $] - 1; 1 [$ .
(b)

Pour $y \in [0; 1 [$ , son antécédent $x = f^{- 1} (y)$ appartient à $[0; + \infty [$ .

$y = f (x) \Leftrightarrow y = \frac{x}{1 + x} \Leftrightarrow x = \frac{y}{1 - y} .$

Pour $y \in] - 1; 0 [$ , son antécédent $x = f^{- 1} (y)$ appartient à $] - \infty; 0 [$ .

$y = f (x) \Leftrightarrow y = \frac{x}{1 - x} \Leftrightarrow x = \frac{y}{1 + y} .$

Finalement,

$\forall y \in] - 1; 1 [, f^{- 1} (y) = \frac{y}{1 - | y |} .$

Exercice 3 1817 Correction

Soient $a < b \in ℝ$ et $f :] a; b [\to ℝ$ une fonction strictement croissante.
Montrer que $f$ est continue si, et seulement si, $f (] a; b [) =] {lim}_{a} f; {lim}_{b} f [$ .

Solution

Notons que ${lim}_{a} f$ et ${lim}_{b} f$ existent car $f$ est croissante.

$(⟹)$ Supposons $f$ continue.
Puisque $f$ est continue et strictement croissante, $f$ réalise une bijection de $] a; b [$ sur $] {lim}_{a} f; {lim}_{b} f [$ d’où le résultat.

$(⟸)$ Supposons $f (] a; b [) =] {lim}_{a} f; {lim}_{b} f [$ .
Soit $x_{0} \in] a; b [$ . On a ${lim}_{a} f < f (x_{0}) < {lim}_{b} f$ .
Pour tout $ε > 0$ , soit $y^{+} \in] f (x_{0}); f (x_{0}) + ε] \cap] {lim}_{a} f; {lim}_{b} f [$ . Il existe $x^{+} \in] a; b [$ tel que $f (x^{+}) = y^{+}$ .
Soit $y^{-} \in [f (x_{0}) - ε; f (x_{0}) [\cap] {lim}_{a} f; {lim}_{b} f [$ . Il existe $x^{-} \in] a; b [$ tel que $f (x^{-}) = y^{-}$ .
Puisque $f$ est croissante, $x^{-} < x_{0} < x^{+}$ . Posons $α = \min (x^{+} - x_{0}, x_{0} - x^{-}) > 0$ .
Pour tout $x \in] a; b [$ , si $| x - x_{0} | \leq α$ alors $x^{-} \leq x \leq x^{+}$ donc $y^{-} \leq f (x) \leq y^{+}$ d’où $| f (x) - f (x_{0}) | \leq ε$ .
Ainsi $f$ est continue en $x_{0}$ puis $f$ continue sur $] a; b [$ .

Exercice 4 4874

Déterminer les fonctions $f : [0; + \infty [\to [0; + \infty [$ continues vérifiant

f (f (x)) = x pour tout x \in [0; + \infty [.

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Édité le 21-09-2023

Bijection continue