[<] Théorème des bornes atteintes [>] Continuité et équation fonctionnelle

 
Exercice 1  4831  

Soit f:I une application continue, impaire et strictement monotone.

Justifier que f réalise une bijection de I vers un intervalle J et montrer que sa bijection réciproque est impaire.

 
Exercice 2  1816  Correction  

Soit f: définie par

f(x)=x1+|x|.
  • (a)

    Montrer que f réalise une bijection de vers ]-1;1[.

  • (b)

    Pour y]-1;1[, déterminer une expression de f-1(y) analogue à celle de f(x).

Solution

  • (a)

    Sur [0;+[,

    f(x)=x1+x=1-11+x

    est continue et strictement croissante, f(0)=0 et lim+f=1.
    Ainsi f réalise une bijection de [0;+[ vers [0;1[.
    Sur ]-;0[,

    f(x)=x1-x=-1+11-x

    est continue et strictement croissante, lim0f=0 et lim-f=-1.
    Ainsi f réalise une bijection de ]-;0[ vers ]-1;0[.
    Finalement, f réalise une bijection de vers ]-1;1[.

  • (b)

    Pour y[0;1[, son antécédent x=f-1(y) appartient à [0;+[.

    y=f(x)y=x1+xx=y1-y.

    Pour y]-1;0[, son antécédent x=f-1(y) appartient à ]-;0[.

    y=f(x)y=x1-xx=y1+y.

    Finalement,

    y]-1;1[,f-1(y)=y1-|y|.
 
Exercice 3  1817   Correction  

Soient a<b et f:]a;b[ une fonction strictement croissante.
Montrer que f est continue si, et seulement si, f(]a;b[)=]limaf;limbf[.

Solution

Notons que limaf et limbf existent car f est croissante.

() Supposons f continue.
Puisque f est continue et strictement croissante, f réalise une bijection de ]a;b[ sur ]limaf;limbf[ d’où le résultat.

() Supposons f(]a;b[)=]limaf;limbf[.
Soit x0]a;b[. On a limaf<f(x0)<limbf.
Pour tout ε>0, soit y+]f(x0);f(x0)+ε]]limaf;limbf[. Il existe x+]a;b[ tel que f(x+)=y+.
Soit y-[f(x0)-ε;f(x0)[]limaf;limbf[. Il existe x-]a;b[ tel que f(x-)=y-.
Puisque f est croissante, x-<x0<x+. Posons α=min(x+-x0,x0-x-)>0.
Pour tout x]a;b[, si |x-x0|α alors x-xx+ donc y-f(x)y+ d’où |f(x)-f(x0)|ε.
Ainsi f est continue en x0 puis f continue sur ]a;b[.

 
Exercice 4  4874   

Déterminer les fonctions f:[0;+[[0;+[ continues vérifiant

f(f(x))=xpour tout x[0;+[

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Édité le 08-11-2019

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