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Exercice 1  4863  

Étudier les limites suivantes:

  • (a)

    limx0+(1x+ln(x))

  • (b)

    limx0+xx

  • (c)

    limx0+|ln(x)|1ln(x)

  • (d)

    limx0sin(x)x

  • (e)

    limx0+xsin(ln(x))

  • (f)

    limx0+1xx.

 
Exercice 2  4862  

Étudier11 1 Étudier une limite consiste à savoir si celle-ci existe et donner sa valeur si tel est le cas. les limites suivantes:

  • (a)

    limx+(3x2-ex)

  • (b)

    limx+x2+x+1x+1

  • (c)

    limx+xe-x

  • (d)

    limx+xcos(ex)x2+1

  • (e)

    limx+1xx

  • (f)

    limx+(x2+xsin(x)).

 
Exercice 3  4864  

Étudier les limites suivantes:

  • (a)

    limx1+ln(x)ln(ln(x))

  • (b)

    limxπ/2sin(2x)π-2x

  • (c)

    limx1x-1ln(x).

 
Exercice 4  4824  

Lorsqu’elles existent, calculer les limites qui suivent:

  • (a)

    limx+x1x

  • (b)

    limx+(1x2)1ln(x)

  • (c)

    limx0+xxx.

 
Exercice 5  1784  Correction  

Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent:

  • (a)

    limx01+x-1-xx

  • (b)

    limx+x-xln(x)+x

  • (c)

    limx0+xx

  • (d)

    limx1+ln(x).ln(ln(x))

  • (e)

    limx0(1+x)1/x

  • (f)

    limx11-xarccos(x)

Solution

  • (a)

    Quand x0,

    1+x-1-xx=1+x-(1-x)x(1+x+1-x)=21+x+1-x1.
  • (b)

    Quand x+,

    x-xln(x)+x=1-1/xln(x)x+11.
  • (c)

    Quand x0+,

    xx=exln(x)=eX

    avec X=xln(x)0 donc xx1.

  • (d)

    Quand x1+,

    ln(x).ln(ln(x))=Xln(X)

    avec X=ln(x)0 donc ln(x).ln(ln(x))0

  • (e)

    Quand x0,

    (1+x)1/x=e1xln(1+x)=eX

    avec X=ln(1+x)x1 donc (1+x)1/xe.

  • (f)

    Quand x1,

    1-xarccos(x)=1-cos(y)y=2sin2((y)/2)y=sin(y/2)sin(y/2)y/2

    avec y=arccos(x)0 donc sin(y)/20 et sin(y)/2y/21 puis 1-xarccos(x)0.

 
Exercice 6  1785   Correction  

Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent:

  • (a)

    limx0x.sin(1x)

  • (b)

    limx+xcos(ex)x2+1

  • (c)

    limx+ex-sin(x)

  • (d)

    limx+x+arctan(x)x

  • (e)

    limx0x1/x

  • (f)

    limx+x1/x

Solution

  • (a)

    Quand x0,

    |xsin(1x)||x|0.
  • (b)

    Quand x+,

    |xcos(ex)x2+1|xx2+10.
  • (c)

    Quand x+,

    ex-sin(x)ex-1+.
  • (d)

    Quand x+,

    |x+arctan(x)x-1|arctan(x)xπ2x0.
  • (e)

    Quand x0,

    1/x-11/x1/x

    donc

    |1/x-1/x|1

    puis

    |x1/x-1||x|0.
  • (f)

    Quand x+, 1/x0 donc 1/x=0 puis x1/x=00.

 
Exercice 7  1786   Correction  

Déterminer les limites suivantes:

  • (a)

    limx0+1/x

  • (b)

    limx0x1/x

  • (c)

    limx0x21/x

Solution

  • (a)

    Quand x0+,

    E1/x1x-1+.
  • (b)

    Quand x0+,

    1/x-11/x1/x

    donne

    1-xx1/x1

    puis x1/x1.
    Quand x0-,

    1/x-11/x1/x

    donne

    11/x1-x

    puis à nouveau x1/x1.

  • (c)

    Quand x0+,

    |x21/x|x2x0

    via

    01/x1/x

    et quand x0-,

    |x21/x|x2(1-1x)0

    via

    1x-11/x0.

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Édité le 08-11-2019

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