• (a)

  Quand $x\to 0$,

  $$\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}=\frac{1+x-(1-x)}{x\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)}=\frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\to 1\text{.}$$

• (b)

  Quand $x\to +\mathrm{\infty }$,

  $$\frac{x-\sqrt{x}}{\ln (x)+x}=\frac{1-1/\sqrt{x}}{\frac{\ln (x)}{x}+1}\to 1\text{.}$$

• (c)

  Quand $x\to 0^{+}$,

  $$x^x={\mathrm{e}}^{x\ln (x)}={\mathrm{e}}^X$$

  avec $X=x\ln (x)\to 0$ donc $x^x\to 1$.

• (d)

  Quand $x\to 1^{+}$,

  $$\ln (x).\ln \left(\ln (x)\right)=X\ln (X)$$

  avec $X=\ln (x)\to 0$ donc $\ln (x).\ln \left(\ln (x)\right)\to 0$

• (e)

  Quand $x\to 0$,

  $${(1+x)}^{1/x}={\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}\ln (1+x)}={\mathrm{e}}^X$$

  avec $X=\frac{\ln (1+x)}{x}\to 1$ donc ${(1+x)}^{1/x}\to \mathrm{e}$.

• (f)

  Quand $x\to 1$,

  $$\frac{1-x}{\arccos (x)}=\frac{1-\cos (y)}{y}=\frac{2{\sin }^2((y)/2)}{y}=\sin (y/2)\frac{\sin (y/2)}{y/2}$$

  avec $y=\arccos (x)\to 0$ donc $\sin (y)/2\to 0$ et $\frac{\sin (y)/2}{y/2}\to 1$ puis $\frac{1-x}{\arccos (x)}\to 0$.

• (a)

  Quand $x\to 0$,

  $$\left|x\sin \left(\frac{1}{x}\right)\right|\le |x|\to 0\text{.}$$

• (b)

  Quand $x\to +\mathrm{\infty }$,

  $$\left|\frac{x\cos \left({\mathrm{e}}^x\right)}{x^2+1}\right|\le \frac{x}{x^2+1}\to 0\text{.}$$

• (c)

  Quand $x\to +\mathrm{\infty }$,

  $${\mathrm{e}}^{x-\sin (x)}\ge {\mathrm{e}}^{x-1}\to +\mathrm{\infty }\text{.}$$

• (d)

  Quand $x\to +\mathrm{\infty }$,

  $$\left|\frac{x+\arctan (x)}{x}-1\right|\le \frac{\arctan (x)}{x}\le \frac{\pi }{2x}\to 0\text{.}$$

• (e)

  Quand $x\to 0$,

  $$1/x-1\le \lfloor 1/x\rfloor \le 1/x$$

  donc

  $$\left|\lfloor 1/x\rfloor -1/x\right|\le 1$$

  puis

  $$\left|x\lfloor 1/x\rfloor -1\right|\le |x|\to 0\text{.}$$

• (f)

  Quand $x\to +\mathrm{\infty }$, $1/x\to 0$ donc $\lfloor 1/x\rfloor =0$ puis $x\lfloor 1/x\rfloor =0\to 0$.

• (a)

  Quand $x\to 0^{+}$,

  $$E\lfloor 1/x\rfloor \ge \frac{1}{x}-1\to +\mathrm{\infty }\text{.}$$

• (b)

  Quand $x\to 0^{+}$,

  $$1/x-1\le \lfloor 1/x\rfloor \le 1/x$$

  donne

  $$1-x\le x\lfloor 1/x\rfloor \le 1$$

  puis $x\lfloor 1/x\rfloor \to 1$.
  Quand $x\to 0^{-}$,

  $$1/x-1\le \lfloor 1/x\rfloor \le 1/x$$

  donne

  $$1\le \lfloor 1/x\rfloor \le 1-x$$

  puis à nouveau $x\lfloor 1/x\rfloor \to 1$.

• (c)

  Quand $x\to 0^{+}$,

  $$\left|x^2\lfloor 1/x\rfloor \right|\le \frac{x^2}{x}\to 0$$

  via

  $$0\le \lfloor 1/x\rfloor \le 1/x$$

  et quand $x\to 0^{-}$,

  $$\left|x^2\lfloor 1/x\rfloor \right|\le x^2\left(1-\frac{1}{x}\right)\to 0$$

  via

  $$\frac{1}{x}-1\le \lfloor 1/x\rfloor \le 0\text{.}$$

Cas: $x\in \mathbb{Q}$. Il existe $p\in {\mathbb{N}}^{*}$ tel que $px\in \mathbb{Z}$. Pour $n\ge p$, $2\pi n!x\in \pi \mathbb{Z}$ et alors

On en déduit

Cas: $x\in \mathbb{Q}$. Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, $2\pi n!x\notin \pi \mathbb{Z}$ et donc $\cos (\pi n!x)\in ]-1;1[$. On a alors

puis

• (a)

  La fonction $x\mapsto \ln (1+x)$ convient.

• (b)

  Par récurrence, montrons que pour tout $n\in \mathbb{N}$

  $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f\left(c^{n}x\right)}{f(x)}=1\text{.}$$

  La propriété est immédiate au rang $n=0$.

  Supposons la propriété vraie au rang $n\ge 0$.

  On écrit

  $$\frac{f\left(c^{n+1}x\right)}{f(x)}=\frac{f\left(c^{n+1}x\right)}{f(c^{n}x)}\cdot \frac{f\left(c^{n}x\right)}{f(x)}\text{.}$$

  Par produit de limites,

  $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f\left(c^{n+1}x\right)}{f(x)}=1\text{.}$$

  La récurrence est établie.

  Soit $d>0$.

  Cas: $d\ge 1$. Il existe $n\in \mathbb{N}$ tel que $1\le d\le c^n$. Par croissance de $f$,

  $$\forall x>0,f(x)\le f(dx)\le f\left(c^{n}x\right)$$

  et donc

  $$\forall x>\mathrm{0,\hspace{0.25em}1}\le \frac{f(dx)}{f(x)}\le \frac{f\left(c^{n}x\right)}{f(x)}\text{.}$$

  Par encadrement,

  $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(dx)}{f(x)}=1\text{.}$$

  Cas: $d<1$. On écrit

  $$\frac{f(dx)}{f(x)}={\left(\frac{f(x)}{f(dx)}\right)}^{-1}={\left(\frac{f(d^{\prime }y)}{y}\right)}^{-1}$$

  avec $d^{\prime }=1/d>1$ et $y=dx$. Par opérations sur les limites,

  $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(dx)}{f(x)}=1\text{.}$$