[<] Existence de points fixes [>] Bijection continue
Soient bornée et continue.
Montrer que et sont bornées.
Solution
Soit tel que
Pour tout , donc est bornée.
Puisque la fonction est continue sur le segment , elle y est bornée par un certain .
Pour tout , car ainsi est bornée.
Soit une fonction continue périodique de période .
Montrer que est bornée.
Justifier l’existence d’un réel pour lequel .
Soit une fonction continue admettant une limite finie en .
Démontrer que est bornée.
Soient continues telles que
Montrer qu’il existe tel que
Solution
Posons définie par
est continue sur le segment donc y admet un minimum en un certain .
Posons . Pour tout , donc .
Soit une fonction continue de limite en et en .
Montrer que admet un minimum.
Soit continue. On suppose que chaque admet au plus deux antécédents par .
Montrer qu’il existe un possédant exactement un antécédent.
Solution
Soit une valeur prise par .
Si celle-ci n’a qu’un antécédent, c’est fini.
Sinon, soient les deux seuls antécédents de .
La fonction est continue sur y admet donc un minimum en et un maximum en . De plus, l’un au moins de et n’est pas une extrémité de l’intervalle . Quitte à échanger, supposons que cela soit .
Supposons que possède un autre antécédent que .
Cas: . La fonction ne peut être constante entre et et une valeur strictement comprise entre et possède au moins antécédents.
Cas: . Une valeur strictement intermédiaire à et possède au moins antécédents.
Ces deux cas étant impossibles, la valeur possède exactement un seul antécédent.
Soit une fonction continue vérifiant (avec ).
Montrer qu’il existe tel que
Quels sont les polynômes vérifiant ?
Quels sont les polynômes vérifiant ?
Solution
Soit . On a immédiatement .
Si est constant égal à alors .
Sinon, pour tout , l’équation possède au moins une solution car le théorème de d’Alembert-Gauss assure l’existence d’une racine au polynôme . On peut alors affirmer .
On en déduit que les polynômes vérifiant sont les polynômes non constants.
Soit . Notons la suite des coefficients du polynôme . On sait
Si alors, par calcul de dérivée,
Par une récurrence immédiate, pour tout et donc .
Ainsi, les polynômes vérifiant sont à rechercher parmi les polynômes à coefficients réels.
Soit . On a immédiatement .
Si est de degré pair et si son coefficient dominant est strictement positif alors
Par continuité de la fonction polynomiale , la fonction présente un minimum et donc .
Si est de degré pair et si son coefficient dominant est strictement négatif, on parvient à une conclusion analogue en considérant .
Si est de degré impair alors les limites de la fonction en et en sont infinies et opposées. Par continuité de la fonction polynomiale , on obtient que, pour tout , l’équation présente au moins une solution et donc .
En résumé, les polynômes vérifiant sont les polynômes réels de degrés impairs.
Soient et une fonction continue vérifiant
Montrer qu’il existe tel que pour tout .
Application : Soit une suite d’éléments de . Étudier
Soit une fonction continue. Pour tout réel positif, on pose
Montrer que la fonction est définie, continue et croissante sur .
[<] Existence de points fixes [>] Bijection continue
Édité le 29-08-2023
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