Exercice 1 1812 Correction

Soient $f : ℝ \to ℝ$ bornée et $g : ℝ \to ℝ$ continue.
Montrer que $g \circ f$ et $f \circ g$ sont bornées.

Solution

Soit $M \in ℝ$ tel que

\forall x \in ℝ, | f (x) | \leq M .

Pour tout $x \in ℝ$ , $| f (g (x)) | \leq M$ donc $f \circ g$ est bornée.
Puisque la fonction $g$ est continue sur le segment $[- M; M]$ , elle y est bornée par un certain $M^{'}$ .
Pour tout $x \in ℝ$ , $| g (f (x)) | \leq M^{'}$ car $f (x) \in [- M; M]$ ainsi $g \circ f$ est bornée.

Exercice 2 3437

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction continue périodique de période $T > 0$ .

(a)

Montrer que $f$ est bornée.
(b)

Justifier l’existence d’un réel $x$ pour lequel $f ([x; x + T / 2]) = f (ℝ)$ .

Exercice 3 4099

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ une fonction continue admettant une limite finie $ℓ$ en $+ \infty$ .

Démontrer que $f$ est bornée.

Exercice 4 1810 Correction

Soient $f, g : [a; b] \to ℝ$ continues telles que

\forall x \in [a; b], f (x) < g (x) .

Montrer qu’il existe $α > 0$ tel que

\forall x \in [a; b], f (x) \leq g (x) - α .

Solution

Posons $φ : [a; b] \to ℝ$ définie par

φ (x) = g (x) - f (x)

$φ$ est continue sur le segment $[a; b]$ donc y admet un minimum en un certain $c \in [a; b]$ .
Posons $α = φ (c) = g (c) - f (c) > 0$ . Pour tout $x \in [a; b]$ , $φ (x) \geq α$ donc $f (x) \leq g (x) - α$ .

Exercice 5 5067

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction continue de limite $+ \infty$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ .

Montrer que $f$ admet un minimum.

Exercice 6 1815 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ continue. On suppose que chaque $y \in ℝ$ admet au plus deux antécédents par $f$ .
Montrer qu’il existe un $y \in ℝ$ possédant exactement un antécédent.

Solution

Soit $y$ une valeur prise par $f$ .

Si celle-ci n’a qu’un antécédent, c’est fini.

Sinon, soient $a < b$ les deux seuls antécédents de $y$ .

La fonction $f$ est continue sur $[a; b]$ y admet donc un minimum en $c$ et un maximum en $d$ . De plus, l’un au moins de $c$ et $d$ n’est pas une extrémité de l’intervalle $[a; b]$ . Quitte à échanger, supposons que cela soit $c$ .

Supposons que $f (c)$ possède un autre antécédent $c^{'}$ que $c$ .

Cas: $c^{'} \in [a; b]$ . La fonction $f$ ne peut être constante entre $c$ et $c^{'}$ et une valeur strictement comprise entre $f (c) = f (c^{'})$ et $\max_{[c; c^{'}]} f$ possède au moins $3$ antécédents.

Cas: $c^{'} \notin [a; b]$ . Une valeur strictement intermédiaire à $y$ et $f (c)$ possède au moins $3$ antécédents.

Ces deux cas étant impossibles, la valeur $f (c)$ possède exactement un seul antécédent.

Exercice 7 3722

Soit $f : [a; b] \to ℝ$ une fonction continue vérifiant $f (a) = f (b)$ (avec $a < b$ ).

Montrer qu’il existe $α > 0$ tel que

\forall t \in [0; α], \exists x \in [a; b - α], f (x + t) = f (x) .

Exercice 8 5680 MINES (MP)Correction

(a)

Quels sont les polynômes $P \in ℂ [X]$ vérifiant $P (ℂ) = ℂ$ ?
(b)

Quels sont les polynômes $P \in ℂ [X]$ vérifiant $P (ℝ) = ℝ$ ?

Solution

(a)

Soit $P \in ℂ [X]$ . On a immédiatement $P (ℂ) \subset ℂ$ .

Si $P \in ℂ [X]$ est constant égal à $λ$ alors $P (ℂ) = {λ} \neq ℂ$ .

Sinon, pour tout $Z \in ℂ$ , l’équation $P (z) = Z$ possède au moins une solution $z \in ℂ$ car le théorème de d’Alembert-Gauss assure l’existence d’une racine au polynôme $P (X) - Z$ . On peut alors affirmer $P (ℂ) = ℂ$ .

On en déduit que les polynômes $P \in ℂ [X]$ vérifiant $P (ℂ) = ℂ$ sont les polynômes non constants.
(b)

Soit $P \in ℂ [X]$ . Notons $(a_{k})$ la suite des coefficients du polynôme $P$ . On sait

$\forall k \in ℕ, a_{k} = \frac{P^{(k)} (0)}{k!} .$

Si $P (ℝ) \subset ℝ$ alors, par calcul de dérivée,

$\forall x \in ℝ, P^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{1}{h} (P (x + h) - P (x)) \in ℝ .$

Par une récurrence immédiate, $P^{(k)} (ℝ) \subset ℝ$ pour tout $k \in ℕ$ et donc $a_{k} \in ℝ$ .

Ainsi, les polynômes $P \in ℂ [X]$ vérifiant $P (ℝ) = ℝ$ sont à rechercher parmi les polynômes à coefficients réels.

Soit $P \in ℝ [X]$ . On a immédiatement $P (ℝ) \subset ℝ$ .

Si $P$ est de degré pair et si son coefficient dominant est strictement positif alors

$lim_{t \to + \infty} P (t) = lim_{t \to - \infty} P (t) = + \infty .$

Par continuité de la fonction polynomiale $P$ , la fonction $P$ présente un minimum et donc $P (ℝ) \neq ℝ$ .

Si $P$ est de degré pair et si son coefficient dominant est strictement négatif, on parvient à une conclusion analogue en considérant $- P$ .

Si $P$ est de degré impair alors les limites de la fonction $P$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ sont infinies et opposées. Par continuité de la fonction polynomiale $P$ , on obtient que, pour tout $y \in ℝ$ , l’équation $P (x) = y$ présente au moins une solution $x \in ℝ$ et donc $P (ℝ) = ℝ$ .

En résumé, les polynômes $P \in ℂ [X]$ vérifiant $P (ℝ) = ℝ$ sont les polynômes réels de degrés impairs.

Exercice 9 5068

Soient $a < b \in ℝ$ et $f : [a; b] \to ℝ$ une fonction continue vérifiant

| f (x) | < 1 pour tout x \in [a; b] .

(a)

Montrer qu’il existe $k \in [0; 1 [$ tel que $| f (x) | ⩽ k$ pour tout $x \in [a; b]$ .
(b)

Application: Soit $(x_{n})$ une suite d’éléments de $[a; b]$ . Étudier

$lim_{n \to + \infty} {(f (x_{n}))}^{n} .$

Exercice 10 4871

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ une fonction continue. Pour tout réel $x$ positif, on pose

g (x) = \max_{t \in [0; x]} f (t) .

Montrer que la fonction $g$ est définie, continue et croissante sur $[0; + \infty [$ .

Exercice 11 6087 MINES (MP)Correction

Soient $f, g \in 𝒞 (ℝ_{+}, ℝ_{+})$ .

(a)

On suppose

$\forall x \in ℝ_{+}, f (x) ⩽ \int_{0}^{x} f (t) g (t) d t .$

Montrer que $f$ est identiquement nulle.
(b)

On suppose qu’il existe $a$ et $m$ dans $[0; 1 [$ tels que

$\forall x \in ℝ_{+}, f (x) ⩽ a f (m x) + \int_{0}^{x} f (t) g (t) d t .$

Montrer que $f$ est identiquement nulle.

Solution

(a)

Considérons $φ : ℝ_{+} \to ℝ$ et $G : ℝ_{+} \to ℝ$ données par

$φ (x) = \int_{0}^{x} f (t) g (t) d t et G (x) = \int_{0}^{x} g (t) d t .$

La fonction $ψ : x \mapsto φ (x) e^{- G (x)}$ est de classe $𝒞^{1}$ sur $ℝ_{+}$ avec

$ψ^{'} (x) = (φ^{'} (x) - g (x) φ (x)) e^{- G (x)} = (f (x) - φ (x)) g (x) e^{- G (x)} ⩽ 0 .$

La fonction $ψ$ est décroissante. Or $ψ (0) = 0$ et donc $ψ$ est négative. Cependant, $φ$ est positive et donc $ψ$ aussi. On en déduit que $ψ$ est la fonction identiquement nulle. L’hypothèse de départ fournit alors par encadrement la nullité de $f$ .
(b)

Pour $x = 0$ , l’hypothèse fournit $f (0) ⩽ a f (0)$ . On a donc $f (0) = 0$ car $f (0) ⩾ 0$ et $a < 1$ .

Cas: $m = 0$ . Sachant $f (0) = 0$ , on est ramené à l’étude de la première question.

Cas: $m > 0$ . Soit $ε > 0$ . La fonction $f$ est continue sur le segment $[0; ε]$ et y admet donc un maximum en un certain $x \in [0; ε]$ de valeur $M$ . Par l’inégalité,

$M ⩽ a M + \int_{0}^{x} M g (t) d t ⩽ (a + \int_{0}^{ε} g (t) d t) M .$

On peut choisir $ε > 0$ assez petit pour que

$a + \int_{0}^{ε} g (t) d t < 1$

et l’on obtient alors $M = 0$ . La fonction $f$ est donc nulle sur $[0; ε]$ .

Par l’absurde, supposons que la fonction $f$ ne soit pas identiquement nulle sur $ℝ_{+}$ . On peut introduire le plus grand $α > 0$ tel que $f$ soit nulle sur $[0; α]$ . Sur l’intervalle $[α; α / m]$ la fonction n’est pas identiquement nulle et pour tout $x$ de cet intervalle

$f (x) ⩽ a f (m x) + \int_{0}^{x} f (t) g (t) d t = \int_{0}^{x} f (t) g (t) d t .$

On peut alors reprendre la démarche de la première question pour affirmer que $f$ est nulle sur $[0; α / m]$ . C’est absurde.

[<] Existence de points fixes [>] Bijection continue

Édité le 29-11-2025

Théorème des bornes atteintes