[<] Existence de points fixes [>] Bijection continue

 
Exercice 1  1812  Correction  

Soient f: bornée et g: continue.
Montrer que gf et fg sont bornées.

Solution

Soit M tel que

x,|f(x)|M.

Pour tout x, |f(g(x))|M donc fg est bornée.
Puisque la fonction g est continue sur le segment [-M;M], elle y est bornée par un certain M.
Pour tout x, |g(f(x))|M car f(x)[-M;M] ainsi gf est bornée.

 
Exercice 2  3437   

Soit f: une fonction continue périodique de période T>0.

  • (a)

    Montrer que f est bornée.

  • (b)

    Justifier l’existence d’un réel x pour lequel f([x;x+T/2])=f().

 
Exercice 3  4099   

Soit f:[0;+[ une fonction continue admettant une limite finie en +. Montrer que la fonction f est bornée.

 
Exercice 4  1810   Correction  

Soient f,g:[a;b] continues telles que

x[a;b],f(x)<g(x).

Montrer qu’il existe α>0 tel que

x[a;b],f(x)g(x)-α.

Solution

Posons φ:[a;b] définie par

φ(x)=g(x)-f(x)

φ est continue sur le segment [a;b] donc y admet un minimum en un certain c[a;b].
Posons α=φ(c)=g(c)-f(c)>0. Pour tout x[a;b], φ(x)α donc f(x)g(x)-α.

 
Exercice 5  5067  

Soit f: une fonction continue de limite + en + et en -.

Montrer que f admet un minimum.

 
Exercice 6  1815   Correction  

Soit f: continue. On suppose que chaque y admet au plus deux antécédents par f.
Montrer qu’il existe un y possédant exactement un antécédent.

Solution

Soit y une valeur prise par f. Si celle-ci n’a qu’un antécédent, c’est fini.
Sinon, soit a<b les deux seuls antécédents de y.
f est continue sur [a;b] donc y admet un minimum en c et un maximum en d, l’un au moins n’étant pas en une extrémité de [a;b]. Supposons que cela soit c.
Si f(c) possède un autre antécédent c que c.
Si c[a;b] alors f ne peut être constante entre c et c et une valeur strictement comprise entre f(c)=f(c) et max[c;c]f possède au moins 3 antécédents.
Si c[a;b] alors une valeur strictement intermédiaire à y et f(c) possède au moins 3 antécédents. Impossible.

 
Exercice 7  3722   

Soit f:[a;b] une fonction continue vérifiant f(a)=f(b) (avec a<b).

Montrer qu’il existe α>0 tel que

t[0;α],x[a;b-α],f(x+t)=f(x).
 
Exercice 8  5068   

Soient a<b et f:[a;b] une fonction continue vérifiant

|f(x)|<1pour tout x[a;b].
  • (a)

    Montrer qu’il existe k[0;1[ tel que |f(x)|k pour tout x[a;b].

  • (b)

    Application: Soit (xn) une suite d’éléments de [a;b]. Étudier

    limn+(f(xn))n.
 
Exercice 9  4871    

Soit f:[0;+[ une fonction continue. Pour tout réel x positif, on pose

g(x)=maxt[0;x]f(t).

Montrer que la fonction g est définie, continue et croissante sur [0;+[.

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Édité le 08-11-2019

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