[<] Bijection continue [>] Fonctions lipshitziennes
Déterminer les fonctions continues en vérifiant
Soit une fonction continue et prenant la valeur en .
On suppose que
Déterminer .
Solution
Soit solution.
Or
donc
Pour , quand , on a puis
Ainsi,
(avec prolongement par continuité par en ).
Vérification: ok.
Soit une fonction continue en 0 et en 1 telle que
Montrer que est constante.
Solution
donc est paire.
Pour tout , donc par continuité de en 1.
Or
donc pour tout puis pour tout par parité.
De plus, donc
Soit continue telle que
Montrer que est constante.
Solution
Soient et définie par et pour tout ,
Si alors on montre par récurrence que est décroissante et supérieure à 1.
Si alors on montre par récurrence que est croissante et inférieure à 1.
Dans les deux cas la suite converge vers 1.
Or pour tout , donc à la limite .
Déterminer les fonctions vérifiant
Solution
On commence par observer que est continue car lipschitzienne. Si est solution, on remarque que est aussi solution. Quitte à considérer , on peut supposer auquel cas
On peut alors écrire
avec une fonction. Celle-ci est continue (et donc constante) sur les intervalles et car on peut l’y exprimer comme un quotient de fonctions continues. De plus, est différent de et les constantes décrivant sur les intervalles et sont opposées. Finalement, on obtient ou sur .
La réciproque est immédiate et l’on conclut que les fonctions solutions sont
(Fonctions additives et continues)
Déterminer les fonctions continues vérifiant
(1) |
On pourra commencer par calculer pour nombre rationnel.
Soit telle que
On suppose en outre que la fonction est continue en un point .
Déterminer la fonction .
Solution
La relation fonctionnelle permet d’établir
Pour cela on commence par établir
On commence par établir le résultat pour en exploitant
ce qui entraîne .
On étend ensuite le résultat à en raisonnant par récurrence et en exploitant
On étend enfin le résultat à en exploitant la propriété de symétrie issu de
Considérons alors avec et , on peut écrire
donc
Nous allons étendre cette propriété à par un argument de continuité.
Soit . On peut affirmer qu’il existe une suite telle que . Pour celle-ci, on a et donc par continuité de en
Or on a aussi
donc
Ainsi,
Finalement, la fonction est linéaire.
Déterminer les fonctions continues vérifiant
On cherche les fonctions continues telles que
On suppose solution et .
Montrer que est périodique et que
En déduire que est nulle.
Déterminer toutes les fonctions solutions.
Solution
et donc donc est périodique.
donc .
Puisque est continue et périodique, est bornée. Or la relation implique que n’est pas bornée dès qu’elle prend une valeur non nulle. Par suite, est nulle.
Pour et , on observe que est solution du problème posé et s’annule en 0 et 1 donc est nulle et affine. La réciproque est immédiate.
Soit une fonction continue telle que
On suppose . Vérifier
On revient au cas général, déterminer .
Solution
On a
donc
On en déduit
Sachant continue, on peut alors classiquement conclure que dans le cas précédent est de la forme .
Dans le cas général, il suffit de considérer et de vérifier que cette nouvelle fonction satisfait toujours la propriété initiale tout en s’annulant en 0.
On peut donc conclure que dans le cas général est affine:
(Équation fonctionnelle de Jensen)
Déterminer les fonctions continues vérifiant
Déterminer les fonctions continues vérifiant11 1 On trouvera une problématique analogue dans le sujet 5016.
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Édité le 29-08-2023
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