[<] Bijection continue [>] Fonctions lipshitziennes

 
Exercice 1  1790  

Déterminer les fonctions f: continues en 0 vérifiant

f(2x)=f(x)pour tout x réel.
 
Exercice 2  1792   Correction  

Soit f: une fonction continue et prenant la valeur 1 en 0.

On suppose que

f(2x)=f(x)cos(x)pour tout x.

Déterminer f.

Solution

Soit f solution.

f(x)=f(x2)cos(x2)=f(x4)cos(x4)cos(x2)==f(x2n)cos(x2n)cos(x2).

Or

sin(x2n)cos(x2n)cos(x2)=12nsin(x)

donc

sin(x2n)f(x)=sin(x)2nf(x2n).

Pour x0, quand n+, on a sin(x2n)0 puis

f(x)=sin(x)2nsin(x2n)f(x2n)sin(x)xf(0).

Ainsi,

x,f(x)=sin(x)x

(avec prolongement par continuité par 1 en 0).

Vérification: ok.

 
Exercice 3  1791   Correction  

Soit f: une fonction continue en 0 et en 1 telle que

x,f(x)=f(x2).

Montrer que f est constante.

Solution

x,f(-x)=f((-x)2)=f(x2)=f(x)

donc f est paire.
Pour tout x>0, x1/2nn+1 donc f(x1/2n)n+f(1) par continuité de f en 1.
Or

f(x1/2n)=f(x1/2n-1)==f(x)

donc f(x)=f(1) pour tout x>0 puis pour tout x* par parité.
De plus, f(0)=limx0+f(x)=f(1) donc

x,f(x)=f(1).
 
Exercice 4  244   Correction  

Soit f: continue telle que

x,f(x+12)=f(x).

Montrer que f est constante.

Solution

Soient x et (un) définie par u0=x et pour tout n,

un+1=un+12.

Si x1 alors on montre par récurrence que (un) est décroissante et supérieure à 1.
Si x1 alors on montre par récurrence que (un) est croissante et inférieure à 1.
Dans les deux cas la suite (un) converge vers 1.
Or pour tout n, f(x)=f(un) donc à la limite f(x)=f(1).

 
Exercice 5  5296     ENSTIM (MP)Correction  

Déterminer les fonctions f: vérifiant

|f(x)-f(y)|=|x-y|pour tout (x,y)2.

Solution

On commence par observer que f est continue car lipschitzienne. Si f est solution, on remarque que xf(x)+Cte est aussi solution. Quitte à considérer f-f(0), on peut supposer f(0)=0 auquel cas

|f(x)|=|x|pour tout x.

On peut alors écrire

f(x)=ε(x)xpour tout x

avec ε:{-1,1} une fonction. Celle-ci est continue (et donc constante) sur les intervalles ]-;0[ et ]0;+[ car on peut l’y exprimer comme un quotient de fonctions continues. De plus, f(1)-f(-1) est différent de 0 et les constantes décrivant ε sur les intervalles ]-;0[ et ]0;+[ sont opposées. Finalement, on obtient f:xx ou f:x-x sur .

La réciproque est immédiate et l’on conclut que les fonctions solutions sont

xx+Cteetx-x+Cte.
 
Exercice 6  4872   

(Fonctions additives et continues)

Déterminer les fonctions f: continues vérifiant

f(x+y)=f(x)+f(y)pour tout (x,y)2 (1)

On pourra commencer par calculer f(x) pour x nombre rationnel.

 
Exercice 7  243   Correction  

Soit f: telle que

f(x+y)=f(x)+f(y)pour tout (x,y)2.

On suppose en outre que la fonction f est continue en un point x0.
Déterminer la fonction f.

Solution

La relation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y) permet d’établir

r,f(r)=rf(1).

Pour cela on commence par établir

a,n,f(na)=nf(a).

On commence par établir le résultat pour n=0 en exploitant

f(0)=f(0)+f(0)

ce qui entraîne f(0)=0.
On étend ensuite le résultat à n en raisonnant par récurrence et en exploitant

f((n+1)a)=f(na)+f(a).

On étend enfin le résultat à n en exploitant la propriété de symétrie f(-x)=-f(x) issu de

f(x)+f(-x)=f(0)=0.

Considérons alors r=p/q avec p et q*, on peut écrire

f(r)=f(p×1q)=pf(1q) et f(1)=f(q×1q)=qf(1q)

donc

f(r)=pqf(1)=rf(1).

Nous allons étendre cette propriété à x par un argument de continuité.
Soit x. On peut affirmer qu’il existe une suite (xn) telle que xnx. Pour celle-ci, on a xn+x0-xx0 et donc par continuité de f en x0

f(xn+x0-x)f(x0).

Or on a aussi

f(xn+x0-x)=f(x0)+(f(xn)-f(x))

donc

f(xn)-f(x)0.

Ainsi,

f(x)=limn+f(xn)=xf(1).

Finalement, la fonction f est linéaire.

 
Exercice 8  4873   

Déterminer les fonctions f: continues vérifiant

f(x+y)=f(x)f(y)pour tout (x,y)2.
 
Exercice 9  1799   Correction  

On cherche les fonctions f: continues telles que

f(x+y2)=12(f(x)+f(y))pour tout (x,y)2.
  • (a)

    On suppose f solution et f(0)=f(1)=0.

    Montrer que f est périodique et que

    2f(x)=f(2x)pour tout x.

    En déduire que f est nulle.

  • (b)

    Déterminer toutes les fonctions f solutions.

Solution

  • (a)

    f(2-x)+f(x)=0 et f(-x)+f(x)=0 donc f(x)=f(x+2) donc f est périodique.
    f(x/2)=f(x)/2 donc f(2x)=2f(x).
    Puisque f est continue et périodique, f est bornée. Or la relation f(2x)=2f(x) implique que f n’est pas bornée dès qu’elle prend une valeur non nulle. Par suite, f est nulle.

  • (b)

    Pour a=f(1)-f(0) et b=f(0), on observe que g(x)=f(x)-(ax+b) est solution du problème posé et s’annule en 0 et 1 donc g est nulle et f affine. La réciproque est immédiate.

 
Exercice 10  3721   Correction  

Soit f: une fonction continue telle que

f(x+y2)=12(f(x)+f(y))pour tout (x,y)2.
  • (a)

    On suppose f(0)=0. Vérifier

    f(x+y)=f(x)+f(y)pour tout (x,y)2.
  • (b)

    On revient au cas général, déterminer f.

Solution

  • (a)

    On a

    x,f(x2)=f(x+02)=12(f(x)+f(0))=12f(x)

    donc

    x,y,f(x+y2)=12f(x+y).

    On en déduit

    x,y,f(x+y)=f(x)+f(y).
  • (b)

    Sachant f continue, on peut alors classiquement conclure que dans le cas précédent f est de la forme xax.
    Dans le cas général, il suffit de considérer xf(x)-f(0) et de vérifier que cette nouvelle fonction satisfait toujours la propriété initiale tout en s’annulant en 0.
    On peut donc conclure que dans le cas général f est affine: xax+b

 
Exercice 11  5266   

(Équation fonctionnelle de Jensen)

Déterminer les fonctions f: continues vérifiant

f(x+y2)=f(x)+f(y)2pour tout (x,y)2.
 
Exercice 12  4875    

Déterminer les fonctions f: continues vérifiant11 1 On trouvera une problématique analogue dans le sujet 5016.

f(f(x))=2f(x)-xpour tout x (1)

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Édité le 08-11-2019

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