Exercice 1 4861

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ une fonction strictement croissante de limite $ℓ \in ℝ$ en $+ \infty$ .

Montrer que la valeur $f (x)$ est strictement inférieure à $ℓ$ pour tout $x \in [0; + \infty [$ .

Exercice 2 1788

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction périodique admettant une limite en $+ \infty$ .

Que peut-on dire de la fonction $f$ ?

Exercice 3 1789 Correction

(a)

Soit $g : ℝ \to ℝ$ une fonction périodique admettant une limite en $+ \infty$ . Montrer que $g$ est constante.
(b)

Soient $f, g : ℝ \to ℝ$ telles que $f$ admettant une limite en $+ \infty$ , $g$ périodique et $f + g$ croissante.

Montrer que $g$ est constante.

Solution

Notons $T$ une période strictement positive de $g$ .

(a)

Notons $ℓ$ la limite de $g$ en $+ \infty$ . Pour tout $x \in ℝ$ ,

$g (x) = g (x + n T) \to_{n \to + \infty}^{} ℓ .$

Par unicité de la limite, $g (x) = ℓ$ . Ainsi, la fonction $g$ est constante.
(b)

Notons $ℓ$ la limite de $f$ en $+ \infty$ . Puisque $f + g$ est croissante

$f + g \to_{+ \infty}^{} ℓ^{'} \in ℝ \cup {+ \infty} .$

Si $ℓ^{'} = + \infty$ alors $g \to_{x \to + \infty}^{} + \infty$ . La démarche du (a), montre l’impossibilité de cela.

Si $ℓ^{'} \in ℝ$ alors la démarche du (a)., permet de conclure.

Exercice 4 1787 Correction

Soient $a < b \in \bar{ℝ}$ et $f :] a; b [\to ℝ$ une fonction croissante.
Montrer que l’application $x \mapsto {lim}_{x^{+}} f$ est croissante.

Solution

L’application $x \mapsto {lim}_{x^{+}} f$ est bien définie car $f$ est croissante ce qui assure l’existence de ${lim}_{x^{+}} f$ .
Soient $x, y \in] a; b [$ tels que $x < y$ .
Pour $t \in] x; y [$ , on a $f (t) \leq f (y)$ . Quand $t \to x^{+}$ , on obtient ${lim}_{x^{+}} f \leq f (y)$ or $f (y) \leq {lim}_{y^{+}} f$ donc ${lim}_{x^{+}} f \leq {lim}_{y^{+}} f$ .

Exercice 5 5931 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction.

On suppose que $f$ tend vers $+ \infty$ en $+ \infty$ et vers $- \infty$ en $- \infty$ .

Montrer que pour tout $[a; b] \subset ℝ$ , $f^{- 1} ([a; b])$ est une partie bornée de $ℝ$ .

Solution

Soit $[a; b] \subset ℝ$ .

Par la définition quantifiée des limites en $+ \infty$ et $- \infty$ , il existe $A, A^{'} \in ℝ$ tels que

\forall x \in ℝ, x \geq A ⟹ f (x) > b et \forall x \in ℝ, x \leq A^{'} ⟹ f (x) < a .

Par contraposition,

\forall x \in ℝ, f (x) \in [a; b] ⟹ x \in [A^{'}; A] .

Ainsi, $f^{- 1} ([a; b]) \subset [A^{'}; A]$ et c’est donc une partie bornée.

Exercice 6 4868

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction. Montrer qu’il y a équivalence entre:

(i) $| f |$ tend vers $+ \infty$ en $+ \infty$ et $- \infty$ ;

(ii) l’image réciproque¹¹ 1 Rappelons que l’image réciproque d’une partie par une application est constituée de l’ensemble des antécédents éventuels des éléments de la partie par cette application. par $f$ d’une partie bornée de $ℝ$ est une partie bornée.

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Édité le 26-01-2024

Propriétés des limites