Par formule de factorisation,

$$\left|\sin (x)-\sin (y)\right|=\left|2\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\right|\le 2\left|\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)\right|\le 2\frac{|x-y|}{2}=|x-y|$$

donc $\sin$ est $1$ lipschitzienne. On peut aussi directement le résultat par l’inégalité des accroissements finis ou un calcul intégral sans employer l’indication.

Montrons par récurrence sur $n\in \mathbb{N}$ que $|u_n|\le k^n|a|$.
Pour $n=0$: ok
Supposons la propriété établie au rang $n\ge 0$.

$$|u_{n+1}|=\left|f(u_n)-f(0)\right|\le k|u_n-0|=k|u_n|\underset{HR}{\le }{k}^{n+1}|a|\text{.}$$

Récurrence établie.
Puisque $k\in [0;1[$, $k^n\to 0$ et donc $u_n\to 0$.

L’application $x\mapsto f(x)+tg(x)$ est définie et continue sur le segment $[0;1]$ elle y est donc bornée et atteint ses bornes. Par suite, $\phi (t)$ est bien définie et plus précisément, il existe $x_t\in [0;1]$ tel que $\phi (t)=f(x_t)+tg(x_t)$.
Puisque $g$ est continue sur $[0;1]$ elle y est bornée par un certain $M$:
On a

$$\phi (t)-\phi (\tau )=f(x_t)+tg(x_t)-(f(x_{\tau })+\tau g(x_{\tau }))$$

or

$$f(x_t)+\tau g(x_t)\le f(x_{\tau })+\tau g(x_{\tau })$$

donc

$$\phi (t)-\phi (\tau )\le tg(x_t)-\tau g(x_t)=(t-\tau )g(x_t)\le M|t-\tau |\text{.}$$

De même

$$\phi (\tau )-\phi (t)\le M|t-\tau |$$

et finalement $\phi$ est $M$ lipschitzienne.