[<] Continuité et équation fonctionnelle

 
Exercice 1  1781  Correction  

On rappelle que pour tout x, on a |sin(x)||x|.

Montrer que la fonction xsin(x) est 1-lipschitzienne.

Solution

Par formule de factorisation,

|sin(x)-sin(y)|=|2sin(x-y2)cos(x+y2)|2|sin(x-y2)|2|x-y|2=|x-y|

donc sin est 1 lipschitzienne. On peut aussi directement le résultat par l’inégalité des accroissements finis ou un calcul intégral sans employer l’indication.

 
Exercice 2  1782  Correction  

Soit f: une fonction k lipschitzienne (avec k[0;1[) telle que f(0)=0.

Soient a et (un) la suite réelle déterminée par

u0=aetun+1=f(un)pour tout n.

Montrer que (un) tend vers 0.

Solution

Montrons par récurrence sur n que |un|kn|a|.
Pour n=0: ok
Supposons la propriété établie au rang n0.

|un+1|=|f(un)-f(0)|k|un-0|=k|un|HRkn+1|a|.

Récurrence établie.
Puisque k[0;1[, kn0 et donc un0.

 
Exercice 3  1814   Correction  

Soient f,g:[0;1] continue.
On pose

φ(t)=supx[0;1](f(x)+tg(x)).

Montrer que φ est bien définie sur et qu’elle y est lipschitzienne.

Solution

L’application xf(x)+tg(x) est définie et continue sur le segment [0;1] elle y est donc bornée et atteint ses bornes. Par suite, φ(t) est bien définie et plus précisément, il existe xt[0;1] tel que φ(t)=f(xt)+tg(xt).
Puisque g est continue sur [0;1] elle y est bornée par un certain M:
On a

φ(t)-φ(τ)=f(xt)+tg(xt)-(f(xτ)+τg(xτ))

or

f(xt)+τg(xt)f(xτ)+τg(xτ)

donc

φ(t)-φ(τ)tg(xt)-τg(xt)=(t-τ)g(xt)M|t-τ|.

De même

φ(τ)-φ(t)M|t-τ|

et finalement φ est M lipschitzienne.

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Édité le 08-11-2019

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