[<] Continuité et équation fonctionnelle
On rappelle que pour tout , on a .
Montrer que la fonction est -lipschitzienne.
Solution
Par formule de factorisation,
donc est lipschitzienne. On peut aussi directement le résultat par l’inégalité des accroissements finis ou un calcul intégral sans employer l’indication.
Soit une fonction lipschitzienne (avec ) telle que .
Soient et la suite réelle déterminée par
Montrer que tend vers .
Solution
Montrons par récurrence sur que .
Pour : ok
Supposons la propriété établie au rang .
Récurrence établie.
Puisque , et donc .
Soient continue.
On pose
Montrer que est bien définie sur et qu’elle y est lipschitzienne.
Solution
L’application est définie et continue sur le segment elle y est donc bornée et atteint ses bornes. Par suite, est bien définie et plus précisément, il existe tel que .
Puisque est continue sur elle y est bornée par un certain :
On a
or
donc
De même
et finalement est lipschitzienne.
[<] Continuité et équation fonctionnelle
Édité le 29-08-2023
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