[<] Étude de continuité [>] Existence de points fixes

 
Exercice 1  1803  Correction  

Soit f: continue telle que lim-f=-1 et lim+f=1. Montrer que f s’annule.

Solution

Puisque lim-f=-1, f prend des valeurs négatives, puisque lim+f=1, f prend des valeurs positives.
En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires entre celles-ci, f s’annule.

 
Exercice 2  4866  

Soient f,g:[a;b] deux fonctions continues vérifiant

(g(a)-f(a))(g(b)-f(b))0 (1)

Montrer qu’il existe x dans [a;b] tel que f(x)=g(x).

 
Exercice 3  4869  

Soit f une fonction réelle, définie et continue sur un intervalle I.

On suppose que f n’est ni minorée, ni majorée. Montrer que f est surjective11 1 Il s’agit d’établir que f prend toutes valeurs réelles: f(I)=..

 
Exercice 4  1801  Correction  

Montrer que les seules applications continues de vers sont les fonctions constantes.

Solution

Soit f: continue.
Par l’absurde: Si f n’est pas constante alors il existe a<b tel que f(a)f(b).
Soit y un nombre non entier compris entre f(a) et f(b).
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe x tel que y=f(x) et donc f n’est pas à valeurs entière. Absurde.

 
Exercice 5  5069  

Soit f: une fonction continue. On suppose qu’il existe un polynôme réel P non constant tel que P(f(x)) pour tout x. Que peut-on dire de f?

 
Exercice 6  4870   

(Théorème des valeurs intermédiaires généralisé11 1 On peut proposer et établir de la même façon que, si f:]a;b[R est une fonction (avec a<b réels ou infinis) possédant des limites finies ou infinies en a et en b, celle-ci prend toutes les valeurs strictement comprises entre ces deux limites.)

Soit f: une fonction continue possédant des limites et (finies ou infinies) en - et en +. Montrer que toute valeur strictement comprise entre et est une valeur prise par f.

 
Exercice 7  5263   

Montrer que tout polynôme réel de degré impair admet au moins une racine réelle.

 
Exercice 8  1804   Correction  

Soient f:I et g:I deux fonctions continues telles que

xI,|f(x)|=|g(x)|0.

Montrer que f=g ou f=-g.

Solution

Posons φ:I définie par

φ(x)=f(x)/g(x)

φ est continue et

xI,|φ(x)|=1.

Montrons que φ est constante égale à 1 ou -1 ce qui permet de conclure.
Par l’absurde, si φ n’est pas constante égale à 1 ni à -1 alors il existe a,bI tel que φ(a)=10 et φ(b)=-10. Par le théorème des valeurs intermédiaires, φ s’annule. Absurde.

 
Exercice 9  5264   

Soit f:[0;+[ une fonction continue telle que |f| tend vers + en +.

Montrer que f tend vers + ou vers - en +.

 
Exercice 10  1802   Correction  

Soient f:[a;b] continue et p,q+.
Montrer qu’il existe c[a;b] tel que

p.f(a)+q.f(b)=(p+q).f(c).

Solution

Si p=q=0, n’importe quel c fait l’affaire.
Sinon posons

y=pf(a)+qf(b)p+q.

Si f(a)f(b) alors

f(a)=pf(a)+qf(a)p+qypf(b)+qf(b)p+q=f(b).

Si f(b)f(a) alors, comme ci-dessus f(b)yf(a).
Dans les deux cas, y est une valeur intermédiaire à f(a) et f(b) donc par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe c[a;b] tel que y=f(c).

 
Exercice 11  242   

Soient f,g:[a;b][a;b] deux fonctions continues vérifiant

fg=gf.

Montrer qu’il existe x0 dans [a;b] tel que f(x0)=g(x0).

 
Exercice 12  1805   

Soit f:[0;1] une fonction continue vérifiant f(0)=f(1).

Montrer que, pour tout n*, il existe x0[0;1-1/n] tel que

f(x0)=f(x0+1n).
 
Exercice 13  5265    

Soit f:[0;1] une fonction continue vérifiant f(0)=f(1).

  • (a)

    Soit n*. Montrer qu’il existe c[0;1-1/n] tel que

    f(c)=f(c+1n).

Soit a]0;1[ qui n’est pas l’inverse d’un entier.

  • (b)

    Déterminer une fonction réelle f continue sur [0;1], vérifiant f(0)=f(1) et pour laquelle il n’existe pas de solution dans [0;1-a] à l’équation f(x)=f(x+a).

 
Exercice 14  1808   Correction  

Notre objectif dans cet exercice est d’établir la proposition:
Toute fonction f:I continue et injective est strictement monotone.
Pour cela on raisonne par l’absurde et l’on suppose:

(x1,y1)I2,x1<y1 et f(x1)f(y1)et(x2,y2)I2,x2<y2 et f(x2)f(y2).

Montrer que la fonction φ:[0;1] définie par

φ(t)=f((1-t)x1+tx2)-f((1-t)y1+ty2)

s’annule. Conclure.

Solution

La fonction φ est continue, φ(0)=f(x1)-f(y1)0 et φ(1)=f(x2)-f(y2)0 donc par le théorème des valeurs intermédiaires, φ s’annule en un certain t. Posons x0=(1-t)x1+tx2 et y0=(1-t)y1+ty2.
φ(t)=0 donne f(x0)=f(y0) or x0<y0 donc f n’est pas injective. Absurde.

 
Exercice 15  3350      X (PC)

Montrer la surjectivité de l’application

{zzexp(z).

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Édité le 08-11-2019

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