Exercice 1 1803 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ continue telle que ${lim}_{- \infty} f = - 1$ et ${lim}_{+ \infty} f = 1$ . Montrer que $f$ s’annule.

Solution

Puisque ${lim}_{- \infty} f = - 1$ , $f$ prend des valeurs négatives, puisque ${lim}_{+ \infty} f = 1$ , $f$ prend des valeurs positives.
En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires entre celles-ci, $f$ s’annule.

Exercice 2 4866

Soient $f, g : [a; b] \to ℝ$ deux fonctions continues vérifiant

(g (a) - f (a)) (g (b) - f (b)) \leq 0

(1)

Montrer qu’il existe $x$ dans $[a; b]$ tel que $f (x) = g (x)$ .

Exercice 3 4869

Soit $f$ une fonction réelle, définie et continue sur un intervalle $I$ .

On suppose que $f$ n’est ni minorée, ni majorée. Montrer que $f$ est surjective¹¹ 1 Il s’agit d’établir que $f$ prend toutes valeurs réelles: $f (I) = ℝ$ ..

Exercice 4 1801 Correction

Montrer que les seules applications continues de $ℝ$ vers $ℤ$ sont les fonctions constantes.

Solution

Soit $f : ℝ \to ℤ$ continue.
Par l’absurde: Si $f$ n’est pas constante alors il existe $a < b$ tel que $f (a) \neq f (b)$ .
Soit $y$ un nombre non entier compris entre $f (a)$ et $f (b)$ .
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $x \in ℝ$ tel que $y = f (x)$ et donc $f$ n’est pas à valeurs entière. Absurde.

Exercice 5 5069

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction continue. On suppose qu’il existe un polynôme réel $P$ non constant tel que $P (f (x)) \in ℚ$ pour tout $x \in ℝ$ . Que peut-on dire de $f$ ?

Exercice 6 4870

(Théorème des valeurs intermédiaires généralisé¹¹ 1 On peut proposer et établir de la même façon que, si $f :] a; b [\to R$ est une fonction (avec $a < b$ réels ou infinis) possédant des limites finies ou infinies en $a$ et en $b$ , celle-ci prend toutes les valeurs strictement comprises entre ces deux limites.)

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction continue possédant des limites $ℓ$ et $ℓ^{'}$ (finies ou infinies) en $- \infty$ et en $+ \infty$ . Montrer que toute valeur strictement comprise entre $ℓ$ et $ℓ^{'}$ est une valeur prise par $f$ .

Exercice 7 5263

Montrer que tout polynôme réel de degré impair admet au moins une racine réelle.

Exercice 8 1804 Correction

Soient $f : I \to ℝ$ et $g : I \to ℝ$ deux fonctions continues telles que

\forall x \in I, | f (x) | = | g (x) | \neq 0 .

Montrer que $f = g ou f = - g$ .

Solution

Posons $φ : I \to ℝ$ définie par

φ (x) = f (x) / g (x)

$φ$ est continue et

\forall x \in I, | φ (x) | = 1 .

Montrons que $φ$ est constante égale à 1 ou $- 1$ ce qui permet de conclure.
Par l’absurde, si $φ$ n’est pas constante égale à 1 ni à $- 1$ alors il existe $a, b \in I$ tel que $φ (a) = 1 \geq 0$ et $φ (b) = - 1 \leq 0$ . Par le théorème des valeurs intermédiaires, $φ$ s’annule. Absurde.

Exercice 9 5264

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ une fonction continue telle que $| f |$ tend vers $+ \infty$ en $+ \infty$ .

Montrer que $f$ tend vers $+ \infty$ ou vers $- \infty$ en $+ \infty$ .

Exercice 10 1802 Correction

Soient $f : [a; b] \to ℝ$ continue et $p, q \in ℝ_{+}$ .
Montrer qu’il existe $c \in [a; b]$ tel que

p . f (a) + q . f (b) = (p + q) . f (c) .

Solution

Si $p = q = 0$ , n’importe quel $c$ fait l’affaire.
Sinon posons

y = \frac{p f (a) + q f (b)}{p + q} .

Si $f (a) \leq f (b)$ alors

f (a) = \frac{p f (a) + q f (a)}{p + q} \leq y \leq \frac{p f (b) + q f (b)}{p + q} = f (b) .

Si $f (b) \leq f (a)$ alors, comme ci-dessus $f (b) \leq y \leq f (a)$ .
Dans les deux cas, $y$ est une valeur intermédiaire à $f (a)$ et $f (b)$ donc par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c \in [a; b]$ tel que $y = f (c)$ .

Exercice 11 242

Soient $f, g : [a; b] \to [a; b]$ deux fonctions continues vérifiant

f \circ g = g \circ f .

Montrer qu’il existe $x_{0}$ dans $[a; b]$ tel que $f (x_{0}) = g (x_{0})$ .

Exercice 12 1805

Soit $f : [0; 1] \to ℝ$ une fonction continue vérifiant $f (0) = f (1)$ .

Montrer que, pour tout $n \in ℕ^{*}$ , il existe $x_{0} \in [0; 1 - 1 / n]$ tel que

f (x_{0}) = f (x_{0} + \frac{1}{n}) .

Exercice 13 5265

Soit $f : [0; 1] \to ℝ$ une fonction continue vérifiant $f (0) = f (1)$ .

(a)

Soit $n \in ℕ^{*}$ . Montrer qu’il existe $c \in [0; 1 - 1 / n]$ tel que

$f (c) = f (c + \frac{1}{n}) .$

Soit $a \in] 0; 1 [$ qui n’est pas l’inverse d’un entier.

(b)

Déterminer une fonction réelle $f$ continue sur $[0; 1]$ , vérifiant $f (0) = f (1)$ et pour laquelle il n’existe pas de solution dans $[0; 1 - a]$ à l’équation $f (x) = f (x + a)$ .

Exercice 14 1808 Correction

Notre objectif dans cet exercice est d’établir la proposition:
Toute fonction $f : I \to ℝ$ continue et injective est strictement monotone.
Pour cela on raisonne par l’absurde et l’on suppose:

\exists (x_{1}, y_{1}) \in I^{2}, x_{1} < y_{1} et f (x_{1}) \geq f (y_{1}) et \exists (x_{2}, y_{2}) \in I^{2}, x_{2} < y_{2} et f (x_{2}) \leq f (y_{2}) .

Montrer que la fonction $φ : [0; 1] \to ℝ$ définie par

φ (t) = f ((1 - t) x_{1} + t x_{2}) - f ((1 - t) y_{1} + t y_{2})

s’annule. Conclure.

Solution

La fonction $φ$ est continue, $φ (0) = f (x_{1}) - f (y_{1}) \geq 0$ et $φ (1) = f (x_{2}) - f (y_{2}) \leq 0$ donc par le théorème des valeurs intermédiaires, $φ$ s’annule en un certain $t$ . Posons $x_{0} = (1 - t) x_{1} + t x_{2}$ et $y_{0} = (1 - t) y_{1} + t y_{2}$ .
$φ (t) = 0$ donne $f (x_{0}) = f (y_{0})$ or $x_{0} < y_{0}$ donc $f$ n’est pas injective. Absurde.

Exercice 15 3350 X (PC)

Montrer la surjectivité de l’application

{\begin{matrix} ℂ & \to & ℂ \\ z & \mapsto & z \exp (z) . \end{matrix}

Théorème des valeurs intérmédiaires