[<] Étude de continuité [>] Existence de points fixes
Soit continue telle que et . Montrer que s’annule.
Solution
Puisque , prend des valeurs négatives, puisque , prend des valeurs positives.
En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires entre celles-ci, s’annule.
Soient deux fonctions continues vérifiant
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Montrer qu’il existe dans tel que .
Soit une fonction réelle, définie et continue sur un intervalle .
On suppose que n’est ni minorée, ni majorée. Montrer que est surjective11 1 Il s’agit d’établir que prend toutes valeurs réelles: ..
Montrer que les seules applications continues de vers sont les fonctions constantes.
Solution
Soit continue.
Par l’absurde: Si n’est pas constante alors il existe tel que .
Soit un nombre non entier compris entre et .
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe tel que et donc n’est pas à valeurs entière. Absurde.
Soit une fonction continue. On suppose qu’il existe un polynôme réel non constant tel que pour tout . Que peut-on dire de ?
(Théorème des valeurs intermédiaires généralisé11 1 On peut proposer et établir de la même façon que, si est une fonction (avec réels ou infinis) possédant des limites finies ou infinies en et en , celle-ci prend toutes les valeurs strictement comprises entre ces deux limites.)
Soit une fonction continue possédant des limites et (finies ou infinies) en et en . Montrer que toute valeur strictement comprise entre et est une valeur prise par .
Montrer que tout polynôme réel de degré impair admet au moins une racine réelle.
Soient et deux fonctions continues telles que
Montrer que .
Solution
Posons définie par
est continue et
Montrons que est constante égale à 1 ou ce qui permet de conclure.
Par l’absurde, si n’est pas constante égale à 1 ni à alors il existe tel que et . Par le théorème des valeurs intermédiaires, s’annule. Absurde.
Soit une fonction continue telle que tend vers en .
Montrer que tend vers ou vers en .
Soient continue et .
Montrer qu’il existe tel que
Solution
Si , n’importe quel fait l’affaire.
Sinon posons
Si alors
Si alors, comme ci-dessus .
Dans les deux cas, est une valeur intermédiaire à et donc par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe tel que .
Soient deux fonctions continues vérifiant
Montrer qu’il existe dans tel que .
Soit une fonction continue vérifiant .
Montrer que, pour tout , il existe tel que
Soit une fonction continue vérifiant .
Soit . Montrer qu’il existe tel que
Soit qui n’est pas l’inverse d’un entier.
Déterminer une fonction réelle continue sur , vérifiant et pour laquelle il n’existe pas de solution dans à l’équation .
Notre objectif dans cet exercice est d’établir la proposition:
Toute fonction continue et injective est strictement monotone.
Pour cela on raisonne par l’absurde et l’on suppose:
Montrer que la fonction définie par
s’annule. Conclure.
Solution
La fonction est continue, et donc par le théorème des valeurs intermédiaires, s’annule en un certain . Posons et .
donne or donc n’est pas injective. Absurde.
Montrer la surjectivité de l’application
[<] Étude de continuité [>] Existence de points fixes
Édité le 29-08-2023
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