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Exercice 1  1803  Correction  

Soit f: continue telle que lim-f=-1 et lim+f=1. Montrer que f s’annule.

Solution

Puisque lim-f=-1, f prend des valeurs négatives, puisque lim+f=1, f prend des valeurs positives.
En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires entre celles-ci, f s’annule.

 
Exercice 2  4866  

Soient f,g:[a;b] deux fonctions continues vérifiant

(g(a)-f(a))(g(b)-f(b))0. (1)

Montrer qu’il existe x dans [a;b] tel que f(x)=g(x).

 
Exercice 3  4869  

Soit f une fonction réelle, définie et continue sur un intervalle I.

On suppose que f n’est ni minorée, ni majorée. Montrer que f est surjective11 1 Il s’agit d’établir que f prend toutes valeurs réelles: f(I)=..

 
Exercice 4  1801  Correction  

Montrer que les seules applications continues de vers sont les fonctions constantes.

Solution

Soit f: continue.
Par l’absurde: Si f n’est pas constante alors il existe a<b tel que f(a)f(b).
Soit y un nombre non entier compris entre f(a) et f(b).
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe x tel que y=f(x) et donc f n’est pas à valeurs entière. Absurde.

 
Exercice 5  5069   

Soit f: une fonction continue. On suppose qu’il existe un polynôme réel P non constant tel que P(f(x)) pour tout x. Que peut-on dire de f?

 
Exercice 6  4870   

(Théorème des valeurs intermédiaires généralisé11 1 On peut proposer et établir de la même façon que, si f:]a;b[R est une fonction (avec a<b réels ou infinis) possédant des limites finies ou infinies en a et en b, celle-ci prend toutes les valeurs strictement comprises entre ces deux limites.)

Soit f: une fonction continue possédant des limites et (finies ou infinies) en - et en +. Montrer que toute valeur strictement comprise entre et est une valeur prise par f.

 
Exercice 7  5263   

Montrer que tout polynôme réel de degré impair admet au moins une racine réelle.

 
Exercice 8  1804   Correction  

Soient f:I et g:I deux fonctions continues telles que

xI,|f(x)|=|g(x)|0.

Montrer que f=g ou f=-g.

Solution

Posons φ:I définie par

φ(x)=f(x)/g(x)

φ est continue et

xI,|φ(x)|=1.

Montrons que φ est constante égale à 1 ou -1 ce qui permet de conclure.
Par l’absurde, si φ n’est pas constante égale à 1 ni à -1 alors il existe a,bI tel que φ(a)=10 et φ(b)=-10. Par le théorème des valeurs intermédiaires, φ s’annule. Absurde.

 
Exercice 9  6003   Correction  

Soit f: une fonction continue vérifiant

f(0)>0etx,(f(x))2+2xf(x)1=0.

Déterminer f.

Solution

Pour tout x, f(x) est solution de l’équation r2+2xr1=0 de discriminant Δ=4(x2+1)>0. Cette équation possède deux solutions:

r+=x+x2+1etr=xx2+1.

Pour chaque x, f(x) est l’une de ces deux solutions. Ce choix entre l’une ou l’autre des solutions est susceptible de dépendre de x. Pour tout x, on introduit la fonction ε:{1,1} définie de sorte que

x,f(x)=x+ε(x)x2+1.

On remarque

x,ε(x)=x+f(x)x2+1.

Par opérations sur les fonctions qui le sont, la fonction ε est continue. Puisqu’elle ne prend ses valeurs que dans {1,1}, c’est une fonction constante. Au surplus, ε(0)=f(0)>0. La fonction ε est donc constante égale à 1. On conclut

x,f(x)=x+x2+1.
 
Exercice 10  5264   

Soit f:[0;+[ une fonction continue telle que |f| tend vers + en +.

Montrer que f tend vers + ou vers - en +.

 
Exercice 11  1802   Correction  

Soient f:[a;b] continue et p,q+.
Montrer qu’il existe c[a;b] tel que

p.f(a)+q.f(b)=(p+q).f(c).

Solution

Si p=q=0, n’importe quel c fait l’affaire.
Sinon posons

y=pf(a)+qf(b)p+q.

Si f(a)f(b) alors

f(a)=pf(a)+qf(a)p+qypf(b)+qf(b)p+q=f(b).

Si f(b)f(a) alors, comme ci-dessus f(b)yf(a).
Dans les deux cas, y est une valeur intermédiaire à f(a) et f(b) donc par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe c[a;b] tel que y=f(c).

 
Exercice 12  242   

Soient f,g:[a;b][a;b] deux fonctions continues vérifiant

fg=gf.

Montrer qu’il existe x0 dans [a;b] tel que f(x0)=g(x0).

 
Exercice 13  1805   

Soit f:[0;1] une fonction continue vérifiant f(0)=f(1).

Montrer que, pour tout n*, il existe x0[0;1-1/n] tel que

f(x0)=f(x0+1n).
 
Exercice 14  5265    

Soit f:[0;1] une fonction continue vérifiant f(0)=f(1).

  • (a)

    Soit n*. Montrer qu’il existe c[0;1-1/n] tel que

    f(c)=f(c+1n).

Soit a]0;1[ qui n’est pas l’inverse d’un entier.

  • (b)

    Déterminer une fonction réelle f continue sur [0;1], vérifiant f(0)=f(1) et pour laquelle il n’existe pas de solution dans [0;1-a] à l’équation f(x)=f(x+a).

 
Exercice 15  1808   Correction  

Notre objectif dans cet exercice est d’établir la proposition:
Toute fonction f:I continue et injective est strictement monotone.
Pour cela on raisonne par l’absurde et l’on suppose:

(x1,y1)I2,x1<y1 et f(x1)f(y1)et(x2,y2)I2,x2<y2 et f(x2)f(y2).

Montrer que la fonction φ:[0;1] définie par

φ(t)=f((1-t)x1+tx2)-f((1-t)y1+ty2)

s’annule. Conclure.

Solution

La fonction φ est continue, φ(0)=f(x1)-f(y1)0 et φ(1)=f(x2)-f(y2)0 donc par le théorème des valeurs intermédiaires, φ s’annule en un certain t. Posons x0=(1-t)x1+tx2 et y0=(1-t)y1+ty2.
φ(t)=0 donne f(x0)=f(y0) or x0<y0 donc f n’est pas injective. Absurde.

 
Exercice 16  3350      X (PC)

Montrer la surjectivité de l’application

{zzexp(z).

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Édité le 31-01-2025

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