Par l’absurde, supposons $\mathrm{\ell }\ne 0$ et, quitte à considérer $-f$, supposons $\mathrm{\ell }>0$.

Pour $\epsilon =\mathrm{\ell }/2>0$, il existe $A\in [0;+\mathrm{\infty }[$ tel que

$$\forall x\in [0;+\mathrm{\infty }[,x\ge A⟹\left|f(2x)-f(x)-\mathrm{\ell }\right|\le \epsilon \text{.}$$

On a donc

$$\forall x\ge A,f(2x)\ge \frac{1}{2}\mathrm{\ell }+f(x)\text{.}$$

En particulier, cela vaut pour $x=A\mathrm{,2}A\mathrm{,4}A,\mathrm{\dots }$

	$f(2A)$	$\ge {\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\ell }+f(A)$
	$f(4A)$	$\ge {\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\ell }+f(2A)$
	$f(8A)$	$\ge {\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\ell }+f(4A)\text{.}$

En sommant ces identités, on obtient par récurrence

$$\forall n\in \mathbb{N},f\left(2^{n}A\right)\ge \frac{n}{2}+f(A)\text{.}$$

Ainsi,

$$f\left(2^{n}A\right)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty }$$

ce qui contredit l’hypothèse assurant que $f$ est bornée.

• (a)

  Soit $\epsilon >0$, puisque $f(x)\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\mathrm{\ell }$, il existe $A\in {ℝ}_{+}$ tel que

  $$\forall x\ge A,\left|f(x)-\mathrm{\ell }\right|\le \epsilon \text{.}$$

  Pour $x\ge A$ et pour tout $t\in [A;x]$, $\left|f(t)-\mathrm{\ell }\right|\le \epsilon$ donc

  $$\left|\frac{1}{x}{\int }_A^x(f(t)-\mathrm{\ell })dt\right|\le \frac{1}{x}{\int }_A^x\left|f(t)-\mathrm{\ell }\right|dt\le \frac{x-A}{x}\epsilon \le \epsilon \text{.}$$

• (b)

  On peut écrire

  $$\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(t)dt-\mathrm{\ell }=\frac{1}{x}{\int }_0^x(f(t)-\mathrm{\ell })dt=\frac{1}{x}{\int }_0^A(f(t)-\mathrm{\ell })dt+\frac{1}{x}{\int }_A^x\left(f(t)-\mathrm{\ell }\right)dt\text{.}$$

  Quand $x\to +\mathrm{\infty }$,

  $$\frac{1}{x}{\int }_0^A\left(f(t)-\mathrm{\ell }\right)dt=\frac{C^{te}}{x}\to 0$$

  donc il existe $A^{\prime }\in {ℝ}_{+}$ tel que

  $$x\ge A^{\prime }⟹\left|\frac{1}{x}{\int }_0^A\left(f(t)-\mathrm{\ell }\right)dt\right|\le \epsilon$$

  et alors pour $A^{\prime \prime }=\max (A,A^{\prime })$, on a

  $$x\ge A^{\prime \prime }⟹\left|\frac{1}{x}{\int }_0^x\left(f(t)-\mathrm{\ell }\right)dt\right|\le 2\epsilon \text{.}$$

Cas: $\mathrm{\ell }=0$. On remarque que ${(f\left(t\right){\mathrm{e}}^t)}^{\prime }=\left(f(t)+f^{\prime }(t)\right){\mathrm{e}}^t$ donc

$$f(x){\mathrm{e}}^x=f(0)+{\int }_0^x\left(f(t)+f^{\prime }(t)\right){\mathrm{e}}^{t}dt$$

puis

$$f(x)=f(0){\mathrm{e}}^{-x}+{\int }_0^x\left(f(t)+f^{\prime }(t)\right){\mathrm{e}}^{t-x}dt\text{.}$$

Il reste à montrer

$${\int }_0^x\left(f(t)+f^{\prime }(t)\right){\mathrm{e}}^{t-x}dt\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0\text{.}$$

Pour $\epsilon >0$, il existe $A\in {ℝ}_{+}$, pour $t\ge A$,

$$\left|f(t)+f^{\prime }(t)\right|\le \epsilon \text{.}$$

On a alors

$$\left|{\int }_A^x\left(f(t)+f^{\prime }(t)\right){\mathrm{e}}^{t-x}dt\right|\le \epsilon$$

et

$$\left|{\int }_0^A\left(f(t)+f^{\prime }(t)\right){\mathrm{e}}^{t-x}dt\right|\le {\mathrm{e}}^{A-x}{\int }_0^A\left|f(t)+f^{\prime }(t)\right|dt\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0\text{.}$$

Ainsi pour $x$ assez grand,

$$\left|{\int }_0^x(f(t)+f^{\prime }(t)){\mathrm{e}}^{t-x}dt\right|\le 2\epsilon \text{.}$$

Finalement,

$$f(x)\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0\text{.}$$

Cas général: Il suffit de considérer $g:x\mapsto f(x)-\mathrm{\ell }$.