Exercice 1 5524 Correction

Étude de la convergence simple de la suite de fonctions ${(f_{n})}_{n \in ℕ}$ avec

f_{n} (t) = \frac{t^{n}}{1 + t^{n}} pour tout t \in ℝ_{+} .

Solution

Pour $t \in [0; + \infty [$ , on remarque

t^{n} \to_{n \to + \infty}^{} {\begin{matrix} 0 & si t \in [0; 1 [ \\ 1 & si t = 1 \\ + \infty & si t \in] 0; + \infty [. \end{matrix}

On en déduit

f_{n} (t) \to_{n \to + \infty}^{} {\begin{matrix} 0 & si t \in [0; 1 [ \\ 1 / 2 & si t = 1 \\ 1 & si t \in] 0; + \infty [. \end{matrix}

La suite de fonctions $(f_{n})$ converge simplement sur $[0; + \infty [$ vers la fonction $f$ définie par

f (t) = {\begin{matrix} 0 & si t \in [0; 1 [ \\ 1 / 2 & si t = 1 \\ 1 & si t \in] 0; + \infty [. \end{matrix}

Exercice 2 871 Correction

Pour $n \in ℕ^{*}$ , on pose

f_{n} (x) = {\begin{matrix} x^{n} \ln (x) & si x \in] 0; 1] \\ 0 & si x = 0 . \end{matrix}

Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions ${(f_{n})}_{n \geq 1}$ sur $[0; 1]$ .

Solution

L’éventuelle limite uniforme de ${(f_{n})}_{n \geq 1}$ est sa limite simple. Commençons par déterminer celle-ci?

Soit $x \in [0; 1]$ ,

Cas: $x = 0$ .

f_{n} (x) = 0 \to_{n \to + \infty}^{} 0

Cas: $x \in] 0; 1]$ .

f_{n} (x) = \underset{\begin{matrix} \to 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{x^{n}}} \underset{\begin{matrix} = C^{t e} \end{matrix}}{\underset{⏟}{\ln (x)}} \to_{n \to + \infty}^{} 0

La suite de fonctions ${(f_{n})}_{n \geq 1}$ converge simplement vers la fonction identiquement nulle sur $[0; 1]$ .

Les fonctions $f_{n}$ sont continues sur $[0; 1]$ pour $n \geq 1$ et dérivables sur $] 0; 1]$ avec

f_{n}^{'} (x) = x^{n - 1} (1 + n \ln (x)) .

Le signe de $f_{n}^{'} (x)$ est celui de $1 + n \ln (x)$ .

Sur ce tableau des variations de $f_{n}$ , on lit

sup_{[0; 1]} | f_{n} | = - f_{n} (e^{- 1 / n}) = \frac{1}{n e} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

La suite de fonctions ${(f_{n})}_{n \geq 1}$ converge donc uniformément sur $[0; 1]$ vers la fonction identiquement nulle.

Exercice 3 872 Correction

Étudier la convergence simple et uniforme sur $[0; + \infty [$ de la suite de fonctions $(f_{n})$ définie par

f_{n} (x) = \frac{x}{n (1 + x^{n})} .

Solution

Pour $x \in [0; + \infty [$ ,

f_{n} (x) \to_{n \to + \infty}^{} 0 car | f_{n} (x) | \leq \frac{x}{n} .

La suite de fonctions $(f_{n})$ converge simplement vers la fonction identiquement nulle sur $[0; + \infty [$ .

Pour tout $n \in ℕ^{*}$ , $f_{n}$ est dérivable sur $[0; + \infty [$ et

f_{n}^{'} (x) = \frac{n (1 + x^{n}) - n^{2} x^{n}}{n^{2} {(1 + x^{n})}^{2}} = \frac{1 + (1 - n) x^{n}}{n {(1 + x^{n})}^{2}} .

Introduisons $x_{n} = \sqrt[n]{1 / (n - 1)}$ .

On a donc

{∥ f_{n} ∥}_{\infty} = M_{n} = f_{n} (x_{n}) = \frac{\sqrt[n]{1 / (n - 1)}}{n (1 + \frac{1}{n - 1})} = \frac{e^{- \frac{1}{n} \ln (n - 1)}}{\frac{n^{2}}{n - 1}} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Il y a donc convergence uniforme de la suite de fonctions $(f_{n})$ vers la fonction identiquement nulle sur $[0; + \infty [$ .

Exercice 4 2527 CCINP (MP)Correction

Étudier la convergence simple et uniforme sur $ℝ$ de la suite de fonctions ${(f_{n})}_{n \in ℕ}$ donnée par

f_{n} (x) = \sin^{n} (x) \cos (x) pour tout x \in ℝ .

Solution

Cas: $x \neq \frac{π}{2} [π]$ . On a $| \sin (x) | < 1$ et donc $(f_{n} (x))$ tend vers $0$ .

Cas: $x = \frac{π}{2} [π]$ . On a $\cos (x) = 0$ et donc $(f_{n} (x))$ est une suite constante égale à $0$ .

Ainsi, ${(f_{n})}_{n \in ℕ}$ converge simplement vers la fonction identiquement nulle sur $ℝ$ .

Par $2 π$ périodicité et parité, on ne poursuit l’étude qu’avec $x \in [0; π]$ . La fonction $f_{n}$ est dérivable avec

f_{n}^{'} (x) = \sin^{n - 1} (x) ((n + 1) \cos^{2} (x) - 1) .

On peut dresser le tableau de variation de $f_{n}$ sur $[0; π]$ et l’on obtient

sup_{x \in ℝ} | f_{n} (x) | = | f_{n} (\arccos (\frac{1}{\sqrt{n + 1}})) | = \underset{\begin{matrix} \to 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{\frac{1}{\sqrt{n + 1}}}} \underset{\begin{matrix} 0 \leq . \leq 1 \end{matrix}}{\underset{⏟}{{(1 - \frac{1}{(n + 1)})}^{n / 2}}} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

La suite de fonction ${(f_{n})}_{n \in ℕ}$ converge donc uniformément vers la fonction identiquement nulle.

Les premières fonctions de la suite $(f_{n})$ .

Exercice 5 2830 MINES (MP)Correction

On pose

f_{n} (x) = \frac{1}{{(1 + x)}^{1 + 1 / n}} pour tout x \geq 0 .

Étudier la convergence simple puis uniforme de la suite de fonctions ${(f_{n})}_{n \in ℕ^{*}}$ .

Solution

Pour $x \in ℝ_{+}$ ,

f_{n} (x) = \frac{1}{{(1 + x)}^{1 + 1 / n}} \to_{n \to + \infty}^{} \frac{1}{1 + x} = f (x) .

On a

f (x) - f_{n} (x) = \frac{{(1 + x)}^{1 / n} - 1}{{(1 + x)}^{1 + 1 / n}} .

Or, pour $α \in] 0; 1]$ , la fonction $x \mapsto {(1 + x)}^{α}$ est concave ce qui permet d’affirmer

0 \leq {(1 + x)}^{α} \leq 1 + α x pour tout x \geq 0 .

On a donc

| f (x) - f_{n} (x) | \leq \frac{1}{n} \cdot \frac{x}{{(1 + x)}^{1 + 1 / n}} \leq \frac{1}{n} \cdot \frac{x}{1 + x} \leq \frac{1}{n} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

On en déduit qu’il y a convergence uniforme sur $ℝ_{+}$ .

Exercice 6 4741

On considère la suite de fonctions $(u_{n})$ avec

u_{n} (t) = n t {(1 - t)}^{n} pour tout t \in [0; 1] .

(a)

Étudier la convergence simple de cette suite de fonctions.
(b)

Y a-t-il convergence uniforme sur $[0; 1]$ ?
(c)

Justifier que la suite de fonctions converge uniformément sur tout segment $[a; 1]$ avec $a \in] 0; 1]$ arbitraire.
(d)

Y a-t-il convergence uniforme sur $] 0; 1]$ ?

Exercice 7 4742

On considère la suite de fonctions $(u_{n})$ avec

u_{n} (t) = n \sin (t) e^{- n t} pour tout t \in ℝ_{+} .

(a)

Étudier sa convergence simple sur $ℝ_{+}$ .
(b)

Montrer qu’il y a convergence uniforme sur tout intervalle $[a; + \infty [$ avec $a > 0$ arbitraire.
(c)

Y a-t-il convergence uniforme sur $[0; + \infty [$ ?

Exercice 8 870 Correction

On pose

u_{n} (x) = e^{- n x} \sin (n x) pour tout x \in ℝ_{+} .

(a)

Étudier la convergence simple de la suite de fonctions $(u_{n})$ sur $[0; + \infty [$ .
(b)

Étudier la convergence uniforme sur $[a; + \infty [$ avec $a > 0$ .
(c)

Étudier la convergence uniforme sur $[0; + \infty [$ .

Solution

(a)

Soit $x \in [0; + \infty [$ .

Cas: $x = 0$ . On a $u_{n} (x) = 0 \to 0$ .

Cas: $x > 0$ . On a $u_{n} (x) \to 0$ car $e^{- n x} \to 0$ .

La suite de fonctions $(u_{n})$ converge donc simplement vers la fonction nulle sur $ℝ_{+}$ .
(b)

Soit $a > 0$ . On a

$sup_{x \in [a; + \infty [} | u_{n} (x) | \leq e^{- n a} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

Il y a donc convergence uniforme sur $[a; + \infty [$ .
(c)

Puisque

$sup_{x \in [0; + \infty [} | u_{n} (x) | \geq | u_{n} (\frac{π}{2 n}) | = e^{- π / 2} ／ \to_{n \to + \infty}^{} 0$

il n’y a pas convergence uniforme sur $ℝ_{+}$ .

Exercice 9 873 Correction

On pose

f_{n} (x) = n x^{2} e^{- n x} pour tout x \in ℝ_{+} .

Étudier la convergence uniforme de $(f_{n})$ sur $ℝ_{+}$ puis sur $[a; + \infty [$ avec $a > 0$ .

Solution

Pour $n \in ℕ$ , la fonction $f_{n}$ est dérivable avec $f_{n}^{'} (x) = n x (2 - n x) e^{- n x}$ . Le tableau de variation de $f_{n}$ donne

sup_{ℝ_{+}} | f_{n} | = f_{n} (\frac{2}{n}) = \frac{4}{n} e^{- 2} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Il y a donc convergence uniforme sur $ℝ$ et a fortiori sur tout $[a; + \infty [$ avec $a > 0$ .

Exercice 10 874 Correction

On pose

f_{n} (x) = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{n}} pour tout x \in ℝ .

Étudier la convergence uniforme de $(f_{n})$ sur $ℝ$ puis sur $] - \infty; - a] \cup [a; + \infty [$ avec $a > 0$ .

Solution

On observe

f_{n} (0) \to_{n \to + \infty}^{} 1 et f_{n} (x) \to_{n \to + \infty}^{} 0 pour x \neq 0 .

La fonction limite n’étant pas continue, il n’y a pas convergence uniforme sur $ℝ$ .

En revanche, si $| x | \geq | a |$ alors

| f_{n} (x) | \leq \frac{1}{{(1 + a^{2})}^{n}} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Par majoration uniforme, il y a convergence uniforme sur $] - \infty; - a] \cup [a; + \infty [$ avec $a > 0$ .

Exercice 11 875 Correction

On pose

f_{n} (0) = 0 et f_{n} (x) = x^{2} \sin (\frac{1}{n x}) pour tout x \in ℝ^{*} .

(a)

Étudier la convergence uniforme de $(f_{n})$ sur $ℝ$ .
(b)

Étudier la convergence uniforme de $(f_{n})$ sur $[- a; a]$ avec $a > 0$ .

Solution

(a)

Pour $x \in ℝ$ , nul ou non, on a $f_{n} (x) \to 0$ . Il y a convergence simple de $(f_{n})$ vers la fonction $f$ nulle. On a

$f_{n} (x) - f (x) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^{2} \times \frac{1}{n x} = \frac{x}{n} \to_{x \to + \infty}^{} + \infty .$

La fonction $f_{n} - f$ n’étant pas bornée sur $ℝ$ , il n’y a pas convergence uniforme sur $ℝ$ .
(b)

Soit $a > 0$ . Pour $x \in [- a; a]$ ,

$| f_{n} (x) | \leq \frac{x^{2}}{n | x |} = \frac{| x |}{n} \leq \frac{a}{n} \to_{n \to + \infty}^{} 0$

via $| \sin (t) | \leq | t |$ . Par suite, il y a convergence uniforme sur $[- a; a]$ .

Exercice 12 2518 CCINP (MP)Correction

Étudier la convergence de la suite de fonctions $(f_{n})$ définie par

f_{n} (x) = \frac{n x^{2} e^{- n x}}{1 - e^{- x^{2}}} pour x \neq 0 .

Solution

$f_{n}$ est définie sur $ℝ^{*}$ et peut être prolongée par continuité en $0$ en posant sur $f_{n} (0) = n$ .

Pour $x \leq 0$ ,

f_{n} (x) \to_{n \to + \infty}^{} + \infty .

Pour $x > 0$ ,

f_{n} (x) \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Ainsi, $(f_{n})$ converge simplement vers la fonction nulle sur $ℝ_{+}^{*}$ .

Il ne peut y avoir convergence uniforme sur $ℝ_{+}^{*}$ car alors, par le théorème de la double limite,

lim_{x \to 0^{+}} lim_{n \to + \infty} f_{n} (x) = lim_{n \to + \infty} lim_{x \to 0^{+}} f_{n} (x)

donne $0 = + \infty$ .

Soit $a > 0$ . Pour $x \in [a; + \infty [$ ,

| f_{n} (x) | \leq \frac{n x^{2} e^{- n x}}{1 - e^{- a^{2}}}

et, après étude fonctionnelle, $n x^{2} e^{- n x} \leq \frac{4}{n} e^{2}$ (maximum en $x = 2 / n$ ) donc

{∥ f_{n} ∥}_{\infty, [a; + \infty [} \leq \frac{4 e^{2}}{n (1 - e^{- a^{2}})} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Ainsi, il y a convergence uniforme sur $[a; + \infty [$ .

Exercice 13 876 Correction

On pose

f_{n} (x) = \frac{2^{n} x}{1 + n 2^{n} x^{2}} pour x \in ℝ .

Sur quels intervalles y a-t-il convergence uniforme?

Solution

La suite $(f_{n})$ converge simplement vers la fonction nulle et

sup_{x \in ℝ} | f_{n} (x) | = | f_{n} (\pm 1 / \sqrt{n 2^{n}}) | = \frac{\sqrt{2^{n}}}{2 \sqrt{n}} \to_{n \to + \infty}^{} + \infty

il n’y a donc pas convergence uniforme sur $ℝ$ .

Soit $a > 0$ . Sachant

1 / \sqrt{n 2^{n}} \to_{n \to + \infty}^{} 0

le tableau de variation de $f_{n}$ assure que pour $n$ assez grand,

sup_{x \geq a} | f_{n} (x) | = f_{n} (a) \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Ainsi, il y a convergence uniforme sur $[a; + \infty [$ et de même sur $] - \infty; - a]$ .

En revanche, il n’y aura pas convergence uniforme sur les intervalles non singuliers contenant $0$ .

Exercice 14 877 Correction

On pose

f_{n} (x) = 4^{n} (x^{2^{n}} - x^{2^{n + 1}}) pour tout x \in [0; 1] .

Sur quels intervalles y a-t-il convergence uniforme de la suite $(f_{n})$ ?

Solution

On a

sup_{x \in [0; 1]} | f_{n} (x) | = f_{n} (1 / \sqrt[2^{n}]{2}) = 4^{n - 1} \to_{n \to + \infty}^{} + \infty .

Il n’y a donc pas convergence uniforme sur $[0; 1]$ .

1 / \sqrt[2^{n}]{2} \to_{n \to + \infty}^{} 1

et donc, d’après le tableau de variation de $f_{n}$ , pour tout $a \in [0; 1 [$ , on a, pour $n$ assez grand,

sup_{x \in [0; a]} | f_{n} (x) | = f_{n} (a) \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Ainsi, il y a convergence uniforme sur $[0; a]$ .

En revanche, il n’y a pas convergence uniforme sur les intervalles non singuliers contenant $1$ .

Exercice 15 881 Correction

Soient $α \in ℝ$ et $f_{n} : [0; 1] \to ℝ$ définie par

f_{n} (x) = n^{α} x {(1 - x)}^{n} .

(a)

Étudier la limite simple de la suite de fonctions $(f_{n})$ .
(b)

Pour quels réel $α \in ℝ$ y a-t-il convergence uniforme?

Solution

(a)

Cas: $x = 0$ . On a $f_{n} (x) = 0 \to 0$ .

Cas: $x \in] 0; 1]$ . On a ausi $f_{n} (x) \to 0$ par comparaison des suites de référence.
(b)

La fonction $f_{n}$ est dérivable avec

$f_{n}^{'} (x) = n^{α} {(1 - x)}^{n} - n^{α + 1} x {(1 - x)}^{n - 1} = n^{α} {(1 - x)}^{n - 1} (1 - (n + 1) x) .$

Après étude des variations

${∥ f_{n} ∥}_{\infty} = f_{n} (\frac{1}{n + 1}) = n^{α} \frac{1}{n + 1} {(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n}$

avec

${(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n} = e^{n \ln (1 - \frac{1}{n + 1})} = e^{- 1 + o (1)} \to_{n \to + \infty}^{} e^{- 1}$

donc

${∥ f_{n} ∥}_{\infty} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{n^{α - 1}}{e} .$

Il y a convergence uniforme si, et seulement si, $α < 1$ .

Exercice 16 4746

Étudier la convergence simple de la suite de fonctions ${(f_{n})}_{n \geq 1}$ définies sur $ℝ_{+}$ par

f_{n} (t) = {\begin{matrix} {(1 - \frac{t}{n})}^{n} & si t \in [0; n [ \\ 0 & si t \in [n; + \infty [. \end{matrix}

Exercice 17 890 Correction

Pour $n \in ℕ^{*}$ , soit $f_{n} : ℝ_{+} \to ℝ$ définie par

f_{n} (x) = {(1 + \frac{x}{n})}^{- n} .

(a)

Étudier la limite simple de $(f_{n})$ et montrer que

$\forall x \in ℝ_{+}, f_{n} (x) \geq lim f_{n} (x) .$
(b)

En partant de l’encadrement suivant valable pour tout $t \in ℝ_{+}$ ,

$t - \frac{t^{2}}{2} \leq \ln (1 + t) \leq t$

justifier que la suite $(f_{n})$ converge uniformément sur tout intervalle $[0; a]$ (avec $a > 0$ ).
(c)

Établir qu’en fait, la suite de fonctions $(f_{n})$ converge uniformément sur $ℝ_{+}$ .

Solution

(a)

Pour $x \in ℝ_{+}$ ,

$f_{n} (x) = \exp (- n \ln (1 + \frac{x}{n})) \underset{n \to + \infty}{=} \exp (- x + o (1)) \to_{n \to + \infty}^{} e^{- x} = f (x) .$

On sait $\ln (1 + t) \leq t$ pour $t$ convenabl et donc, par opérations, $f_{n} (x) \geq e^{- x}$ .
(b)

On sait (cela peut être établi par étude des fonctions différences de membre)

$t - \frac{t^{2}}{2} \leq \ln (1 + t) \leq t$

donc

$\frac{x}{n} - \frac{x^{2}}{2 n^{2}} \leq \ln (1 + \frac{x}{n}) \leq \frac{x}{n}$

puis

$e^{- x} \leq f_{n} (x) \leq e^{- x + \frac{x^{2}}{2 n}} = e^{- x} e^{\frac{x^{2}}{2 n}} .$

Soit $x \in [0; a]$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2 n}} \leq e^{\frac{a^{2}}{2 n}} \to_{n \to + \infty}^{} 1 .$

Pour $ε > 0$ , il existe $N \in ℕ$ tel que pour tout $n \geq N$ , $| e^{a^{2} / 2 n} - 1 | \leq ε$ . On a alors pour tout $x \in [0; a]$ ,

$| f_{n} (x) - f (x) | \leq e^{- x} (e^{x^{2} / 2 n} - 1) \leq e^{a^{2} / 2 n} - 1 \leq ε .$

Par suite, $(f_{n})$ converge uniformément vers $f$ sur $[0; a]$ .
(c)

Les fonctions $f_{n}$ sont décroissantes donc

$\forall x \geq a, f_{n} (x) \leq f_{n} (a) .$

Soit $ε > 0$ .
Puisque $e^{- a} \to_{a \to + \infty}^{} 0$ , il existe $a \in ℝ_{+}$ tel que pour tout $x \geq a$ ,

$e^{- x} \leq ε / 3 .$

Puisque $f_{n} (a) \to e^{- a}$ , il existe $N \in ℕ$ tel que

$\forall n \geq N, | f_{n} (a) - e^{- a} | \leq ε / 3 .$

Mais alors pour tout $x \geq a$ ,

$| f_{n} (x) - e^{- x} | \leq f_{n} (x) + e^{- x} \leq f_{n} (a) + e^{- x} \leq (f_{n} (a) - e^{- a}) + e^{- a} + e^{- x} \leq ε .$

De plus, $(f_{n})$ converge uniformément sur $[0; a]$ et il existe donc $N^{'} \in ℕ$ tel que

$\forall n \geq N^{'}, \forall x \in [0; a], | f_{n} (x) - e^{- x} | \leq ε .$

Finalement,

$\forall n \geq \max (N, N^{'}), \forall x \in ℝ_{+}, | f_{n} (x) - e^{- x} | \leq ε .$

Ainsi,

$f_{n} \to_{ℝ_{+}}^{CVU} f .$

Exercice 18 892 Correction

Soit $f_{n} : [0; 1] \to ℝ$ définie par

f_{n} (x) = {\begin{matrix} n^{2} x (1 - n x) & si x \in [0; 1 / n] \\ 0 & sinon. \end{matrix}

(a)

Étudier la limite simple de la suite $(f_{n})$ .
(b)

Calculer

$\int_{0}^{1} f_{n} (t) d t .$

Y a-t-il convergence uniforme de la suite de fonction $(f_{n})$ ?
(c)

Étudier la convergence uniforme sur $[a; 1]$ avec $a \in] 0; 1]$ .

Solution

(a)

Pour $x = 0$ , $f_{n} (x) = 0$ . Pour $x > 0$ , on a aussi $f_{n} (x) = 0$ pour $n$ assez grand. Par suite, $(f_{n})$ converge simplement vers la fonction nulle.
(b)

On a

$\int_{0}^{1} f_{n} (t) d t = \int_{0}^{1 / n} n^{2} t (1 - n t) d t = \int_{0}^{1} u (1 - u) d u = \frac{1}{6} .$

Il n’y a pas convergence uniforme de la suite $(f_{n})$ puisque

$\int_{0}^{1} f_{n} (t) d t \to̸ \int_{0}^{1} 0 d t .$
(c)

Pour $n$ assez grand, ${sup}_{[a; 1]} | f_{n} (x) | = 0$ . La suite de fonctions $(f_{n})$ converge uniformément vers $0$ sur $[a; 1]$ .

Exercice 19 891 Correction

Pour $x \in [0; π / 2]$ et $n \in ℕ^{*}$ , on pose

f_{n} (x) = n \sin (x) \cos^{n} (x) .

(a)

Déterminer la limite simple de la suite de fonctions ${(f_{n})}_{n \geq 1}$ .
(b)

Pour $n \in ℕ^{*}$ , calculer

$I_{n} = \int_{0}^{π / 2} f_{n} (x) d x .$

La suite $(f_{n})$ converge-t-elle uniformément sur $[0; π / 2]$ ?
(c)

Justifier qu’il y a convergence uniforme de la suite de fonctions ${(f_{n})}_{n \geq 1}$ sur tout $[a; π / 2]$ avec $a \in] 0; π / 2 [$ .

Solution

(a)

Soit $x \in [0; π / 2]$ .

Cas: $x = 0$ .

$f_{n} (x) = 0 \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

Cas: $x \in] 0; π / 2]$ . On a $\cos (x) \in [0; 1 [$ donc

$f_{n} (x) \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

La suite de fonctions ${(f_{n})}_{n \geq 1}$ converge simplement vers la fonction identiquement nulle sur $[0; π / 2]$ .
(b)

Directement,

$I_{n} = {[- \frac{n}{n + 1} \cos^{n + 1} (x)]}_{0}^{π / 2} = \frac{n}{n + 1} .$

Puisque

$I_{n} \to_{n \to + \infty}^{} 1 \neq \int_{0}^{π / 2} 0 d x$

il n’y a pas convergence uniforme sur $[0; π / 2]$ .
(c)

La fonction $f_{n}$ est dérivable sur $[0; π / 2]$ avec

$f_{n}^{'} (x) = n (\cos^{n + 1} (x) - n \sin^{2} (x) \cos^{n - 1} (x)) = n \cos^{n - 1} (x) ((n + 1) \cos^{2} (x) - n)$

du signe de $(n + 1) \cos^{2} (x) - n$ . Cette expression s’annule en

$x_{n} = \arccos (\sqrt{\frac{n}{n + 1}})$

et l’on a

On remarque

$x_{n} \to_{n \to + \infty}^{} 0$

Soit $a \in] 0; π / 2]$ . On a $a > 0$ et donc, à partir d’un certain rang, $x_{n} < a$ . Pour ces valeurs de $n$ , on a alors

$sup_{[a; π / 2]} | f_{n} | = f_{n} (a) \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

Il y a convergence uniforme de ${(f_{n})}_{n \geq 1}$ sur $[a; π / 2]$ .

Exercice 20 2831 MINES (MP)

Soit $f$ la fonction définie de l’intervalle $[0; 1]$ vers lui-même par la relation

f (x) = 2 x (1 - x) .

Pour $n \in ℕ$ , on pose $f_{n}$ la fonction itérée d’ordre $n$ de $f$ :

f_{0} = {Id}_{[0; 1]} et f_{n} = \underset{\begin{matrix} n facteurs \end{matrix}}{\underset{⏟}{f \circ f \circ \dots \circ f}} .

(a)

Étudier la convergence simple de la suite de fonctions $(f_{n})$ sur $[0; 1]$ .
(b)

Sur quels segments inclus dans $[0; 1]$ peut-on affirmer qu’il y a convergence uniforme?

Exercice 21 2860 Correction

Soit $(f_{n})$ la suite de fonctions définies sur $ℝ_{+}$ par

f_{0} (x) = x et f_{n + 1} (x) = \frac{x}{2 + f_{n} (x)} pour n \in ℕ .

Étudier la convergence simple et uniforme de la suite ${(f_{n})}_{n \geq 0}$ sur $ℝ_{+}$ .

Solution

Pour $x \geq 0$ , la suite numérique $(f_{n} (x))$ est une suite homographique. L’équation $r = \frac{x}{2 + r}$ possède deux solutions $r_{1} = \sqrt{1 + x} - 1$ et $r_{2} = - \sqrt{1 + x} - 1$ . Posons

g_{n} (x) = \frac{f_{n} (x) - r_{1}}{f_{n} (x) - r_{2}} .

On a

g_{n + 1} (x) = \frac{\frac{x}{2 + f_{n} (x)} - \frac{x}{2 + r_{1}}}{\frac{x}{2 + f_{n} (x)} - \frac{x}{2 + r_{2}}} = \frac{f_{n} (x) - r_{1}}{f_{n} (x) - r_{2}} \frac{2 + r_{2}}{2 + r_{1}} = ρ g_{n} (x)

avec

ρ = \frac{2 + r_{2}}{2 + r_{1}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} .

Puisque $| ρ | < 1$ , la suite géométrique $(g_{n} (x))$ converge vers $0$ . Or, après résolution de l’équation

g_{n} (x) = \frac{f_{n} (x) - r_{1}}{f_{n} (x) - r_{2}}

on obtient

f_{n} (x) = \frac{r_{1} - g_{n} (x) r_{2}}{1 - g_{n} (x)}

et l’on en déduit que la suite numérique $(f_{n} (x))$ converge vers $r_{1} = \sqrt{1 + x} - 1$ .

Finalement, la suite de fonctions $(f_{n})$ converge simplement vers la fonction

f_{\infty} : x \mapsto \sqrt{1 + x} - 1 .

Puisque les fonctions $f_{n}$ sont rationnelles de degrés alternativement $0$ et $1$ , la fonction $| f_{n} - f_{\infty} |$ ne peut-être bornée sur $ℝ_{+}$ car de limite $+ \infty$ en $+ \infty$ : il n’y a pas convergence uniforme sur $ℝ_{+}$ .

En revanche, on peut montrer que la suite de fonctions $(f_{n})$ converge uniformément vers $f_{\infty}$ sur $[0; a]$ pour tout $a \geq 0$ . En effet,

f_{n} (x) - f_{\infty} (x) = \frac{g_{n} (x)}{1 - g_{n} (x)} 2 \sqrt{1 + x} .

D’une part, la fonction $x \mapsto 2 \sqrt{1 + x}$ est bornée sur $[0; a]$ .

D’autre part,

g_{n} (x) = {(\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{\sqrt{1 + x} + 1})}^{n} g_{0} (x) .

Sur $[0; a]$ , la fonction

x \mapsto | \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{\sqrt{1 + x} + 1} |

admet un maximum de valeur $< 1$ et, puisque la fonction continue $g_{0}$ est bornée sur $[0; a]$ , on peut montrer que la suite de fonctions $(g_{n})$ converge uniformément vers la fonction nulle sur $[0; a]$ .

La relation

f_{n} (x) - f_{\infty} (x) = \frac{g_{n} (x)}{1 - g_{n} (x)} 2 \sqrt{1 + x}

permet alors d’établir que la suite de fonctions $(f_{n})$ converge uniformément vers $f_{\infty}$ sur $[0; a]$ .

Exercice 22 882 ENSTIM (MP)

Soit $f : [0; 1] \to ℝ$ une fonction continue. Pour $n \in ℕ$ , on pose $f_{n} : [0; 1] \to ℝ$ définie par

f_{n} (x) = x^{n} f (x) .

Former une condition nécessaire et suffisante sur $f$ pour que la suite de fonctions $(f_{n})$ converge uniformément sur $[0; 1]$ .

Exercice 23 5049

On considère la suite de fonctions $(P_{n})$ définie sur $[0; 1]$ par

P_{0} (x) = 0 et P_{n + 1} (x) = P_{n} (x) + \frac{1}{2} (x - P_{n}^{2} (x)) pour tout n \in ℕ .

(a)

Montrer que $(P_{n})$ converge uniformément sur $[0; 1]$ vers la fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ .
(b)

En déduire une suite de fonctions polynômes convergeant uniformément vers la fonction valeur absolue sur $[- 1; 1]$ .

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Édité le 12-05-2025

Étude pratique de la convergence d'une suite de fonctions