[<] Propriétés de la limite d'une suite de fonctions [>] Étude théorique de la convergence d'une suite de fonctions

 
Exercice 1  871  Correction  

On pose

un(x)={xnln(x) si x]0;1]0 si x=0.

Étudier la convergence simple et uniforme de la suite de fonctions (un)n1 sur [0;1].

Solution

La suite de fonctions (un) converge simplement vers la fonction nulle sur [0;1] car

x[0;1],un(x)n+0

Les fonctions un sont continues sur [0;1] pour n1 et dérivables sur ]0;1] avec

un(x)=xn-1(1+nln(x)).

Le tableau des variations de un donne

sup[0;1]|un|=-un(e-1/n)=1nen+0.

La suite de fonctions converge donc uniformément sur [0;1] vers la fonction nulle sur [0;1].

 
Exercice 2  872  Correction  

Étudier la convergence simple et uniforme sur [0;+[ de la suite de fonctions (fn) définie par

fn(x)=xn(1+xn).

Solution

Pour x[0;+[,

fn(x)n+0 car |fn(x)|xn

La suite de fonctions (fn) converge simplement vers la fonction nulle sur [0;+[.

Pour tout n*, fn est dérivable sur [0;+[ et

fn(x)=n(1+xn)-n2xnn2(1+xn)2=1+(1-n)xnn(1+xn)2.

Introduisons xn=1/(n-1)n.

x0xn+fn(x)0Mn0

donc

fn=Mn=fn(xn)=1/(n-1)nn(1+1n-1)=e-1nln(n-1)n2n-1n+0.

Il y a donc convergence uniforme de la suite de fonction (fn) vers la fonction nulle sur [0;+[.

 
Exercice 3  2527     CCP (MP)Correction  

Étudier la convergence simple et uniforme sur de la suite de fonctions (fn) donnée par

fn(x)=sinn(x)cos(x).

Solution

Cas: xπ2[π]. On a |sin(x)|<1 et donc (fn(x)) tend vers 0.

Cas: x=π2[π]. On a cos(x)=0 et donc (fn(x)) est une suite constante égale à 0.

Ainsi, (fn) converge simplement vers la fonction nulle sur .

Par 2π périodicité et parité, on ne poursuit l’étude qu’avec x[0;π]. La fonction fn est dérivable avec

fn(x)=sinn-1(x)((n+1)cos2(x)-1).

On peut dresser le tableau de variation de fn sur [0;π] et l’on obtient

sup|fn|=|fn(arccos(1n+1))|=(1-1(n+1))n/21n+1n+0.

La suite de fonction (fn) converge donc uniformément vers la fonction nulle.

Figure 1: Les premières fonctions de la suite (fn)
 
Exercice 4  2830     MINES (MP)Correction  

On pose

fn(x)=1(1+x)1+1/npour tout x0.

Étudier la convergence simple puis uniforme de la suite de fonctions (fn)n*.

Solution

Pour x+,

fn(x)=1(1+x)1+1/nn+11+x=f(x).

On a

f(x)-fn(x)=(1+x)1/n-1(1+x)1+1/n.

Or, pour α]0;1], la fonction x(1+x)α est concave ce qui permet d’affirmer

0(1+x)α1+αxpour tout x0

On a donc

|f(x)-fn(x)|1nx(1+x)1+1/n1nx1+x1nn+0.

On en déduit qu’il y a convergence uniforme sur +.

 
Exercice 5  4741  

On considère la suite de fonctions (un) avec

un(t)=nt(1-t)npour tout t[0;1].
  • (a)

    Étudier la convergence simple de cette suite de fonctions.

  • (b)

    Y a-t-il convergence uniforme sur [0;1]?

  • (c)

    Justifier que la suite de fonctions converge uniformément sur tout segment [a;1] avec a]0;1] arbitraire.

  • (d)

    Y a-t-il convergence uniforme sur ]0;1]?

 
Exercice 6  4742  

On considère la suite de fonctions (un) avec

un(t)=nsin(t)e-ntpour tout t+.
  • (a)

    Étudier sa convergence simple sur +.

  • (b)

    Montrer qu’il y a convergence uniforme sur tout intervalle [a;+[ avec a>0 arbitraire.

  • (c)

    Y a-t-il convergence uniforme sur [0;+[?

 
Exercice 7  870  Correction  

On pose

un(x)=e-nxsin(nx)pour tout x+.
  • (a)

    Étudier la convergence simple de la suite de fonctions (un) sur [0;+[.

  • (b)

    Étudier la convergence uniforme sur [a;+[ avec a>0.

  • (c)

    Étudier la convergence uniforme sur [0;+[.

Solution

  • (a)

    Soit x[0;+[.

    Cas: x=0. On a un(x)=00.

    Cas: x>0. On a un(x)0 car e-nx0.

    La suite de fonctions (un) converge donc simplement vers la fonction nulle sur +.

  • (b)

    Soit a>0. On a

    supx[a;+[|un(x)|e-nan+0

    Il y a donc convergence uniforme sur [a;+[.

  • (c)

    Puisque

    unun(π/2n)=e-π/2↛0

    il n’y a pas convergence uniforme sur +.

 
Exercice 8  873  Correction  

On pose

fn(x)=nx2e-nxpour tout x+.

Étudier la convergence uniforme de (fn) sur + puis sur [a;+[ avec a>0.

Solution

Pour n, la fonction fn est dérivable avec fn(x)=nx(2-nx)e-nx. Le tableau de variation de fn donne

sup+|fn|=fn(2n)=4ne-2n+0

Il y a donc convergence uniforme sur et a fortiori sur tout [a;+[ avec a>0.

 
Exercice 9  874  Correction  

On pose

fn(x)=1(1+x2)npour tout x.

Étudier la convergence uniforme de (fn) sur puis sur ]-;-a][a;+[ avec a>0.

Solution

On observe

fn(0)n+1etfn(x)n+0pour x0

La fonction limite n’étant pas continue, il n’y a pas convergence uniforme sur .

En revanche, si |x||a| alors

|fn(x)|1(1+a2)nn+0

Par majoration uniforme, il y a convergence uniforme sur ]-;-a][a;+[ avec a>0.

 
Exercice 10  875  Correction  

On pose

fn(0)=0etfn(x)=x2sin(1nx)pour tout x*.
  • (a)

    Étudier la convergence uniforme de (fn) sur .

  • (b)

    Étudier la convergence uniforme de (fn) sur [-a;a] avec a>0.

Solution

  • (a)

    Pour x, nul ou non, on a fn(x)0. Il y a convergence simple de (fn) vers la fonction f nulle. On a

    fn(x)-f(x)x+x2×1nx=xnx++.

    La fonction fn-f n’étant pas bornée sur , il n’y a pas convergence uniforme sur .

  • (b)

    Soit a>0. Pour x[-a;a],

    |fn(x)|x2n|x|=|x|nann+0

    via |sin(t)||t|. Par suite, il y a convergence uniforme sur [-a;a].

 
Exercice 11  2518     CCP (MP)Correction  

Étudier la convergence de la suite de fonctions (fn) définie par

fn(x)=nx2e-nx1-e-x2pour x0.

Solution

fn est définie sur * et peut être prolongée par continuité en 0 en posant sur fn(0)=n.

Pour x0,

fn(x)n++.

Pour x>0,

fn(x)n+0.

Ainsi, (fn) converge simplement vers la fonction nulle sur +*.

Il ne peut y avoir convergence uniforme sur +* car alors, par le théorème de la double limite,

limx0+limn+fn(x)=limn+limx0+fn(x)

donne 0=+.

Soit a>0. Pour x[a;+[,

|fn(x)|nx2e-nx1-e-a2

et, après étude fonctionnelle, nx2e-nx4ne2 (maximum en x=2/n) donc

fn,[a;+[4e2n(1-e-a2)n+0

Ainsi, il y a convergence uniforme sur [a;+[.

 
Exercice 12  876   Correction  

On pose

fn(x)=2nx1+n2nx2 pour x.

Sur quels intervalles y a-t-il convergence uniforme?

Solution

La suite (fn) converge simplement vers la fonction nulle et

supx|fn(x)|=|fn(±1/n2n)|=2n2nn++

il n’y a donc pas convergence uniforme sur .

Soit a>0. Sachant

1/n2nn+0

le tableau de variation de fn assure que pour n assez grand,

supxa|fn(x)|=fn(a)n+0.

Ainsi, il y a convergence uniforme sur [a;+[ et de même sur ]-;-a].

En revanche, il n’y aura pas convergence uniforme sur les intervalles non singuliers contenant 0.

 
Exercice 13  877   Correction  

On pose

fn(x)=4n(x2n-x2n+1)pour tout x[0;1].

Sur quels intervalles y a-t-il convergence uniforme de la suite (fn)?

Solution

On a

supx[0;1]|fn(x)|=fn(1/22n)=4n-1n++

Il n’y a donc pas convergence uniforme sur [0;1].

Or

1/22nn+1

et donc, d’après le tableau de variation de fn, pour tout a[0;1[, on a, pour n assez grand,

supx[0;a]|fn(x)|=fn(a)n+0.

Ainsi, il y a convergence uniforme sur [0;a].

En revanche, il n’y a pas convergence uniforme sur les intervalles non singuliers contenant 1.

 
Exercice 14  881   Correction  

Soient α et fn:[0;1] définie par

fn(x)=nαx(1-x)n.
  • (a)

    Étudier la limite simple de la suite (fn).

  • (b)

    Pour quels α, y a-t-il convergence uniforme?

Solution

  • (a)

    Cas: x=0. On a fn(x)=00.

    Cas: x]0;1]. On a ausi fn(x)0 par comparaison des suites de référence.

  • (b)

    La fonction fn est dérivable avec

    fn(x)=nα(1-x)n-nα+1x(1-x)n-1=nα(1-x)n-1(1-(n+1)x).

    Après étude des variations

    fn=fn(1n+1)=nα1n+1(1-1n+1)n.

    avec

    (1-1n+1)n=enln(1-1n+1)=e-1+o(1)n+e-1

    donc

    fnn+nα-1e.

    Il y a convergence uniforme si, et seulement si, α<1.

 
Exercice 15  4746  

Étudier la convergence simple de la suite de fonctions (un)n1 définies sur + par

un(t)={(1-tn)n si t[0;n[0 si t[n;+[.
 
Exercice 16  2972     X (MP)Correction  

Soit, pour n, fn la fonction définie sur + par

fn(x)={(1-xn)n si x[0;n[0 si xn

Étudier le mode de convergence de (fn).

Solution

Soit x+. Pour n assez grand,

fn(x)=(1-xn)n=exp(nln(1-xn))n+e-x.

La suite (fn) converge simplement vers f:xe-x avec fnf (car on sait ln(1+u)u pour u convenable).

Étudions δn=f-fn0.

Pour x[n;+[,

δn(x)=e-xe-n.

Pour x[0;n[,

δn(x)=e-x-(1-xn)netδn(x)=-e-x+(1-xn)n-1

Posons

φn(x)=(n-1)ln(1-xn)+x.

On a

φn(x)=n-1n1x/n-1+1=x-1x-n

du signe de 1-x.

Par étude des variations de φn, on obtient l’existence de xn[0;n[ tel que φn(x)0 pour xxn et φn(x)0 pour xxn. On en déduit que pour xxn, δn(x)0 et pour xxn, δn(x)0. Ainsi,

δn,[0;n[=δn(xn)=(1-xnn)n-1-(1-xnn)n=xnne-xn.

Puisque la fonction xxe-x est bornée par un certain M sur +, on obtient

δn,[0;n[Mn.

Finalement,

δn,[0;+[max(Mn,e-n)0.

On peut donc affirmer que la suite (fn) converge uniformément sur + vers f.

 
Exercice 17  890   Correction  

Pour n*, soit fn:+ définie par

fn(x)=(1+xn)-n.
  • (a)

    Étudier la limite simple de (fn) et montrer que

    x+,fn(x)limfn(x).
  • (b)

    En partant de l’encadrement suivant valable pour tout t+,

    t-t22ln(1+t)t

    justifier que la suite (fn) converge uniformément sur tout intervalle [0;a] (avec a>0).

  • (c)

    Établir qu’en fait, la suite de fonctions (fn) converge uniformément sur +.

Solution

  • (a)

    Pour x+,

    fn(x)=exp(-nln(1+xn))=n+exp(-x+o(1))n+e-x=f(x).

    On sait ln(1+t)t pour t convenabl et donc, par opérations, fn(x)e-x.

  • (b)

    On sait (cela peut être établi par étude des fonctions différences de membre)

    t-t22ln(1+t)t

    donc

    xn-x22n2ln(1+xn)xn

    puis

    e-xfn(x)e-x+x22n=e-xex22n.

    Soit x[0;a].

    ex22nea22nn+1.

    Pour ε>0, il existe N tel que pour tout nN, |ea2/2n-1|ε. On a alors pour tout x[0;a],

    |fn(x)-f(x)|e-x(ex2/2n-1)ea2/2n-1ε.

    Par suite, (fn) converge uniformément vers f sur [0;a].

  • (c)

    Les fonctions fn sont décroissantes donc

    xa,fn(x)fn(a).

    Soit ε>0.
    Puisque e-aa+0, il existe a+ tel que pour tout xa,

    e-xε/3.

    Puisque fn(a)e-a, il existe N tel que

    nN,|fn(a)-e-a|ε/3.

    Mais alors pour toutxa,

    |fn(x)-e-x|fn(x)+e-xfn(a)+e-x(fn(a)-e-a)+e-a+e-xε.

    De plus, (fn) converge uniformément sur [0;a] et il existe donc N tel que

    nN,x[0;a],|fn(x)-e-x|ε.

    Finalement,

    nmax(N,N),x+,|fn(x)-e-x|ε.

    Ainsi,

    fn+CVUf.
 
Exercice 18  892  Correction  

Soit fn:[0;1] définie par

fn(x)={n2x(1-nx) si x[0;1/n]0 sinon.
  • (a)

    Étudier la limite simple de la suite (fn).

  • (b)

    Calculer

    01fn(t)dt.

    Y a-t-il convergence uniforme de la suite de fonction (fn)?

  • (c)

    Étudier la convergence uniforme sur [a;1] avec a]0;1].

Solution

  • (a)

    Pour x=0, fn(x)=0. Pour x>0, on a aussi fn(x)=0 pour n assez grand. Par suite, (fn) converge simplement vers la fonction nulle.

  • (b)

    On a

    01fn(t)dt=01/nn2t(1-nt)dt=01u(1-u)du=16.

    Il n’y a pas convergence uniforme de la suite (fn) puisque

    01fn(t)dt↛010dt.
  • (c)

    Pour n assez grand, sup[a;1]|fn(x)|=0. La suite de fonctions (fn) converge uniformément vers 0 sur [a;1].

 
Exercice 19  891   Correction  

Pour x[0;π/2], on pose

fn(x)=nsin(x)cosn(x).
  • (a)

    Déterminer la limite simple de la suite de fonctions (fn).

  • (b)

    Calculer

    In=0π/2fn(x)dx.

    La suite (fn) converge-t-elle uniformément?

  • (c)

    Justifier qu’il y a convergence uniforme sur tout segment inclus dans ]0;π/2].

Solution

  • (a)

    Pour x=0, fn(x)=00.

    Pour x]0;π/2], cos(x)[0;1[ donc fn(x)0.

    La suite de fonctions (fn) converge simplement vers la fonction nulle sur [0;π/2].

  • (b)

    Directement,

    In=[-nn+1cosn+1(x)]0π/2=nn+1.

    Puisque

    Inn+10π/20dx

    il n’y a pas convergence uniforme sur [0;π/2].

  • (c)

    On a

    x0xnπ/2fn0fn(xn)0

    avec

    xn=arccos(nn+1)n+0

    et

    fn(xn)=n(1+1/n)(n+1)/2n+nen++.

    Soit [a;b]]0;π/2]. On a a>0 donc à partir d’un certain rang xn<a et alors

    sup[a;b]|fn|=fn(a)n+0.

    Il y a convergence uniforme sur [a;b].

 
Exercice 20  2831     MINES (MP)

Soit f la fonction définie de l’intervalle [0;1] vers lui-même par la relation

f(x)=2x(1-x)

et fn la fonction itérée d’ordre n de f:

fn=fffn facteurs.
  • (a)

    Étudier la convergence simple de la suite de fonctions (fn) sur [0;1].

  • (b)

    Sur quels segments inclus dans [0;1] peut-on affirmer qu’il y a convergence uniforme?

 
Exercice 21  2860    Correction  

Soit (fn) la suite de fonctions définies sur + par

f0(x)=xetfn+1(x)=x2+fn(x)pour n.

Étudier la convergence simple et uniforme de la suite (fn)n0 sur +.

Solution

Pour x0, la suite numérique (fn(x)) est une suite homographique. L’équation r=x2+r possède deux solutions r1=1+x-1 et r2=-1+x-1. Posons

gn(x)=fn(x)-r1fn(x)-r2.

On a

gn+1(x)=x2+fn(x)-x2+r1x2+fn(x)-x2+r2=fn(x)-r1fn(x)-r22+r22+r1=ρgn(x)

avec

ρ=2+r22+r1=r1r2.

Puisque |ρ|<1, la suite géométrique (gn(x)) converge vers 0. Or, après résolution de l’équation

gn(x)=fn(x)-r1fn(x)-r2

on obtient

fn(x)=r1-gn(x)r21-gn(x)

et l’on en déduit que la suite numérique (fn(x)) converge vers r1=1+x-1.

Finalement, la suite de fonctions (fn) converge simplement vers la fonction

f:x1+x-1.

Puisque les fonctions fn sont rationnelles de degrés alternativement 0 et 1, la fonction |fn-f| ne peut-être bornée sur + car de limite + en +: il n’y a pas convergence uniforme sur +.

En revanche, on peut montrer que la suite de fonctions (fn) converge uniformément vers f sur [0;a] pour tout a0. En effet,

fn(x)-f(x)=gn(x)1-gn(x)21+x.

D’une part, la fonction x21+x est bornée sur [0;a].

D’autre part,

gn(x)=(1+x-11+x+1)ng0(x).

Sur [0;a], la fonction

x|1+x-11+x+1|

admet un maximum de valeur <1 et, puisque la fonction continue g0 est bornée sur [0;a], on peut montrer que la suite de fonctions (gn) converge uniformément vers la fonction nulle sur [0;a].

La relation

fn(x)-f(x)=gn(x)1-gn(x)21+x

permet alors d’établir que la suite de fonctions (fn) converge uniformément vers f sur [0;a].

 
Exercice 22  882      ENSTIM (MP)

Soient f:[0;1] une fonction continue et, pour n, fn:[0;1] définie par

fn(x)=xnf(x).

Former une condition nécessaire et suffisante sur f pour que la suite de fonctions (fn) converge uniformément sur [0;1].

 
Exercice 23  5049    

On considère la suite de fonctions (Pn) définie sur [0;1] par

P0(x)=0etPn+1(x)=Pn(x)+12(x-Pn2(x))pour tout n.
  • (a)

    Montrer que (Pn) converge uniformément sur [0;1] vers la fonction xx.

  • (b)

    En déduire une suite de fonctions polynômes convergeant uniformément vers la fonction valeur absolue sur [-1;1].

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Édité le 08-11-2019

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