[<] Étude pratique de la convergence d'une suite de fonctions [>] Étude pratique de la limite d'une suite de fonctions

 
Exercice 1  883  Correction  

Pour n*, on considère fn:+ définie par

fn(x)=x+1n.

Montrer que la suite de fonctions (fn)n1 converge uniformément mais qu’il n’en est pas de même de (fn2)n1.

Solution

Pour x,

fn(x)n+x

et

|fn(x)-x|=1nn+0.

La suite de fonctions (fn) converge uniformément vers la fonction identité.

Pour x,

fn(x)2n+x2

et

fn(n)2-n2=2+1n2n+2.

Il n’y a pas convergence uniforme de la suite (fn2).

 
Exercice 2  869  Correction  

Pour n*, on considère fn: définie par

fn(x)=x2+1n.

Montrer que chaque fn est de classe 𝒞1 et que la suite (fn)n1 converge uniformément sur vers une fonction f qui n’est pas de classe 𝒞1.

Solution

Par opérations, les fonctions fn sont de classe 𝒞1 car est de classe 𝒞1 sur +*.

La suite (fn) converge simplement vers f avec f(x)=|x| qui n’est pas dérivable en 0.

En multipliant par la quantité conjuguée,

fn(x)-f(x)=1n1x2+1/n+x2.

Par suite,

|fn(x)-f(x)|1n11/n=1n

puis

fn-f1nn+0.

Ainsi, la suite (fn) converge uniformément vers une fonction f qui n’est pas de classe 𝒞1.

 
Exercice 3  887  Correction  

Soit f: une fonction deux fois dérivable de dérivée seconde bornée.

Pour n*, on considère gn: donnée par

gn:xn(f(x+1n)-f(x))

Montrer que (gn) converge uniformément vers f sur .

Solution

Par la formule de Taylor Lagrange,

|f(x+1n)-f(x)-1nf(x)|Mn2

avec M=sup|f′′|. Par suite,

|gn(x)-f(x)|Mn

et donc

gn-f,n+0.
 
Exercice 4  3902   Correction  

Soit f: de classe 𝒞1. Pour n*, on considère un: définiepar

un(t)=n(f(t+1n)-f(t)).

Montrer que la suite de fonctions (un)n1 converge uniformément sur tout segment de vers une fonction à préciser.

Solution

Pour t,

un(t)=f(t+1/n)-f(t)1/nn+f(t).

La suite de fonctions (un)n1 converge simplement vers f sur .

Soient [a;b] et ε>0. La fonction f est continue sur le segment [a;b+1] dont uniformément continue. Il existe alors α>0 vérifiant

(s,t)[a;b+1]2,|s-t|α|f(s)-f(t)|ε.

Pour n assez grand de sorte que 1/nα et pour t[a;b], on peut écrire

n(f(t+1n)-f(t))-f(t)=ntt+1/n(f(s)-f(t))ds

et donc

|un(t)-f(t)|ntt+1/n|f(s)-f(t)|dtε.

Ainsi, la convergence de (un)n1 est uniforme sur tout segment de .

 
Exercice 5  888  Correction  

Soit (fn) une suite de fonctions de [0;1] vers convergeant simplement vers la fonction nulle sur [0;1].

On suppose toute les fonctions fn croissantes, montrer que la convergence de (fn) est uniforme.

Solution

Pour x[0;1],

fn(0)fn(x)fn(1)

donc

fn-0 =max(fn(0),-fn(1))
max(|fn(0)|,|fn(1)|)
|fn(0)|+|fn(1)|n+0.
 
Exercice 6  889   

(Théorème de Dini)

Soit (fn) une suite de fonctions définies et continues sur un segment [a;b] convergeant simplement vers la fonction nulle. On suppose que cette suite est décroissante dans le sens où, pour tout x[a;b], la suite (fn(x)) est décroissante. On désire établir que la convergence de la suite (fn) est uniforme et l’on introduit

fn=supx[a;b]|fn(x)|.
  • (a)

    Justifier que pour tout n, il existe xn[a;b] tel que fn=fn(xn).

  • (b)

    Justifier la convergence de la suite de terme général fn.

  • (c)

    En observant que fn(xn)fp(xn) pour tout pn, montrer

    fnn+0.
 
Exercice 7  2833      MINES (MP)Correction  

On note 𝕌 l’ensemble des complexes de module 1 et l’on considère ω un complexe de module différent de 1.

Exprimer une condition nécessaire et suffisante pour que la fonction

z1z-ω

soit limite uniforme sur 𝕌 d’une suite de fonctions polynomiales.

Solution

Cas: |ω|>1. Pour z𝕌, on peut écrire

1z-ω=-1ωn=0+znωn

La convergence normale sur 𝕌 de la série assure la convergence uniforme d’une suite de polynômes vers

z1z-ω.

Cas: |ω|<1. On remarquer que pour tout k,

02πe-ikθeiθ-ωdθ=n=0+ωn02πe-i(n+(k+1))θdθ=0.

Si zPn(z) est une suite de fonctions polynomiales convergeant uniformément sur 𝕌 vers z1z-ω alors

02πPn(eiθ)¯1eiθ-ωdθn+02πdθ|eiθ-ω|20.

Or, par le calcul précédent, on peut affirmer

02πPn(eiθ)¯1eiθ-ωdθ=0.

On conclut à une absurdité.

La condition cherchée est |ω|>1.

 
Exercice 8  2969      X (MP)

Soit (fn) une suite de fonctions réelles convexes définies sur un intervalle ouvert non vide I. On suppose que la suite de fonctions (fn) converge simplement sur I. Montrer que la convergence est en fait uniforme sur tout segment inclus dans I.

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Édité le 08-11-2019

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