Par le critère spécial des séries alternées, $\eta$ est bien définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

$f_n:x\mapsto \frac{{(-1)}^{n-1}}{n^x}$ est de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ et

$$f_n^{(p)}(x)={(-1)}^{n+p-1}\frac{{\left(\ln (n)\right)}^p}{n^x}\text{.}$$

La suite ${\left(f_n^{(p)}(x)\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est alternée. Étudions

$$\phi :t\mapsto \frac{{\left(\ln (t)\right)}^p}{t^x}\text{.}$$

On a

$${\phi }^{\prime }(t)=\frac{\ln {(t)}^{p-1}(p-x\ln (t))}{t^{x+1}}\text{.}$$

Pour $\ln (t)\ge p/x$, ${\phi }^{\prime }(t)\le 0$ donc $\phi$ décroissante sur $[{\mathrm{e}}^{p/x};+\mathrm{\infty }[$. Ainsi ${(f_n^{(p)}(x))}_{n\ge 1}$ est décroissante à partir du rang $\lfloor {\mathrm{e}}^{p/x}\rfloor +1$ et tend vers 0. On peut donc appliquer le critère spécial des séries alternées. Pour $a>0$ et pour $n\ge \lfloor {\mathrm{e}}^{p/a}\rfloor +1$ on a pour tout $x\in [a;+\mathrm{\infty }[$,

$$\left|R_n(x)\right|=\left|\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{n+p}{\left(\ln (n)\right)}^p}{n^x}\right|\le \frac{{(\ln (n+1))}^p}{{(n+1)}^x}\le \frac{{(\ln (n+1))}^p}{{(n+1)}^a}$$

donc

$${\parallel R_n\parallel }_{\mathrm{\infty },[a;+\mathrm{\infty }[}\le \frac{{(\ln (n+1))}^p}{{(n+1)}^a}\to 0$$

$\sum f_n^{(p)}$ converge uniformément sur $[a;+\mathrm{\infty }[$ (pour tout $a>0$) donc converge simplement sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ et converge uniformément sur tout segment de $]0;+\mathrm{\infty }[$.

Par théorème, on peut alors conclure que $\eta$ est de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

• (a)

  Soit $s=a+\mathrm{i}b$ avec $a,b\in ℝ$. Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$,

  $$\left|\frac{1}{n^s}\right|=\frac{1}{n^a}\text{.}$$

  Par conséquent, si $a>1$, la série $\sum 1/n^s$ converge absolument et donc converge.

• (b)

  Soit $s$ tel que $\mathrm{Re}(s)>1$. En développant

  $$\zeta (s)\left(1-2^{1-s}\right)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}-\sum _{P=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{2}{{(2p)}^s}\text{.}$$

  Par absolue convergence, on peut séparer la première somme en deux paquets, celui des termes d’indices pairs et celui des termes d’indices impairs. Il vient alors

  $$\zeta (s)\left(1-2^{1-s}\right)=\sum _{p=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{{(2p-1)}^s}-\sum _{p=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{{(2p)}^s}\text{.}$$

  (1)

  En regroupant ces sommes, on obtient

  $$\zeta (s)\left(1-2^{1-s}\right)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{n-1}}{n^s}$$

  avec sommabilité de la somme en second membre.

• (c)

  En reprenant, l’expression (1), étudions

  $$F(s)=\sum _{p=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{{(2p-1)}^s}-\sum _{p=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{{(2p)}^s}=\sum _{p=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_p(s)$$

  avec

  $$u_p(s)=\frac{{(2p)}^s-{(2p-1)}^s}{{(2p)}^s{(2p-1)}^s}$$

  définie pour $s\in ℂ$ tel que $\mathrm{Re}(s)>0$.

  Pour $s=a+\mathrm{i}b$ fixé, la fonction $f:t\mapsto t^s$ est de classe ${𝒞}^1$ sur $[2p-1;2p]$ et

  $$\left|f^{\prime }(t)\right|=\left|s{t}^{s-1}\right|=|s|t^{a-1}\le |s|\left({(2p-1)}^{a-1}+{(2p)}^{a-1}\right)\text{.}$$

  Par l’inégalité des accroissements finis

  $$\left|{(2p)}^s-{(2p-1)}^s\right|\le |s|\left({(2p-1)}^{a-1}+{(2p)}^{a-1}\right)$$

  donc

  	$\left|u_p(s)\right|$	$\le |s|{\displaystyle \frac{\left({(2p-1)}^{a-1}+{(2p)}^{a-1}\right)}{{(2p)}^a{(2p-1)}^a}}$
  		$\le |s|\left({\displaystyle \frac{1}{{(2p)}^a(2p-1)}}+{\displaystyle \frac{1}{(2p){(2p-1)}^a}}\right)\text{.}$

  Introduisons alors

  $${\mathrm{\Omega }}_{\alpha ,R}=\{z\in ℂ|\mathrm{Re}(z)\ge \alpha \text{ et }|z|\le R\}\text{ pour }\alpha ,R>0\text{.}$$

  Les fonctions $u_n$ sont continues sur ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha ,R}$ et pour tout $s\in {\mathrm{\Omega }}_{\alpha ,R}$

  $$\left|u_n(s)\right|\le |R|\left(\frac{1}{{(2p)}^{\alpha }(2p-1)}+\frac{1}{(2p){(2p-1)}^{\alpha }}\right)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{=}\mathrm{O}\left(\frac{1}{p^{\alpha +1}}\right)\text{.}$$

  La série de fonctions $\sum u_n$ converge normalement sur ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha ,R}$ et sa fonction somme $F$ est définie et continue sur ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha ,R}$. Ceci valant pour tous $\alpha$ et $R$ strictement positifs, on obtient que $F$ est définie et continue sur $\{z\in ℂ\left|\mathrm{Re}(z)\right\}$. Enfin, la fonction $s\mapsto 1-2^{1-s}$ étant continue et ne s’annulant pas sur $\mathrm{\Omega }$, on peut prolonger $\zeta$ par continuité sur $\mathrm{\Omega }$ en posant

  $$\zeta (s)=\frac{F(s)}{1-2^{1-s}}\text{.}$$

• (a)

  Supposons le domaine de définition $I$ non vide. Considérons $x\in I$. Puisque la suite $(u_n)$ tend vers l’infini, il existe un rang $N$ au delà duquel tous ses termes sont supérieurs à $1$. Pour tout réel $y\ge x$ et tout $n\ge N$

  $$u_n^y={\mathrm{e}}^{y\ln (u_n)}\ge {\mathrm{e}}^{x\ln (u_n)}=u_n^x\text{ donc }\frac{1}{u_n^y}\le \frac{1}{u_n^x}\text{.}$$

  Par comparaison de séries à termes positifs, on peut affirmer la convergence de la série définissant $f(y)$. Ainsi,

  $$x\in I⟹[x;+\mathrm{\infty }[\subset I\text{.}$$

  Lorsqu’il n’est pas vide, le domaine est donc un intervalle non majoré.

• (b)

  Les fonctions $f_n:x\mapsto 1/u_n^x$ sont continues sur $I$ et l’on a la convergence normale de la série de fonctions ${\sum }_{n\ge N}{f}_n$ sur tout intervalle $[a;+\mathrm{\infty }[$ inclus dans $I$ car

  $$\forall n\ge N,\forall x\in [a;+\mathrm{\infty }[,\left|\frac{1}{u_n^x}\right|=\frac{1}{u_n^x}\le \frac{1}{u_n^a}={\alpha }_n$$

  avec $\sum {\alpha }_n$ convergente.

  Par théorème, on peut affirmer que la fonction $f$ somme de $\sum f_n$ est continue.

• (c)
  • —

    Pour $u_n=\ln (n)$, $I=\mathrm{\varnothing }$.

  • —

    Pour $u_n=n$, $I=]1;+\mathrm{\infty }[$ (cf. séries de Riemann).

  • —

    Pour $u_n=n{\left(\ln (n)\right)}^2$, $I=[1;+\mathrm{\infty }[$ (cf. séries de Bertrand).