• (a)

  Posons $u_n(x)=1/n^x$ définie sur $]1;+\mathrm{\infty }[$.
  La série de fonctions $\sum u_n$ converge simplement sur $]1;+\mathrm{\infty }[$ ce qui assure la bonne définition de $\zeta (x)$.
  Plus précisément, pour $a>1$, on a

  $$\underset{x\in [a;+\mathrm{\infty }[}{sup}\left|u_n(x)\right|=u_n(a)\text{ avec }\sum u_n(a)\text{ convergente}$$

  et il y a donc convergence normale (et donc uniforme) de la série de fonctions $u_n$ sur $[a;+\mathrm{\infty }[$.
  Puisque

  $$u_n(x)\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\{\begin{array}{cc}1\hfill & \text{ si }n=1\hfill \\ 0\hfill & \text{ si }n\ge 2\hfill \end{array}$$

  on peut appliquer le théorème de la double limite et affirmer que $\zeta$ tend en $+\mathrm{\infty }$ vers la somme convergente des limites

  $$\zeta (x)\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}1\text{.}$$

• (b)

  Posons $v_n(x)=\zeta (n)x^n/n$. Pour $x\ne 0$, on a

  $$\left|\frac{v_{n+1}(x)}{v_n(x)}\right|\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}|x|\text{.}$$

  Par le critère de d’Alembert, la série converge pour $|x|<1$ et diverge pour $|x|>1$ (en fait le rayon de convergence de cette série entière vaut 1).
  Pour $x=1$, il y a divergence car

  $$\frac{\zeta (n)}{n}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\sim }\frac{1}{n}\text{.}$$

  Pour $x=-1$, il y a convergence en vertu du critère spécial des séries alternées. En effet, la suite $\left({(-1)}^n\zeta (n)/n\right)$ est alternée et décroît en valeur absolue vers 0 notamment car $\zeta (n+1)\le \zeta (n)$.

• (c)

  En tant que somme d’une série entière de rayon de convergence $1$, la fonction $F$ est assurément de classe ${𝒞}^1$ (et même ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$) sur $]-1;1[$.

  Les fonctions $v_n$ sont continues sur $[-1;0]$ et l’on vérifie que la série $\sum v_n(x)$ satisfait le critère spécial des séries alternées pour tout $x\in [-1;0]$. On peut alors majorer le reste de cette série par son premier terme

  $$\left|\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{v}_k(x)\right|\le \left|v_{n+1}(x)\right|\le \frac{\zeta (n)}{n}\text{.}$$

  Ce dernier majorant étant uniforme de limite nulle, on peut affirmer qu’il y a convergence uniforme de la série de fonctions $\sum v_n$ sur $[-1;0]$ et sa somme $F$ est donc continue.

• (d)

  Par dérivation de la somme d’une série entière, on obtient pour $x\in ]-1;1[$,

  $$F^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\zeta (n+1)x^n=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{p=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{p^{n+1}}\text{.}$$

  On peut permuter les deux sommes par sommabilité car il y a convergence des séries

  $$\sum _{p\ge 1}\left|\frac{x^n}{p^{n+1}}\right|\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}\sum _{n\ge 1}\sum _{p=1}^{+\mathrm{\infty }}\left|\frac{x^n}{p^{n+1}}\right|\text{.}$$

  On en déduit après sommation géométrique

  $$F^{\prime }(x)=\sum _{p=1}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{p^{n+1}}=\sum _{p=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x}{p(p-x)}=\sum _{p=1}^{+\mathrm{\infty }}\left(\frac{1}{p-x}-\frac{1}{p}\right)\text{.}$$

  La série de fonctions associée converge normalement sur tout segment de $]-1;1[$ et l’on peut donc intégrer terme à terme

  	$F(x)$	$=F(0)+{\displaystyle {\int }_0^x}{F}^{\prime }(t)dt={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \sum _{p=1}^{+\mathrm{\infty }}}\left({\displaystyle \frac{1}{p-t}}-{\displaystyle \frac{1}{p}}\right)\mathrm{d}t$
  		$={\displaystyle \sum _{p=1}^{+\mathrm{\infty }}}{\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{1}{p-t}}-{\displaystyle \frac{1}{p}}\mathrm{d}t={\displaystyle \sum _{p=1}^{+\mathrm{\infty }}}\ln \left({\displaystyle \frac{p}{p-x}}\right)-{\displaystyle \frac{x}{p}}\text{.}$

• (a)

  $\zeta$ est définie sur $]1;+\mathrm{\infty }[$ et $\eta$ est définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ (via le critère spécial des séries alternées)

• (b)

  $f_n:x\mapsto \frac{1}{n^x}$ est continue.
  Pour tout $a>1$,

  $$\left|\frac{1}{n^x}\right|\le \frac{1}{n^a}$$

  donc

  $${\parallel f_n\parallel }_{\mathrm{\infty },[a;+\mathrm{\infty }[}\le \frac{1}{n^a}$$

  or $\sum \frac{1}{n^a}$ converge donc $\sum f_n$ converge normalement sur $[a;+\mathrm{\infty }[$ puis converge uniformément sur tout segment inclus dans $]1;+\mathrm{\infty }[$. Par théorème, on obtient que la fonction $\zeta$ est continue.
  $g_n:x\mapsto \frac{{(-1)}^n}{n^x}$ est continue.
  Par le critère spécial des séries alternées

  $$\left|\sum _{n=N+1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{n-1}}{n^x}\right|\le \frac{1}{{(N+1)}^x}\text{.}$$

  Pour tout $a>0$,

  $$\left|\sum _{n=N+1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{n-1}}{n^x}\right|\le \frac{1}{{(N+1)}^x}\le \frac{1}{{(N+1)}^a}$$

  donc $\sum g_n$ converge uniformément sur $[a;+\mathrm{\infty }[$ puis converge uniformément sur tout segment inclus dans $]0;+\mathrm{\infty }[$. Par théorème on obtient que la fonction $\eta$ est continue sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

• (c)

  Pour $x>1$

  $$\eta (x)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^x}-2\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{{(2k)}^x}=\zeta (x)-2^{1-x}\zeta (x)\text{.}$$

Par le critère spécial des séries alternées, $\eta$ est bien définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

$f_n:x\mapsto \frac{{(-1)}^{n-1}}{n^x}$ est de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ et

$$f_n^{(p)}(x)={(-1)}^{n+p-1}\frac{{\left(\ln (n)\right)}^p}{n^x}\text{.}$$

La suite ${\left(f_n^{(p)}(x)\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est alternée. Étudions

$$\phi :t\mapsto \frac{{\left(\ln (t)\right)}^p}{t^x}\text{.}$$

On a

$${\phi }^{\prime }(t)=\frac{\ln {(t)}^{p-1}(p-x\ln (t))}{t^{x+1}}\text{.}$$

Pour $\ln (t)\ge p/x$, ${\phi }^{\prime }(t)\le 0$ donc $\phi$ décroissante sur $[{\mathrm{e}}^{p/x};+\mathrm{\infty }[$. Ainsi ${(f_n^{(p)}(x))}_{n\ge 1}$ est décroissante à partir du rang $\lfloor {\mathrm{e}}^{p/x}\rfloor +1$ et tend vers 0. On peut donc appliquer le critère spécial des séries alternées. Pour $a>0$ et pour $n\ge \lfloor {\mathrm{e}}^{p/a}\rfloor +1$ on a pour tout $x\in [a;+\mathrm{\infty }[$,

$$\left|R_n(x)\right|=\left|\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{n+p}{\left(\ln (n)\right)}^p}{n^x}\right|\le \frac{{(\ln (n+1))}^p}{{(n+1)}^x}\le \frac{{(\ln (n+1))}^p}{{(n+1)}^a}$$

donc

$${\parallel R_n\parallel }_{\mathrm{\infty },[a;+\mathrm{\infty }[}\le \frac{{(\ln (n+1))}^p}{{(n+1)}^a}\to 0$$

$\sum f_n^{(p)}$ converge uniformément sur $[a;+\mathrm{\infty }[$ (pour tout $a>0$) donc converge simplement sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ et converge uniformément sur tout segment de $]0;+\mathrm{\infty }[$.

Par théorème, on peut alors conclure que $\eta$ est de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

• (a)

  Soit $s=a+\mathrm{i}b$ avec $a,b\in ℝ$. Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$,

  $$\left|\frac{1}{n^s}\right|=\frac{1}{n^a}\text{.}$$

  Par conséquent, si $a>1$, la série $\sum 1/n^s$ converge absolument et donc converge.

• (b)

  Soit $s$ tel que $\mathrm{Re}(s)>1$. En développant

  $$\zeta (s)\left(1-2^{1-s}\right)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}-\sum _{P=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{2}{{(2p)}^s}\text{.}$$

  Par absolue convergence, on peut séparer la première somme en deux paquets, celui des termes d’indices pairs et celui des termes d’indices impairs. Il vient alors

  $$\zeta (s)\left(1-2^{1-s}\right)=\sum _{p=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{{(2p-1)}^s}-\sum _{p=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{{(2p)}^s}\text{.}$$

  (1)

  En regroupant ces sommes, on obtient

  $$\zeta (s)\left(1-2^{1-s}\right)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{n-1}}{n^s}$$

  avec sommabilité de la somme en second membre.

• (c)

  En reprenant, l’expression (1), étudions

  $$F(s)=\sum _{p=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{{(2p-1)}^s}-\sum _{p=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{{(2p)}^s}=\sum _{p=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_p(s)$$

  avec

  $$u_p(s)=\frac{{(2p)}^s-{(2p-1)}^s}{{(2p)}^s{(2p-1)}^s}$$

  définie pour $s\in ℂ$ tel que $\mathrm{Re}(s)>0$.

  Pour $s=a+\mathrm{i}b$ fixé, la fonction $f:t\mapsto t^s$ est de classe ${𝒞}^1$ sur $[2p-1;2p]$ et

  $$\left|f^{\prime }(t)\right|=\left|s{t}^{s-1}\right|=|s|t^{a-1}\le |s|\left({(2p-1)}^{a-1}+{(2p)}^{a-1}\right)\text{.}$$

  Par l’inégalité des accroissements finis

  $$\left|{(2p)}^s-{(2p-1)}^s\right|\le |s|\left({(2p-1)}^{a-1}+{(2p)}^{a-1}\right)$$

  donc

  	$\left|u_p(s)\right|$	$\le |s|{\displaystyle \frac{\left({(2p-1)}^{a-1}+{(2p)}^{a-1}\right)}{{(2p)}^a{(2p-1)}^a}}$
  		$\le |s|\left({\displaystyle \frac{1}{{(2p)}^a(2p-1)}}+{\displaystyle \frac{1}{(2p){(2p-1)}^a}}\right)\text{.}$

  Introduisons alors

  $${\mathrm{\Omega }}_{\alpha ,R}=\{z\in ℂ|\mathrm{Re}(z)\ge \alpha \text{ et }|z|\le R\}\text{ pour }\alpha ,R>0\text{.}$$

  Les fonctions $u_n$ sont continues sur ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha ,R}$ et pour tout $s\in {\mathrm{\Omega }}_{\alpha ,R}$

  $$\left|u_n(s)\right|\le |R|\left(\frac{1}{{(2p)}^{\alpha }(2p-1)}+\frac{1}{(2p){(2p-1)}^{\alpha }}\right)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{=}\mathrm{O}\left(\frac{1}{p^{\alpha +1}}\right)\text{.}$$

  La série de fonctions $\sum u_n$ converge normalement sur ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha ,R}$ et sa fonction somme $F$ est définie et continue sur ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha ,R}$. Ceci valant pour tous $\alpha$ et $R$ strictement positifs, on obtient que $F$ est définie et continue sur $\{z\in ℂ\left|\mathrm{Re}(z)\right\}$. Enfin, la fonction $s\mapsto 1-2^{1-s}$ étant continue et ne s’annulant pas sur $\mathrm{\Omega }$, on peut prolonger $\zeta$ par continuité sur $\mathrm{\Omega }$ en posant

  $$\zeta (s)=\frac{F(s)}{1-2^{1-s}}\text{.}$$

• (a)

  Supposons le domaine de définition $I$ non vide. Considérons $x\in I$. Puisque la suite $(u_n)$ tend vers l’infini, il existe un rang $N$ au delà duquel tous ses termes sont supérieurs à $1$. Pour tout réel $y\ge x$ et tout $n\ge N$

  $$u_n^y={\mathrm{e}}^{y\ln (u_n)}\ge {\mathrm{e}}^{x\ln (u_n)}=u_n^x\text{ donc }\frac{1}{u_n^y}\le \frac{1}{u_n^x}\text{.}$$

  Par comparaison de séries à termes positifs, on peut affirmer la convergence de la série définissant $f(y)$. Ainsi,

  $$x\in I⟹[x;+\mathrm{\infty }[\subset I\text{.}$$

  Lorsqu’il n’est pas vide, le domaine est donc un intervalle non majoré.

• (b)

  Les fonctions $f_n:x\mapsto 1/u_n^x$ sont continues sur $I$ et l’on a la convergence normale de la série de fonctions ${\sum }_{n\ge N}{f}_n$ sur tout intervalle $[a;+\mathrm{\infty }[$ inclus dans $I$ car

  $$\forall n\ge N,\forall x\in [a;+\mathrm{\infty }[,\left|\frac{1}{u_n^x}\right|=\frac{1}{u_n^x}\le \frac{1}{u_n^a}={\alpha }_n$$

  avec $\sum {\alpha }_n$ convergente.

  Par théorème, on peut affirmer que la fonction $f$ somme de $\sum f_n$ est continue.

• (c)
  • —

    Pour $u_n=\ln (n)$, $I=\mathrm{\varnothing }$.

  • —

    Pour $u_n=n$, $I=]1;+\mathrm{\infty }[$ (cf. séries de Riemann).

  • —

    Pour $u_n=n{\left(\ln (n)\right)}^2$, $I=[1;+\mathrm{\infty }[$ (cf. séries de Bertrand).