[<] Intégration terme à terme [>] Étude pratique de la fonction somme d'une série alternée

 
Exercice 1  4748  

Pour x, on pose

S(x)=n=1+1n2+x2.
  • (a)

    Montrer que S est définie et continue sur .

  • (b)

    Donner un équivalent simple de S en +.

 
Exercice 2  3797     ENSTIM (MP)Correction  

On étudie

f(x)=n=1+1n2+x2.
  • (a)

    Montrer que f est définie et de classe 𝒞1 sur .

  • (b)

    Donner, à l’aide d’une comparaison intégrale, un équivalent de f au voisinage de +.

  • (c)

    Donner un développement limité à l’ordre 2 de f en 0.

    On donne

    n=1+1n2=π26etn=1+1n4=π490.

Solution

  • (a)

    Posons

    un(x)=1n2+x2.

    Les fonctions un sont définies et de classe 𝒞1 sur .

    La série de fonctions un converge simplement sur car

    un(x)n+1n2.

    On a

    un(x)=-2x(n2+x2)2

    Soit a>0. Sur [-a;a],

    un2an4

    et la série de fonctions un converge normalement et donc uniformément sur tout segment de .

    On peut conclure que la fonction f est de classe 𝒞1.

  • (b)

    La fonction t1/(t2+x2) est décroissante donc

    1+dtt2+x2f(x)0+dtt2+x2.

    Or

    0+dtt2+x2=π2x et 1+dtt2+x2=π2x-1xarctan(1x)

    donc

    f(x)x+π2x.
  • (c)

    On peut écrire

    1n2+x2=1n2(11+x2/n2)=1n2(1-x2n2)+1n4x4n2+x2

    et, par convergence des sommes introduites,

    f(x)=n=1+1n2-n=1+x2n4+x4n=1+1n4(n2+x2).

    Or

    |n=1+1n4(n2+x2)|n=1+1n6<+

    donc

    f(x)=x0π26-π490x2+O(x4).
 
Exercice 3  901   Correction  

Pour x>0, on pose

S(x)=n=1+1n+n2x.
  • (a)

    Montrer que S est bien définie sur +*.

  • (b)

    Montrer que S est continue.

  • (c)

    Étudier la monotonie de S.

  • (d)

    Déterminer la limite en + de S puis un équivalent de S en +.

  • (e)

    Déterminer un équivalent à S en 0.

Solution

Posons

fn(x)=1n+n2x avec x>0.
  • (a)

    Soit x]0;+[. On a fn(x)1/n2x donc fn(x) converge absolument.
    On en déduit que la série fn converge simplement sur ]0;+[ et donc la fonction S=n=0+fn est bien définie.

  • (b)

    Les fn sont continues sur +*.
    Soit a>0,

    fn,[a;+[1n+n2a=O(1n2).

    La série de fonctions fn converge normalement sur [a;+[ donc converge uniformément sur tout segment de ]0;+[.
    On peut donc conclure que S est continue.

  • (c)

    Chaque fn est décroissante donc la fonction S l’est aussi.

  • (d)

    Par convergence normale sur [1;+[,

    limx+n=1+fn(x)=n=1+limx+fn(x)=0.

    On remarque

    xfn(x)x+1n2.

    Posons gn:xxn(1+nx). La fonction gn croît de 0 à 1/n2 sur + donc

    gn,[0;+[=1n2.

    La série de fonctions gn converge normalement sur + donc

    limx+n=1+gn(x)=n=1+limx+gn(x)=n=1+1n2=π26.

    Par suite, xS(x)x+π26 puis

    S(x)x+π26x.
  • (e)

    La fonction t1t(1+tx) est décroissante donc par comparaison avec une intégrale

    1+dtt(1+tx)n=1+un(x)11+x+1+dtt(1+tx).

    Or

    1+dtt(1+tx)=1+(1t-x1+tx)dt=[ln(t1+tx)]1+=ln(1+x)-ln(x)

    donc

    S(x)x0-ln(x).
 
Exercice 4  5075   Correction  

Pour x réel, on pose

f(x)=n=1+x2n+1n2+1.
  • (a)

    Préciser le domaine de définition de f.

  • (b)

    La fonction f est-elle continue sur son domaine de définition?

  • (c)

    La fonction f est-elle dérivable sur son domaine de définition?

Solution

  • (a)

    Méthode: La fonction f est la somme d’une série entière: on détermine son intervalle de définition en commençant par un calcul de rayon de convergence.

    Pour x0, posons un=x2n+1n2+10. On a

    |un+1un|=n2+1(n+1)2+1x2x+x2.

    Si |x|<1, la série numérique un converge absolument et, si |x|>1, elle diverge grossièrement. La série entière définissant f est donc de rayon de convergence égal à 1.

    Méthode: La somme d’une série entière de rayon de convergence R+* est assurément définie sur ]-R;R[ et l’est peut-être aussi en R et/ou en -R.

    La fonction f est définie sur un intervalle contenant ]-1;1[ et inclus dans [-1;1]. Pour x=1 ou x=-1, la série définissant f(x) converge absolument et donc converge car

    |x2n+1n2+1|=1n2+1n+1n2et1n2 converge.

    Finalement, la fonction f est définie sur [-1;1]. Notons qu’il s’agit d’une fonction impaire.

  • (b)

    Puisque f est la somme d’une série entière de rayon de convergence R=1, on est assuré de sa continuité sur ]-1;1[. Il reste à étudier la continuité de f en 1 et en -1.

    Méthode: Il ne figure pas dans le cours de théorème assurant la continuité d’une fonction somme de série entière aux points correspondant au rayon de convergence. Pour obtenir cette continuité, on revient à la théorie des séries de fonctions et l’on raisonne par convergence uniforme.

    Posons un(x)=x2n+1n2+1 pour x[-1;1]. On observe

    |x2n+1n2+1|1n2+1 avec 1n2+1 convergente.

    La série de fonctions un converge alors normalement sur [-1;1] et donc uniformément sur cet intervalle. Au surplus, les fonctions un sont continues et la fonction f est donc continue sur [-1;1].

  • (c)

    Puisque f est la somme d’une série entière de rayon de convergence R=1, on sait qu’elle est dérivable (et même de classe 𝒞) sur ]-1;1[ avec11 1 Lors de cette dérivation, la somme obtenue commence au rang n=0 et non n=1 car, dans l’expression de f(x), il n’y a pas de terme constant à devoir disparaître par dérivation.

    f(x)=n=0+2n+1n2+1x2npour tout x]-1;1[.

    Il reste à étudier la dérivabilité de f en 1 et -1.

    Méthode: On montre que f(x) tend vers l’infini quand x tend vers 1 par valeurs inférieures en constatant que c’est une fonction monotone non bornée.

    Par somme de fonctions croissantes sur [0;1[, la fonction f est croissante. Par l’absurde, si cette fonction est majorée par un réel M alors, pour tout N* et tout x[0;1[,

    n=0N2n+1n2+1x2nn=0+2n+1n2+1x2n0M.

    En passant à la limite quand x tend vers 1 par valeurs inférieures, on obtient

    n=0N2n+1n2+1Mpour tout N*.

    La série 2n+1n2+1 est alors convergente car il s’agit d’une série à termes positifs aux sommes partielles majorées. Or cela est absurde puisque

    2n+1n2+1n+2n0et2n diverge.

    Finalement, la fonction f est croissante et non majorée sur [0;1[, elle admet donc une limite égale à + en 1 et l’on en déduit que f n’est pas dérivable en 1 mais y présente une tangente verticale. Par imparité, f n’est pas non plus dérivable en -1.

 
Exercice 5  2529    CCP (MP)Correction  

Montrer que

f(x)=n=1+1n2arctan(nx)

est continue sur et de classe 𝒞1 sur +* et -*.

Solution

Posons

fn(x)=1n2arctan(nx).

Chaque fonction fn est continue et fn=π2n2 est terme général d’une série convergente.

Par convergence normale, on peut affirmer que f est définie et continue sur .

Chaque fn est de classe 𝒞1 et

fn(x)=1n(1+(nx)2).

Pour a>0, sur [a;+[ ou ]-;-a],

fn1n(1+(na)2)

ce qui donne la convergence normale de la série des dérivées.

Ainsi, par convergence uniforme sur tout segment, on obtient que f est de classe 𝒞1 sur chaque intervalle de *.

 
Exercice 6  3203     MINES (MP)Correction  
  • (a)

    Étudier le domaine de définition et la continuité de

    S:xn=1+xn(1+n2x2).
  • (b)

    Étudier la dérivabilité de S sur son domaine de définition.

Solution

  • (a)

    Posons

    fn:xxn(1+n2x2).

    Sachant

    2|nx|1+n2x2

    on a

    |fn(x)|12n2.

    On en déduit que la série de fonctions fn converge normalement sur . Les fonctions fn étant continue, la somme S est définie et continue sur .

  • (b)

    Les fonctions fn sont de classe 𝒞1 et

    fn(x)=1-n2x2n(1+n2x2)2.

    Soit a>0. Pour |x|a,

    |fn(x)|1+n2x2n(1+n2x2)2=1n(1+n2x2)1n(1+n2a2).

    On en déduit que la série de fonctions fn converge normalement sur tout segment de *.

    Par théorème, la somme S est donc une fonction de classe 𝒞1 sur *.

    Montrons que la fonction S n’est pas dérivable en 0.

    1x(S(x)-S(0))=n=1+1n(1+n2x2).

    Par comparaison avec une intégrale

    1x(S(x)-S(0))1+dtt(1+t2x2).

    Par le changement de variable u=tx

    1x(S(x)-S(0))x+dtu(1+u2)x0++

    car la fonction positive u1/u(1+u2) n’est pas intégrable sur ]0;1].

 
Exercice 7  4745   

Soit

S(x)=n=0+e-xn.
  • (a)

    Quel est le domaine de définition de S?

  • (b)

    Étudier la continuité de S sur son domaine de définition.

  • (c)

    Vérifier que la fonction S est décroissante.

  • (d)

    Déterminer la limite de S en +.

  • (e)

    Déterminer un équivalent simple de S en 0+.

 
Exercice 8  905   Correction  

Soit α>0. On étudie la fonction f donnée par

f(x)=n=0fn(x) avec fn(x)=e-nαx.
  • (a)

    Préciser le domaine de définition de f.

  • (b)

    Étudier la continuité de f.

  • (c)

    Étudier la limite de f en +.

Solution

  • (a)

    Si x0, la série numérique fn(x) diverge grossièrement.

    Si x>0,

    n2fn(x)=e2ln(n)-xnαn+0

    et fn(x) est absolument convergente.

    Ainsi, fn converge simplement sur ]0;+[.

    La fonction f est définie sur ]0;+[.

  • (b)

    Les fonctions fn sont continues.

    Pour a>0,

    fn,[a;+[=fn(a)

    et fn(a) converge donc fn converge normalement sur [a;+[. Par convergence uniforme sur tout segment, on peut affirmer que f est continue.

  • (c)

    Par convergence uniforme sur [a;+[, on peut intervertir limite en + et somme infinie. Ainsi,

    limx+f(x)=n=0+limx+fn(x)=1.
 
Exercice 9  5288     ENSTIM (MP)Correction  

Pour x réel convenable, on pose

f(x)=n=1+e-xnn3/2.
  • (a)

    Donner le domaine de définition 𝒟f de f.

  • (b)

    Montrer que f est continue sur 𝒟f.

  • (c)

    Montrer que f est de classe 𝒞 sur l’intérieur de 𝒟f.

  • (d)

    Trouver la limite de f en +.

  • (e)

    Déterminer un équivalent de f en +.

Solution

On pose

un(x)=e-xnn3/2 pour x et n*.
  • (a)

    Pour x0, la série converge par comparaison à une série de Riemann. Pour x<0, la série diverge grossièrement. On obtient 𝒟f=[0;+[.

  • (b)

    Pour tout x[0;+[ et tout n*,

    |un(x)|1n3/2et1n3/2 converge.

    Par convergence normale d’une série de fonctions continues, la fonction f est continue.

  • (c)

    Les fonctions sont de classe 𝒞 avec

    un(k)(x)=(-1)kn(k-3)/2e-xnpour tout k.

    Soit [a;b]]0;+[. Pour tout x[a;b],

    |un(k)(x)|n(k-3)/2e-an=n+o(1n2).

    Par convergence normale des séries des dérivées à tout ordre, on peut affirmer que f est de classe 𝒞 sur ]0;+[.

  • (d)

    Par convergence uniforme sur [0;+[, on peut échanger somme et limite

    limx+f(x)=0.
  • (e)

    Le premier terme de la somme est e-x et les suivants sont notoirement négligeables devant celui-ci. Par convergence normale sur [1;+[, on montre

    exf(x)=n=1+e-x(n-1)n3/2x+1+0+=1

    et donc

    f(x)x+e-x.
 
Exercice 10  2836     MINES (MP)Correction  

Soit α un réel. Pour tout entier n>0 et tout réel x, on pose

un(x)=nαxe-nxn2+1.

On note I le domaine de définition de

S:xn=0un(x).
  • (a)

    Déterminer I.

  • (b)

    Montrer que S est continue sur +*.

  • (c)

    A-t-on convergence normale sur +?

  • (d)

    On suppose α2. Montrer que

    k=n+1+uk(1n)

    ne tend pas vers 0 quand n tend vers +.
    La convergence de la série de fonctions un est-elle uniforme sur I?

  • (e)

    Étudier la continuité de S sur I.

Solution

  • (a)

    Pour x<0, un(x)n+- donc un(x) diverge grossièrement.

    Pour x=0, un(x)=0 donc un(0) converge

    Pour x>0, un(x)=o(1/n2) par croissance comparée et donc un(x) converge absolument.

    On conclut I=+

  • (b)

    Pour [a;b]+*,

    un,[a;b]=supx[a;b]|un(x)|nαbe-nan2+1

    donc un est une série de fonctions continues convergeant normalement sur tout segment de +*. Sa somme est alors continue sur +*.

  • (c)

    Après étude des variations de la fonction,

    un,+=supx+|un(x)|=un(1/n)1n3-α.

    Il y a convergence normale si, et seulement si, α<2.

  • (d)

    On peut écrire

    k=n+1uk(1/n)=1nk=n+1kαe-k/nk2+11nk=n+1k2k2+1e-k/n12nk=n+1e-k/n.

    Or, par sommation géométrique,

    12nk=n+1e-k/n=12ne-(n+1)/n1-e-1/nn+12e

    donc k=n+1uk(1/n) ne peut tendre vers 0 quand n+.

    S’il y avait convergence uniforme sur +,

    0k=n+1uk(1/n)supx+|k=n+1uk(x)|n+0

    C’est absurde.

  • (e)

    Si S est continue en 0 alors par sommation de termes positifs

    0k=n+1uk(1/n)S(1/n)n+S(0)=0

    Cela est encore à exclure.

 
Exercice 11  4070   

Pour n et x+, on pose

un(x)=arctan(n+x)-arctan(n).
  • (a)

    Étudier l’existence et la continuité de la fonction S définie sur + par la relation

    S(x)=n=0+un(x).
  • (b)

    Déterminer la limite de S en +.

  • (c)

    La série un converge-t-elle uniformément au voisinage de +?

 
Exercice 12  3427   Correction  

Pour n et x+, on pose

un(x)=arctan(n+x)-arctan(n).
  • (a)

    Étudier l’existence et la continuité de la fonction S définie sur + par la relation

    S(x)=n=0+un(x).
  • (b)

    Déterminer la limite de S en +.

Solution

  • (a)

    En vertu du théorème des accroissements finis

    |un(x)|(n+x-n)sup[n;n+x]|(arctan)|=n+x-n1+n

    donc

    |un(x)|x(1+n)(n+n+x)x2n(n+1)=n+O(1n3/2).

    On en déduit que la série de fonctions un converge simplement et donc la fonction S est bien définie.

    Les fonctions un sont continue et pour tout a+,

    x[0;a],|un(x)|a2n(n+1).

    On peut donc affirmer la convergence uniforme sur tout segment de la série un ce qui assure la continuité de S.

  • (b)

    Montrons que S tend vers + en +.
    Remarquons que par le théorème des accroissements finis

    un(n)=arctan(2n)-arctan(n)2n-n1+2nn+2-12n

    et il y a donc divergence vers + de la série un(n).
    Soit A+. Il existe un rang N tel que

    n=0Nun(n)A.

    Pour xN,

    S(x)n=0Nun(x)n=0Nun(N)n=0Nun(n)A.

    On peut donc affirmer

    S(x)x++.
 
Exercice 13  915   Correction  

Pour x0, on pose

S(x)=n=1+xn1+x2n.
  • (a)

    Pour quelles valeurs de x dans +, la somme définissant S(x) est-elle définie?

  • (b)

    Former une relation entre S(x) et S(1/x) valable pour x0.

  • (c)

    Étudier la continuité de S sur [0;1[ puis sur ]1;+[.

  • (d)

    Dresser le tableau de variation de S.

Solution

  • (a)

    Pour n*, introduisons

    fn:xxn1+x2n.

    Pour x=0, fn(x)=0 donc la somme S(0) est bien définie.

    Pour x]0;1[,

    |fn(x)|n+xn1=xn avec x[0;1[.

    Par équivalence à une série géométrique, la série définissant S(x) converge absolument.

    Pour x=1, fn(x)=1/2 et il y a divergence grossière de la série.

    Pour x]1;+[,

    |fn(x)|n+xnx2n=(1x)n avec 1x[0;1[.

    Finalement, S est définie sur [0;1[]1;+[ par convergence simple de fn sur ce domaine.

  • (b)

    Pour x]0;1[]1;+[,

    S(1/x)=n=1+1/xn1+1/x2n=n=1+xn1+x2n=S(x).
  • (c)

    Soit 0<a<1. Sur [0;a],

    fn,[0;a]anetn=1+an<1

    donc n1fn converge normalement sur [0;a] et donc converge uniformément sur tout segment de [0;1[. Par théorème, S est continue sur [0;1[.

    Par composition de fonctions continues, S:xS(x)=S(1/x) est aussi continue sur ]1;+[.

  • (d)

    La fonction fn est dérivable et

    fn(x)=nxn-1(1+x2n)-2nx3n-1(1+x2n)2=nxn-1(1-x2n)(1+x2n)2.

    Chaque fn est croissante sur [0;1[ et décroissante sur ]1;+[.

    Par sommation de monotonie, la fonction S est croissante sur [0;1[ et décroissante sur ]1;+[.

    S(0)=0 et

    S(x)n=1+xn2=2x1-xx1-+.

    Puisque S(x)=S(1/x), on obtient par composition de limites,

    limx1+S(x)=+etlimx+S(x)=0.
 
Exercice 14  2837      MINES (MP)Correction  

On pose

S(x)=n=0+xn1+xn.
  • (a)

    Étudier le domaine de définition, la continuité et la dérivabilité de S.

  • (b)

    Donner un équivalent de S en 0 et en 1-.

Solution

  • (a)

    Pour |x|1, la série est grossièrement divergente.

    Pour |x|<1,

    xn1+xnn+xn

    et la série est absolument convergente.

    La fonction S est définie sur ]-1;1[.

    Posons un(x)=xn1+xn.

    La série un converge simplement et les fonctions un sont de classe 𝒞1 avec

    un(x)=nxn-1(1+xn)2

    Soit a[0;1[.

    un,[-a;a]nan-11-ann+nan-1

    ce qui assure la convergence normale de un sur tout segment de ]-1;1[.

    Par théorème, la fonction S est de classe 𝒞1 (et donc a fortiori dérivable et continue).

  • (b)
    S(0)=12 donc S(x)x012.

    Pour x[0;1[,

    S(x)=12+n=1+(p=0+(-1)pxn(p+1)).

    Puisque p0|(-1)pxn(p+1)| converge et n1p=0+|(-1)pxn(p+1)| aussi, on peut permuter les deux sommes et affirmer

    S(x)=12+p=0+(-1)pxp+11-xp+1.

    On a alors

    (1-x)S(x)=1-x2+p=0+(-1)pup(x)

    avec

    up(x)=xp+11-x1-xp+1

    pour x[0;1[.

    La fonction up est continue sur [0;1[ et se prolonge par continuité en 1 en posant up(1)=1/(p+1).

    Le critère spécial des séries alternées s’applique à la série (-1)pup(x) et donc

    k=p+1(-1)kuk(x)up+1(x)

    Ue étude de variation permet d’affirmer up+1(x)1p+2. Ainsi, la série un converge uniformément sur [0;1] et donc sa somme est continue en 1. Cela permet d’affirmer

    (1-x)S(x)x1-p=0+(-1)pp+1=ln(2)

    et, finalement,

    S(x)x1-ln(2)1-x.
 
Exercice 15  2971      X (MP)Correction  

Soient des suites réelles (an) et (xn) avec an>0 pour tout n.

On suppose que la série de terme général an(1+|xn|) converge et l’on considère la fonction f: définie par

f(x)=n=0an|x-xn|.

Étudier la continuité et la dérivabilité de f.

Solution

Puisque an>0 et an(1+|xn|) converge, les séries an et anxn sont absolument convergentes. Posons fn(x)=an|x-xn| définie sur .

Comme

|an|x-xn|||an||x|+|anxn|pour tout n

la série des fonctions fn converge simplement sur .

Les fonctions fn sont continues et pour tout M>0

sup[-M;M]|fn|Man+an|xn|.

Par convergence normale d’une série de fonctions continues, on peut affirmer que la somme f est continue sur [-M;M]. Cela valant pour tout M>0, f est continue sur .

Soit ]α;β[ tel que xn]α;β[ pour tout n.
Les fonctions fn sont de classe 𝒞1 sur [α;β] et fn(x)=εnan avec |εn|=1. Par convergence normale de la série des dérivées sur ]α;β[, on peut affirmer que f est de classe 𝒞1 sur tout intervalle ouvert ]a;b[ vérifiant

n,xn]a;b[.

Soit a tel qu’il existe n vérifiant xn=a.
En considérant A={n|xn=a}, on peut écrire par absolue convergence

f(x)=nAan|x-a|+nAan|x-xn|=α|x-a|+g(x)

avec α>0.

Puisque la série an converge, pour N assez grand, k=N+1+anα2. On peut alors écrire

f(x)=α|x-a|+nA,nN+1an|x-xn|+nA,nNan|x-xn|.

La fonction xnA,nNan|x-xn| est dérivable au voisinage de a.

Cependant, la fonction

φ:xα|x-a|+nA,nN+1an|x-xn|

n’est quant à elle pas dérivable en a. En effet, pour h>0,

1h(φ(a+h)-φ(a))α-α2α2

alors que pour h<0,

1h(φ(a+h)-φ(a))-α+α2=-α2.

Ainsi, les éventuels nombres dérivés à droite et à gauche ne peuvent pas coïncider.

On conclut que f n’est pas dérivable en a.

 
Exercice 16  2835     MINES (MP)Correction  

Pour x>0 et n*, on pose

fn(x)=nxn!k=0n(x+k).
  • (a)

    Montrer l’existence de Γ(x)=limn+fn(x).

  • (b)

    Montrer

    ln(Γ(x))=-ln(x)-γx+n=1+(xn-ln(1+xn)).
  • (c)

    Montrer que Γ est une fonction de classe 𝒞1.

Solution

  • (a)

    Pour x>0,

    ln(fn+1(x))-ln(fn(x))=xln(1+1n)+ln(n+1)-ln(x+n+1)=n+O(1n2).

    La série ln(fn+1(x))-ln(fn(x)) converge absolument et la suite (ln(fn(x))) converge donc puis (fn(x)) converge vers un réel strictement positif.

  • (b)
    ln(Γ(x))=limn+(xln(n)+k=1nln(k)-k=0nln(x+k))

    avec

    xln(n)+k=1nln(k)-k=0nln(x+k)=xln(n)-ln(x)-k=1nln(1+xk).

    Or la série (xn-ln(1+xn)) est absolument convergente car de terme général en O(1/n2) et

    k=1n(xk-ln(1+xk))=n+xln(n)+γx+o(1)-k=1nln(1+xk)

    donc

    ln(Γ(x))=-ln(x)-γx+n=1+(xn-ln(1+xn)).
  • (c)

    Pour x>0 et n1, posons

    gn(x)=xn-ln(1+xn).

    La fonction gn est de classe 𝒞1, gn converge simplement et gn(x)=xn(n+x) ce qui permet d’affirmer gn converge normalement sur tout segment [a;b]+*. On en déduit que la fonction Γ est de classe 𝒞1.

 
Exercice 17  4186      CENTRALE (MP)Correction  

Pour n*, on définit la fonction un sur +* par

un(x)=xln(1+1n)-ln(1+xn).
  • (a)

    Montrer que un(x) converge si x>0.

    Montrer que f:x-ln(x)+n=1+un(x) est de classe 𝒞1 sur +*.

  • (b)

    Montrer que f est l’unique fonction de classe 𝒞1 sur +* telle que

    {x+*,f(x+1)-f(x)=ln(x)f est convexef(1)=0.
  • (c)

    Montrer que, pour x>0, on a

    0+tx-1e-tdt=limn+nxn!x(x+1)(x+n).

Solution

  • (a)

    Pour x>0, un(x)=O(1/n2). La série un(x) converge absolument.

    La série de fonctions un converge simplement sur +*, les fonctions un sont de classe 𝒞1 avec

    un(x)=ln(1+1n)-1n+x.

    Soit [a;b]+*. Par monotonie, pour tout x[a;b]

    |un(x)||un(a)|+|un(b)|=O(1n2).

    Il y a donc convergence normale de un sur tout segment de +*. La fonction somme de un est donc de classe 𝒞1 et la fonction f l’est aussi par opérations.

  • (b)

    La fonction est de classe 𝒞1. Il est immédiat que f(1) est nul et, pour tout x>0, on a après télescopage

    f(x+1)-f(x)=-1x+1+1x+n=1+(1n+x-1n+x+1)=1x

    et

    f(2)-f(1) =f(2)=-ln(2)+n=1+2ln(1+1n)-ln(1+2n)
    =-ln(2)+n=1+(2ln(n+1)-ln(n)-ln(n+2))=0.

    Ainsi, on peut affirmer f(x+1)-f(x)=ln(x). Enfin, f est convexe en tant que somme de fonctions qui le sont.

    Inversement, soit g une autre fonction vérifiant les conditions proposées. Étudions la fonction h=f-g.

    La fonction h est de classe 𝒞1, 1-périodique et prend la valeur 0 en 1. Nous allons montrer qu’elle est constante en observant que sa dérivée est nulle. Pour x>0, on a par croissance des dérivées de f et de g

    h(x)=f(x)-g(x)f(x+1)-g(x)=1x+h(x)

    et parallèlement

    h(x)h(x)-1x.

    La fonction h est 1-périodique, les valeurs h(x) sont donc constantes égales à C.

    En passant à la limite quand x+ l’encadrement

    C-1xh(x)C+1x

    on obtient que la fonction h présente une limite en +. Puisque h est périodique cette fonction est constante et, puisque la fonction h est périodique, la fonction h est constante égale à 0.

  • (c)

    On reconnaît en premier membre la fonction Γ «  connue  » indéfiniment dérivable avec

    Γ(k)(x)=0+(ln(t))ktx-1e-tdt.

    On sait aussi Γ>0, Γ(1)=1 et Γ(x+1)=xΓ(x).

    Considérons alors f(x)=ln(Γ(x)).

    La fonction f est de classe 𝒞, f(x+1)-f(x)=ln(x), f(1)=0 et f convexe car l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne

    (Γ(x))2Γ(x)Γ′′(x)

    ce qui conduit à f′′0.

    On peut donc affirmer

    Γ(x)=ef(x)=limn+1xk=1n(1+1k)x1+xk=limn+n!(n+1)xx(x+1)(x+n)

    et l’on peut conclure sachant n+1 équivalent à n.

[<] Intégration terme à terme [>] Étude pratique de la fonction somme d'une série alternée



Édité le 08-11-2019

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