[<] Fonctions zêta et êta [>] Suites et séries de fonctions vectorielles

 
Exercice 1  919   Correction  

Par une interversion série-limite, montrer que pour tout z

(1+zp)pp+exp(z).

Solution

Par la formule du binôme de Newton,

(1+zp)p=k=0p(pk)zkpk.

Considérons fk:[0;+[ définies par

fk(x)={x(x-1)(x-k+1)k!zkxk si xk0 sinon.

En tout p,

k=0+fk(p)=k=0p(pk)zkpk=(1+zp)p.

La série de fonctions kfk converge simplement vers x(1+zx)x en tout p. De plus, puisque |fk(x)||z|kk!, la convergence est normale sur +. Pour k fixé,

fk(x)=x(x-1)(x-k+1)xkzkk!x+zkk!.

Par le théorème de la double limite,

limn+k=0+fk(n)=k=0+zkk!.

c’est-à-dire

limn+(1+zn)n=ez.
 
Exercice 2  918    Correction  

Montrer que pour tout α>0,

k=0n(1-kn)nαn+eαeα-1.

On pourra exploiter le théorème d’interversion limite/somme.

Solution

Posons

fk(n)={(1-kn)nα si kn0 sinon.

Pour k fixé,

fk(n)n+exp(-kα).

Pour kn,

|fk(n)|=exp(nαln(1-kn))e-kα

et cette majoration vaut aussi pour k>n.

Ainsi,

fk,e-kα

et la série fk converge donc normalement sur A=.

Par interversion limite/somme infinie,

limn+k=0+fk(n)=k=0+limn+fk(n)=k=0+e-kα.

Ainsi,

limn+k=0n(1-kn)nα=eαeα-1.
 
Exercice 3  917    

Déterminer la limite de

un=k=0n(kn)n.

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Édité le 08-11-2019

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