[<] Fonctions zêta et êta [>] Suites et séries de fonctions vectorielles
Par une interversion série-limite, montrer que pour tout
Solution
Par la formule du binôme de Newton,
Considérons définies par
En tout ,
La série de fonctions converge simplement vers en tout . De plus, puisque , la convergence est normale sur . Pour fixé,
Par le théorème de la double limite,
c’est-à-dire
Montrer que pour tout ,
On pourra exploiter le théorème d’interversion limite/somme.
Solution
Posons
Pour fixé,
Pour ,
et cette majoration vaut aussi pour .
Ainsi,
et la série converge donc normalement sur .
Par interversion limite/somme infinie,
Ainsi,
Déterminer la limite de
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Édité le 29-08-2023
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