[>] Étude pratique de la convergence d'une suite de fonctions

 
Exercice 1  868  Correction  

Établir que la limite simple d’une suite de fonctions de I vers convexes est convexe.

Solution

Supposons que la suite (fn) converge simplement vers f sur I avec chaque fn convexe. Pour tous a,bI et λ[0;1],

n,fn(λa+(1-λ)b)λfn(a)+(1-λ)fn(b).

À la limite quand n+, on obtient

f(λa+(1-λ)b)λf(a)+(1-λ)f(b).

Cela fournit la convexité de f.

 
Exercice 2  879  

Soit (fn) une suite de fonctions de [a;b] vers convergeant uniformément vers une fonction f:[a;b] continue.

Montrer que, si (xn) désigne une suite d’éléments de [a;b] convergeant vers x[a;b], alors

fn(xn)n+f(x).
 
Exercice 3  884  Correction  

Soient (fn) et (gn) deux suites de fonctions convergeant uniformément vers des fonctions f et g supposées bornées.
Montrer que la suite de fonctions (fngn) converge uniformément vers fg.

Solution

Pour n assez grand, on peut introduire fn-f et gn-g. On peut ensuite écrire

fngn-fg =fn(gn-g)+(fn-f)g
fngn-g+gfn-f.

Or fnf et donc la suite (fn) est bornée car convergente. Par opérations sur les limites, on obtient alors

fngn-fgfngn-g+gfn-fn+0

car

fn-fn+0etgn-gn+0.
 
Exercice 4  885   Correction  

Soient (fn) une suite de fonctions convergeant uniformément vers une fonction f et g une fonction uniformément continue.
Montrer que la suite de fonctions (gfn) converge uniformément.

Solution

Par uniforme continuité, on sait

ε>0,α>0,|x-y|α|g(x)-g(y)|ε.

Soient ε>0 et α tel qu’au-dessus. Pour n assez grand,

xI,|fn(x)-f(x)|α

et donc

xI,|g(fn(x))-g(f(x))|ε.

Ainsi, il y a convergence uniforme de la suite de fonctions (gfn) vers gf.

 
Exercice 5  886   

Montrer que la limite uniforme d’une suite de fonctions uniformément continues définies sur un intervalle I de est elle-même une fonction uniformément continue.

 
Exercice 6  878   Correction  

Soit (fn) une suite de fonctions réelles continues et définies sur [a;b]. On suppose que fn converge uniformément vers une fonction f.
Montrer

inf[a;b]fninf[a;b]f.

Solution

Posons

mn=inft[a;b]fn(t).

Puisque la fonction fn est continue sur le segment [a;b], cet infimum est une valeur prise par fn et donc il existe tn[a;b] tel que

mn=fn(tn).

Montrons que mnm avec

m=inft[a;b]f.

La fonction f est continue car limite uniforme d’une suite de fonctions continues et donc il existe t[a;b] pour lequel

m=f(t).

Pour tout ε>0, on a pour n assez grand,

fn-fε

et donc

mn=fn(tn)f(tn)-εm-ε

et

m=f(t)fn(t)-εmn-ε.

Ainsi,

|mn-m|ε.

On peut alors affirmer mnm.

 
Exercice 7  894   

Soit (Pn) une suite de fonctions polynomiales convergeant uniformément vers une fonction f sur .

  • (a)

    Justifier qu’il existe un entier naturel N tel que, pour tout nN et tout réel x,

    |Pn(x)-PN(x)|1.

    Qu’en déduire quant aux fonctions polynômes Pn-PN lorsque nN?

  • (b)

    Conclure que f est une fonction polynomiale.

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Édité le 08-11-2019

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