Exercice 1 868 Correction

Établir que la limite simple d’une suite de fonctions de $I$ vers $ℝ$ convexes est convexe.

Solution

Supposons que la suite $(f_{n})$ converge simplement vers $f$ sur $I$ avec chaque $f_{n}$ convexe. Pour tous $a, b \in I$ et $λ \in [0; 1]$ ,

\forall n \in ℕ, f_{n} (λ a + (1 - λ) b) \leq λ f_{n} (a) + (1 - λ) f_{n} (b) .

À la limite quand $n \to + \infty$ , on obtient

f (λ a + (1 - λ) b) \leq λ f (a) + (1 - λ) f (b) .

Cela fournit la convexité de $f$ .

Exercice 2 879

Soit $(f_{n})$ une suite de fonctions de $[a; b]$ vers $ℝ$ convergeant uniformément vers une fonction $f : [a; b] \to ℝ$ continue.

Montrer que, si $(x_{n})$ désigne une suite d’éléments de $[a; b]$ convergeant vers $x \in [a; b]$ , alors

f_{n} (x_{n}) \to_{n \to + \infty}^{} f (x) .

Exercice 3 884 Correction

Soient $(f_{n})$ et $(g_{n})$ deux suites de fonctions convergeant uniformément vers des fonctions $f$ et $g$ supposées bornées.
Montrer que la suite de fonctions $(f_{n} g_{n})$ converge uniformément vers $f g$ .

Solution

Pour $n$ assez grand, on peut introduire ${∥ f_{n} - f ∥}_{\infty}$ et $∥ g_{n} - g ∥$ . On peut ensuite écrire

	${∥ f_{n} g_{n} - f g ∥}_{\infty}$	$= {∥ f_{n} (g_{n} - g) + (f_{n} - f) g ∥}_{\infty}$
		$\leq {∥ f_{n} ∥}_{\infty} {∥ g_{n} - g ∥}_{\infty} + {∥ g ∥}_{\infty} {∥ f_{n} - f ∥}_{\infty} .$

Or ${∥ f_{n} ∥}_{\infty} \to {∥ f ∥}_{\infty}$ et donc la suite $({∥ f_{n} ∥}_{\infty})$ est bornée car convergente. Par opérations sur les limites, on obtient alors

{∥ f_{n} g_{n} - f g ∥}_{\infty} \leq {∥ f_{n} ∥}_{\infty} {∥ g_{n} - g ∥}_{\infty} + {∥ g ∥}_{\infty} {∥ f_{n} - f ∥}_{\infty} \to_{n \to + \infty}^{} 0

car

{∥ f_{n} - f ∥}_{\infty} \to_{n \to + \infty}^{} 0 et {∥ g_{n} - g ∥}_{\infty} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Exercice 4 885 Correction

Soient $(f_{n})$ une suite de fonctions convergeant uniformément vers une fonction $f$ et $g$ une fonction uniformément continue.
Montrer que la suite de fonctions $(g \circ f_{n})$ converge uniformément.

Solution

Par uniforme continuité, on sait

\forall ε > 0, \exists α > 0, | x - y | \leq α ⟹ | g (x) - g (y) | \leq ε .

Soient $ε > 0$ et $α$ tel qu’au-dessus. Pour $n$ assez grand,

\forall x \in I, | f_{n} (x) - f (x) | \leq α

et donc

\forall x \in I, | g (f_{n} (x)) - g (f (x)) | \leq ε .

Ainsi, il y a convergence uniforme de la suite de fonctions $(g \circ f_{n})$ vers $g \circ f$ .

Exercice 5 886

Montrer que la limite uniforme d’une suite de fonctions uniformément continues définies sur un intervalle $I$ de $ℝ$ est elle-même une fonction uniformément continue.

Exercice 6 878 Correction

Soit $(f_{n})$ une suite de fonctions réelles continues et définies sur $[a; b]$ . On suppose que $f_{n}$ converge uniformément vers une fonction $f$ .
Montrer

inf_{[a; b]} f_{n} \to inf_{[a; b]} f .

Solution

Posons

m_{n} = inf_{t \in [a; b]} f_{n} (t) .

Puisque la fonction $f_{n}$ est continue sur le segment $[a; b]$ , cet infimum est une valeur prise par $f_{n}$ et donc il existe $t_{n} \in [a; b]$ tel que

m_{n} = f_{n} (t_{n}) .

Montrons que $m_{n} \to m$ avec

m = inf_{t \in [a; b]} f .

La fonction $f$ est continue car limite uniforme d’une suite de fonctions continues et donc il existe $t_{\infty} \in [a; b]$ pour lequel

m = f (t_{\infty}) .

Pour tout $ε > 0$ , on a pour $n$ assez grand,

{∥ f_{n} - f ∥}_{\infty} \leq ε

et donc

m_{n} = f_{n} (t_{n}) \geq f (t_{n}) - ε \geq m - ε

m = f (t_{\infty}) \geq f_{n} (t_{\infty}) - ε \geq m_{n} - ε .

Ainsi,

| m_{n} - m | \leq ε .

On peut alors affirmer $m_{n} \to m$ .

Exercice 7 894

Soit $(P_{n})$ une suite de fonctions polynomiales convergeant uniformément vers une fonction $f$ sur $ℝ$ .

(a)

Justifier qu’il existe un entier naturel $N$ tel que, pour tout $n \geq N$ et tout réel $x$ ,

$| P_{n} (x) - P_{N} (x) | \leq 1 .$

Qu’en déduire quant aux fonctions polynômes $P_{n} - P_{N}$ lorsque $n \geq N$ ?
(b)

Conclure que $f$ est une fonction polynomiale.

Propriétés de la limite d'une suite de fonctions