[>] Étude pratique de la convergence d'une suite de fonctions
Établir que la limite simple d’une suite de fonctions de vers convexes est convexe.
Solution
Supposons que la suite converge simplement vers sur avec chaque convexe. Pour tous et ,
À la limite quand , on obtient
Cela fournit la convexité de .
Soit une suite de fonctions de vers convergeant uniformément vers une fonction continue.
Montrer que, si désigne une suite d’éléments de convergeant vers , alors
Soient et deux suites de fonctions convergeant uniformément vers des fonctions et supposées bornées.
Montrer que la suite de fonctions converge uniformément vers .
Solution
Pour assez grand, on peut introduire et . On peut ensuite écrire
Or et donc la suite est bornée car convergente. Par opérations sur les limites, on obtient alors
car
Soient une suite de fonctions convergeant uniformément vers une fonction et une fonction uniformément continue.
Montrer que la suite de fonctions converge uniformément.
Solution
Par uniforme continuité, on sait
Soient et tel qu’au-dessus. Pour assez grand,
et donc
Ainsi, il y a convergence uniforme de la suite de fonctions vers .
Montrer que la limite uniforme d’une suite de fonctions uniformément continues définies sur un intervalle de est elle-même une fonction uniformément continue.
Soit une suite de fonctions réelles continues et définies sur . On suppose que converge uniformément vers une fonction .
Montrer
Solution
Posons
Puisque la fonction est continue sur le segment , cet infimum est une valeur prise par et donc il existe tel que
Montrons que avec
La fonction est continue car limite uniforme d’une suite de fonctions continues et donc il existe pour lequel
Pour tout , on a pour assez grand,
et donc
et
Ainsi,
On peut alors affirmer .
Soit une suite de fonctions polynomiales convergeant uniformément vers une fonction sur .
Justifier qu’il existe un entier naturel tel que, pour tout et tout réel ,
Que peut-on alors des fonctions polynomiales lorsque ?
Conclure que est une fonction polynomiale.
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Édité le 29-08-2023
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