On pose pour tout $x\in ℝ$ et $n\in {\mathbb{N}}^{*}$

• (a)

  Pour tout $x\in ℝ$, $\sum u_n(x)$ satisfait le critère spécial des séries alternées et donc $\sum u_n$ converge simplement. La fonction $S$ est donc bien définie, elle est évidemment impaire.

• (b)

  Soit $a>0$. Par le critère spécial des séries alternées

  $$\left|R_n(x)\right|\le \frac{x}{(n+1)+x^2}\le \frac{a}{n+1}\text{ pour }x\in [-a;a]$$

  et donc

  $${\parallel R_n\parallel }_{\mathrm{\infty },[-a;a]}\le \frac{a}{n}\to 0\text{.}$$

  Il y a convergence uniforme sur $[-a;a]$ pour tout $a>0$ et donc convergence uniforme¹¹ 1 Une étude des variations de la fonction $x\mapsto x/((n+1)+x^2)$ permet aussi d’établir qu’il y a convergence uniforme sur $ℝ$. sur tout segment de $ℝ$.
  De plus, chaque fonction $u_n$ est continue et $S$ est donc continue.

• (c)

  Par le critère spécial des séries alternées, on peut encadrer $S$ par deux sommes partielles consécutives

  $$\frac{x}{1+x^2}-\frac{x}{2+x^2}\le S(x)\le \frac{x}{1+x^2}$$

  et l’on peut donc affirmer $S(x)\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0$.

Posons

Puisque les fonctions $f_n$ sont toutes impaires, on limite l’étude à $x\in [0;+\mathrm{\infty }[$.
À partir d’un certain rang $N_x$, on a $x/n\le \pi /2$ et alors

La série numérique $\sum f_n(x)$ vérifie alors les hypothèses du critère spécial des séries alternées à partir du rang $N_x$ et par conséquent cette série converge.

Ainsi, la série de fonctions $\sum f_n$ converge simplement sur $ℝ$ et donc sa fonction somme $S$ est définie sur $ℝ$.

Les fonctions $f_n$ sont de classe ${𝒞}^1$ et

de sorte que

On en déduit que la série de fonctions $\sum f_n^{\prime }$ converge normalement sur $ℝ$ et donc la fonction $S$ est de classe ${𝒞}^1$ sur $ℝ$, a fortiori cette fonction est continue.

• (a)

  Pour tout $x\in ℝ$, la série numérique $\sum u_n(x)$ satisfait le critère spécial des séries alternées donc la série de fonctions $\sum u_n$ converge simplement sur $ℝ$.

  De plus,

  $${\parallel \sum _{n=N+1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n\parallel }_{\mathrm{\infty }}\le \ln \left(1+\frac{x^2}{(N+1)(1+x^2)}\right)\le \ln \left(1+\frac{1}{N+1}\right)\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0$$

  La série de fonctions $\sum u_n$ converge donc uniformément sur $ℝ$.

• (b)

  On remarque

  $$u_n(x)\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\text{.}$$

  Par converge uniformément,

  $$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x)\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\mathrm{\ell }=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{(-1)}^n\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\text{.}$$

  Pour calculer cette somme, manipulons les sommes partielles et séparons les termes d’indice pair de ceux d’indice impair

  $$\sum _{n=1}^{2N}{(-1)}^n\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)=\sum _{n=1}^N\left(\ln (2n+1)-\ln (2n)\right)+\sum _{n=1}^N\left(\ln (2n-1)-\ln (2n)\right)$$

  donc

  $$\sum _{n=1}^{2N}{(-1)}^n\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)=\ln \left({\left(\frac{(2N)!}{{(2^{N}N!)}^2}\right)}^2(2N+1)\right)\text{.}$$

  Or

  $$N!\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{\sim }\sqrt{2\pi N}{N}^N{\mathrm{e}}^{-N}$$

  donc

  $$\sum _{n=1}^{2N}{(-1)}^n\ln (1+1/n)\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{\sim }\ln \left(\frac{2}{\pi }\right)\text{.}$$

  On en déduit

  $$\mathrm{\ell }=\ln \left(\frac{2}{\pi }\right)\text{.}$$

• (a)

  Posons $f_n(t)=\frac{{(-1)}^n}{1+nt}$ pour $t>0$.
  Par application du critère spécial des séries alternées, $\sum f_n$ converge simplement sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ et

  $${\parallel R_n\parallel }_{\mathrm{\infty },[a;+\mathrm{\infty }[}\le \frac{1}{1+na}\to 0$$

  pour tout $a>0$.
  Par converge uniformément sur tout segment d’une série de fonctions continue, $S$ est définie et continue sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

• (b)

  Par converge uniformément sur $[a;+\mathrm{\infty }[$,

  $$\underset{+\mathrm{\infty }}{lim}S(t)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{{(-1)}^n}{1+nt}=1\text{.}$$

  Par application du critère spécial des séries alternées

  $$1-\frac{1}{1+t}\le S(t)\le 1\text{.}$$

• (c)

  Les fonctions $f_n$ sont de classe ${𝒞}^1$ et la série de fonctions $\sum f_n$ converge simplement.

  $$f_n^{\prime }(t)=\frac{{(-1)}^{n+1}n}{{(1+nt)}^2}\text{.}$$

  La série $\sum f_n^{\prime }(t)$ est alternée avec $\left|f_n^{\prime }(t)\right|=\frac{n}{{(1+nt)}^2}$.
  Puisque

  $$\left|f_n^{\prime }(t)\right|-\left|f_{n+1}^{\prime }(t)\right|=\frac{n(n+1)t^2-1}{{(1+nt)}^2{(1+(n+1)t)}^2}$$

  la suite $\left(\left|f_n^{\prime }(t)\right|\right)$ décroît vers 0 à partir d’un certain rang.
  Soit $a>0$.
  À partir d’un certain rang $n_0$,

  $$n(n+1)a^2-1\ge 0$$

  et alors pour tout $t\ge a$, on peut appliquer le critère spécial des séries alternées à partir du rang $n_0$.
  On a alors

  $$\left|R_n(t)\right|\le \frac{n}{{(1+nt)}^2}\le \frac{n}{{(1+na)}^2}$$

  donc

  $${\parallel R_n\parallel }_{\mathrm{\infty },[a;+\mathrm{\infty }[}\le \frac{n}{{(1+na)}^2}\to 0\text{.}$$

  Ainsi la série de fonctions $\sum f_n^{\prime }$ converge uniformément sur $[a;+\mathrm{\infty }[$.
  Par théorème, on peut alors conclure que $S$ est de classe ${𝒞}^1$.

Par le critère spécial des séries alternées, il est immédiat de justifier que $S(t)$ est définie pour tout $t>0$.

Soit $t>0$. On peut réorganiser l’expression de $S(t)$ de la façon suivante:

On constate la décroissance de la fonction

Par comparaison avec une intégrale, on obtient l’encadrement

Puisque par les calculs précédents

On obtient

et

Par encadrement, on conclut

• (a)

  Pour $x\in ]-1;1[$,

  $$\left|u_n(x)\right|=\mathrm{o}\left({|x|}^n\right)$$

  donc $\sum u_n(x)$ est absolument convergente donc convergente.

  Pour $x=1$,

  $$u_n(x)=\frac{{(-1)}^{n-1}}{2n}$$

  donc $\sum u_n(x)$ converge en vertu du critère spécial des séries alternées.

  Pour $x\in ]-\mathrm{\infty };-1[\cup ]1;+\mathrm{\infty }[$,

  $$u_n(x)=\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}\left(1-\frac{1}{1+x^n}\right)=\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}+\mathrm{o}\left(\frac{1}{{|x|}^n}\right)$$

  donc $\sum u_n(x)$ est somme d’une série convergente et d’une série absolument convergente.

• (b)

  $$f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}\left(\frac{x^n}{1+x^n}+\frac{1/x^n}{1+1/x^n}\right)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}\text{.}$$

• (c)

  Soit $a\in [0;1[$.

  $${\parallel f\parallel }_{\mathrm{\infty },[-a;a]}\le \frac{a^n}{1-a^n}\le \frac{a^n}{1-a}$$

  donc $\sum f_n$ converge normalement sur $[-a;a]$.

  Par convergence uniforme d’une série de fonctions continues sur tout segment de $]-1;1[$, on peut affirmer que $f$ est continue sur $]-1;1[$. Puisque $f(x)=C^{te}-f(1/x)$, $f$ est aussi continue sur $]-\mathrm{\infty };-1[$ et sur $]1;+\mathrm{\infty }[$ par composition de fonctions continues.

• (d)

  Pour $x\in [0;1]$, la série $\sum u_n(x)$ est alternée et la suite ${\left(\frac{1}{n}\frac{x^n}{1+x^n}\right)}_{n\ge 0}$ décroît vers 0 (après étude non détaillée ici) donc le critère spécial des séries alternées s’applique et

  $$\left|\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k(x)\right|\le \frac{1}{n+1}\cdot \frac{x^{n+1}}{1+x^{n+1}}\le \frac{1}{n+1}$$

  puis

  $${\parallel R_n\parallel }_{\mathrm{\infty },[0;1]}\le \frac{1}{n+1}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0\text{.}$$

  La série de fonctions continues $\sum u_n$ converge uniformément sur $[0;1]$ donc $f$ est continue sur $[0;1]$ et donc continue à gauche en 1. Par la relation du b) on obtient aussi $f$ continue à droite en 1.