[<] Étude pratique de la fonction somme d'une série [>] Fonction solution d'équations fonctionnelles

 
Exercice 1  3644  Correction  

Pour x, on pose

S(x)=n=1+(-1)n-1xn+x2.
  • (a)

    Montrer que la fonction S est bien définie et étudier sa parité.

  • (b)

    Montrer que la fonction S est continue.

  • (c)

    Déterminer la limite de S en +.

Solution

On pose pour tout x et n*

un(x)=(-1)n-1xn+x2.
  • (a)

    Pour tout x, un(x) satisfait le critère spécial des séries alternées et donc un converge simplement. La fonction S est donc bien définie, elle est évidemment impaire.

  • (b)

    Soit a>0. Par le critère spécial des séries alternées

    |Rn(x)|x(n+1)+x2an+1 pour x[-a;a]

    et donc

    Rn,[-a;a]an0.

    Il y a convergence uniforme sur [-a;a] pour tout a>0 et donc convergence uniforme11 1 Une étude des variations de la fonction xx/((n+1)+x2) permet aussi d’établir qu’il y a convergence uniforme sur . sur tout segment de .
    De plus, chaque fonction un est continue et S est donc continue.

  • (c)

    Par le critère spécial des séries alternées, on peut encadrer S par deux sommes partielles consécutives

    x1+x2-x2+x2S(x)x1+x2

    et l’on peut donc affirmer S(x)x+0.

 
Exercice 2  4071   

Pour x[0;+[, on pose

S(x)=n=1+(-1)n-1ln(1+xn).
  • (a)

    Montrer que la fonction S est bien définie sur [0;+[ et de classe 𝒞1.

  • (b)

    Préciser son sens de variation.

 
Exercice 3  3194     CCP (MP)Correction  

Étudier la définition, la continuité et le caractère 𝒞1 de la fonction

S:xn=1(-1)nnsin(xn).

Solution

Posons

fn:x(-1)nnsin(xn).

Puisque les fonctions fn sont toutes impaires, on limite l’étude à x[0;+[.
À partir d’un certain rang Nx, on a x/nπ/2 et alors

sin(x/n)[0;1].

La série numérique fn(x) vérifie alors les hypothèses du critère spécial des séries alternées à partir du rang Nx et par conséquent cette série converge.

Ainsi, la série de fonctions fn converge simplement sur et donc sa fonction somme S est définie sur .

Les fonctions fn sont de classe 𝒞1 et

fn(x)=(-1)nn2cos(xn)

de sorte que

fn,=1n2.

On en déduit que la série de fonctions fn converge normalement sur et donc la fonction S est de classe 𝒞1 sur , a fortiori cette fonction est continue.

 
Exercice 4  910   Correction  

Pour n1 et x, on pose

un(x)=(-1)nln(1+x2n(1+x2)).
  • (a)

    Étudier la convergence uniforme de la série de fonctions un.

  • (b)

    Déterminer la limite de sa somme en +. On pourra exploiter la formule de Stirling.

Solution

  • (a)

    Pour tout x, la série numérique un(x) satisfait le critère spécial des séries alternées donc la série de fonctions un converge simplement sur .

    De plus,

    n=N+1+unln(1+x2(N+1)(1+x2))ln(1+1N+1)N+0

    La série de fonctions un converge donc uniformément sur .

  • (b)

    On remarque

    un(x)x+ln(1+1n).

    Par converge uniformément,

    n=1+un(x)x+=n=1+(-1)nln(1+1n).

    Pour calculer cette somme, manipulons les sommes partielles et séparons les termes d’indice pair de ceux d’indice impair

    n=12N(-1)nln(1+1n)=n=1N(ln(2n+1)-ln(2n))+n=1N(ln(2n-1)-ln(2n))

    donc

    n=12N(-1)nln(1+1n)=ln(((2N)!(2NN!)2)2(2N+1)).

    Or

    N!N+2πNNNe-N

    donc

    n=12N(-1)nln(1+1/n)N+ln(2π).

    On en déduit

    =ln(2π).
 
Exercice 5  904   Correction  

Pour t>0, on pose

S(t)=n=0+(-1)n1+nt.
  • (a)

    Justifier que S est définie et continue sur ]0;+[.

  • (b)

    Étudier la limite de S en +.

  • (c)

    Établir que S est de classe 𝒞1 sur ]0;+[.

Solution

  • (a)

    Posons fn(t)=(-1)n1+nt pour t>0.
    Par application du critère spécial des séries alternées, fn converge simplement sur ]0;+[ et

    Rn,[a;+[11+na0

    pour tout a>0.
    Par converge uniformément sur tout segment d’une série de fonctions continue, S est définie et continue sur ]0;+[.

  • (b)

    Par converge uniformément sur [a;+[,

    lim+S(t)=n=0+limt+(-1)n1+nt=1.

    Par application du critère spécial des séries alternées

    1-11+tS(t)1.
  • (c)

    Les fonctions fn sont de classe 𝒞1 et la série de fonctions fn converge simplement.

    fn(t)=(-1)n+1n(1+nt)2.

    La série fn(t) est alternée avec |fn(t)|=n(1+nt)2.
    Puisque

    |fn(t)|-|fn+1(t)|=n(n+1)t2-1(1+nt)2(1+(n+1)t)2

    la suite (|fn(t)|) décroît vers 0 à partir d’un certain rang.
    Soit a>0.
    À partir d’un certain rang n0,

    n(n+1)a2-10

    et alors pour tout ta, on peut appliquer le critère spécial des séries alternées à partir du rang n0.
    On a alors

    |Rn(t)|n(1+nt)2n(1+na)2

    donc

    Rn,[a;+[n(1+na)20.

    Ainsi la série de fonctions fn converge uniformément sur [a;+[.
    Par théorème, on peut alors conclure que S est de classe 𝒞1.

 
Exercice 6  139    Correction  

Pour t>0, on pose

S(t)=n=0+(-1)nnt+1.

Déterminer la limite de S(t) quand t0+.

Solution

Par le critère spécial des séries alternées, il est immédiat de justifier que S(t) est définie pour tout t>0.

Soit t>0. On peut réorganiser l’expression de S(t) de la façon suivante:

S(t)=p=0+((-1)2p2pt+1+(-1)2p+1(2p+1)t+1)=p=0+t(2pt+1)((2p+1)t+1).

On constate la décroissance de la fonction

ft:xt(2xt+1)((2x+1)t+1).

Par comparaison avec une intégrale, on obtient l’encadrement

1+ft(x)dxS(t)0+ft(x)dx.

Puisque par les calculs précédents

t(2xt+1)((2x+1)t+1)=12xt+1-1(2x+1)t+1.

On obtient

0+t(2xt+1)((2x+1)t+1)dx =[12tln((2xt+1)((2x+1)t+1))]0+
=ln(1+t)2t

et

1+t(2xt+1)((2x+1)t+1)dx =[12tln((2xt+1)((2x+1)t+1))]1+
=ln(1+3t)-ln(1+2t)2t.

Par encadrement, on conclut

S(t)t0+1/2.
 
Exercice 7  916   Correction  

Pour tout x{-1} et tout n* on pose

un(x)=(-1)n-1nxn1+xn.
  • (a)

    Justifier que la fonction f:xn=1+un(x) est définie sur {-1}.

  • (b)

    Établir que pour tout x0,

    f(x)+f(1x)=n=1+(-1)n-1n.
  • (c)

    Établir que f est continue sur ]-1;1[ puis que f est continue sur ]-;-1[ et ]1;+[.

  • (d)

    Établir la continuité de f en 1.

Solution

  • (a)

    Pour x]-1;1[,

    |un(x)|=o(|x|n)

    donc un(x) est absolument convergente donc convergente.

    Pour x=1,

    un(x)=(-1)n-12n

    donc un(x) converge en vertu du critère spécial des séries alternées.

    Pour x]-;-1[]1;+[,

    un(x)=(-1)n-1n(1-11+xn)=(-1)n-1n+o(1|x|n)

    donc un(x) est somme d’une série convergente et d’une série absolument convergente.

  • (b)
    f(x)+f(1x)=n=1+(-1)n-1n(xn1+xn+1/xn1+1/xn)=n=1+(-1)n-1n.
  • (c)

    Soit a[0;1[.

    f,[-a;a]an1-anan1-a

    donc fn converge normalement sur [-a;a].

    Par convergence uniforme d’une série de fonctions continues sur tout segment de ]-1;1[, on peut affirmer que f est continue sur ]-1;1[. Puisque f(x)=Cte-f(1/x), f est aussi continue sur ]-;-1[ et sur ]1;+[ par composition de fonctions continues.

  • (d)

    Pour x[0;1], la série un(x) est alternée et la suite (1nxn1+xn)n0 décroît vers 0 (après étude non détaillée ici) donc le critère spécial des séries alternées s’applique et

    |k=n+1+uk(x)|1n+1xn+11+xn+11n+1

    puis

    Rn,[0;1]1n+1n+0.

    La série de fonctions continues un converge uniformément sur [0;1] donc f est continue sur [0;1] et donc continue à gauche en 1. Par la relation du b) on obtient aussi f continue à droite en 1.

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Édité le 08-11-2019

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