Exercice 1 3644 Correction

Pour $x \in ℝ$ , on pose

S (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} {(- 1)}^{n - 1} \frac{x}{n + x^{2}} .

(a)

Montrer que la fonction $S$ est bien définie sur $ℝ$ et étudier sa parité.
(b)

Montrer que la fonction $S$ est continue sur $ℝ$ .
(c)

Déterminer la limite de $S$ en $+ \infty$ .

Solution

On pose pour tout $x \in ℝ$ et $n \in ℕ^{*}$

u_{n} (x) = {(- 1)}^{n - 1} \frac{x}{n + x^{2}} .

(a)

Pour tout $x \in ℝ$ , $\sum u_{n} (x)$ satisfait le critère spécial des séries alternées et donc $\sum u_{n}$ converge simplement. La fonction $S$ est donc bien définie, elle est évidemment impaire.
(b)

Soit $a > 0$ . Par le critère spécial des séries alternées

$| R_{n} (x) | \leq \frac{| x |}{(n + 1) + x^{2}} \leq \frac{a}{n + 1} pour x \in [- a; a]$

et donc

${∥ R_{n} ∥}_{\infty, [- a; a]} \leq \frac{a}{n} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

Il y a convergence uniforme¹¹ 1 Une étude des variations de la fonction $x \mapsto x / ((n + 1) + x^{2})$ permet aussi d’établir qu’il y a convergence uniforme sur $ℝ$ . sur $[- a; a]$ pour tout $a > 0$ . De plus, chaque fonction $u_{n}$ est continue et $S$ est donc continue sur $[- a; a]$ . Or cela vaut pour tout $a > 0$ donc $S$ est continue sur $ℝ$ .
(c)

Par le critère spécial des séries alternées, on peut encadrer $S$ par deux sommes partielles consécutives

$\forall x \geq 0, \frac{x}{1 + x^{2}} - \frac{x}{2 + x^{2}} \leq S (x) \leq \frac{x}{1 + x^{2}} .$

Par théorème d’encadrement,

$S (x) \to_{x \to + \infty}^{} 0 .$

Exercice 2 4071

Pour $x \in [0; + \infty [$ , on pose

S (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} {(- 1)}^{n - 1} \ln (1 + \frac{x}{n}) .

(a)

Montrer que la fonction $S$ est définie et de classe $𝒞^{1}$ sur $[0; + \infty [$ .
(b)

Préciser son sens de variation.
(c)

Étudier la limite de $S$ en $+ \infty$ .

Exercice 3 3194 CCINP (MP)Correction

Étudier la définition, la continuité et le caractère $𝒞^{1}$ de la fonction

S : x \mapsto \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n} \sin (\frac{x}{n}) .

Solution

Posons

f_{n} : x \mapsto \frac{{(- 1)}^{n}}{n} \sin (\frac{x}{n}) .

Puisque les fonctions $f_{n}$ sont toutes impaires, on limite l’étude à $x \in [0; + \infty [$ .
À partir d’un certain rang $N_{x}$ , on a $x / n \leq π / 2$ et alors

\sin (x / n) \in [0; 1] .

La série numérique $\sum f_{n} (x)$ vérifie alors les hypothèses du critère spécial des séries alternées à partir du rang $N_{x}$ et par conséquent cette série converge.

Ainsi, la série de fonctions $\sum f_{n}$ converge simplement sur $ℝ$ et donc sa fonction somme $S$ est définie sur $ℝ$ .

Les fonctions $f_{n}$ sont de classe $𝒞^{1}$ et

f_{n}^{'} (x) = \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2}} \cos (\frac{x}{n})

de sorte que

{∥ f_{n}^{'} ∥}_{\infty, ℝ} = \frac{1}{n^{2}} .

On en déduit que la série de fonctions $\sum f_{n}^{'}$ converge normalement sur $ℝ$ et donc la fonction $S$ est de classe $𝒞^{1}$ sur $ℝ$ , a fortiori cette fonction est continue.

Exercice 4 3389 Correction

Pour $x$ réel convenable, on pose

S (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{n (n x + 1)} .

(a)

Montrer que $S$ est définie et continue sur $[0; + \infty [$ .
(b)

Étudier la limite de $S$ en $+ \infty$ .
(c)

Montrer que $S$ est classe $𝒞^{1}$ sur $] 0; + \infty [$ et préciser ses variations.

Solution

Sous réserve d’existence, $S$ est la somme de la série de fonctions $\sum u_{n}$ avec

u_{n} (x) = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{n (n x + 1)} pour x \in] 0; + \infty [et n \in ℕ^{*} .

(a)

Soit $x > 0$ . Pour tout $n \in ℕ^{*}$ ,

$u_{n} (x) = {(- 1)}^{n - 1} | u_{n} (x) |$

et $| u_{n} (x) |$ décroît et tend vers $0$ . Par le critère spécial des séries alternées, la série de fonctions $\sum u_{n}$ converge simplement sur $[0; + \infty [$ . La fonction $S$ est correctement définie sur $[0; + \infty [$ .

Chaque fonction $u_{n}$ est continue. Étudions la convergence uniforme de la série de fonctions $\sum u_{n}$ . Par convergence simple, on peut introduire le reste $R_{n}$ de la série de fonctions $\sum u_{n}$ et, par le critère spécial des séries alternées,

$\forall x \geq 0, | R_{n} (x) | \leq | u_{n + 1} (x) | = \frac{1}{(n + 1) ((n + 1) x + 1)} \leq \frac{1}{n + 1} = α_{n} .$

Le terme $α_{n}$ ne dépend pas de $x$ et tend vers $0$ . La série de fonctions $\sum u_{n}$ converge donc uniformément sur $[0; + \infty [$

Par théorème, $S$ est continue sur $[0; + \infty [$ .
(b)

Les fonctions $u_{n}$ admettent des limites finies (toutes nulles) en $+ \infty$ et la série de fonctions $\sum u_{n}$ converge uniformément au voisinage de $+ \infty$ . Par le théorème de la double limite,

$lim_{x \to + \infty} S (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} lim_{x \to + \infty} u_{n} (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} 0 = 0 .$
(c)

Pour tout $n \in ℕ^{*}$ , $u_{n}$ est de classe $𝒞^{1}$ sur $] 0; + \infty [$ avec

$u_{n}^{'} (x) = \frac{{(- 1)}^{n}}{{(n x + 1)}^{2}} .$

Le critère spécial des séries alternées s’applique à la convergence de la série $\sum u_{n}^{'} (x)$ . La série de fonctions $\sum u_{n}^{'}$ converge simplement sur $] 0; + \infty [$ et l’on peut introduire son reste $R_{n}$ .

Soit $a > 0$ . Pour $x \geq a$ , le critère spécial des séries alternées donne

$| R_{n}^{'} (x) | \leq | u_{n + 1}^{'} (x) | = \frac{1}{{((n + 1) x + 1)}^{2}} \leq \frac{1}{{(n + 1)}^{2} a^{2}} = α_{n} .$

Le terme $α_{n}$ ne dépend pas de $x$ et la suite $(α_{n})$ tend vers $0$ .

La série de fonctions $\sum u_{n}^{'}$ converge donc uniformément sur $[a; + \infty [$ .

Par théorème, on en déduit que la fonction $S$ est de classe $𝒞^{1}$ sur $[a; + \infty [$ . Or cela vaut pour tout $a > 0$ . La fonction $S$ est donc de classe $𝒞^{1}$ sur $] 0; + \infty [$ .

Aussi, on peut aussi calculer $S^{'} (x)$ en dérivant terme à terme. Cela donne

$\forall x > 0, S^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{{(n x + 1)}^{2}} .$

Puisque le critère spécial des séries alternées s’applique à la convergence de séries, on a $S^{'} (x)$ du signe de son premier terme, c’est-à-dire négatif. La fonction $S$ est décroissante.

Exercice 5 910 Correction

Pour $n \geq 1$ et $x \in ℝ$ , on pose

u_{n} (x) = {(- 1)}^{n} \ln (1 + \frac{x^{2}}{n (1 + x^{2})}) .

(a)

Étudier la convergence uniforme de la série de fonctions $\sum u_{n}$ .
(b)

Déterminer la limite de sa somme en $+ \infty$ . On pourra exploiter la formule de Stirling.

Solution

(a)

Pour tout $x \in ℝ$ , la série numérique $\sum u_{n} (x)$ satisfait le critère spécial des séries alternées donc la série de fonctions $\sum u_{n}$ converge simplement sur $ℝ$ .

De plus,

${∥ \sum_{n = N + 1}^{+ \infty} u_{n} ∥}_{\infty} \leq \ln (1 + \frac{x^{2}}{(N + 1) (1 + x^{2})}) \leq \ln (1 + \frac{1}{N + 1}) \to_{N \to + \infty}^{} 0 .$

La série de fonctions $\sum u_{n}$ converge donc uniformément sur $ℝ$ .
(b)

On remarque

$u_{n} (x) \to_{x \to + \infty}^{} {(- 1)}^{n} \ln (1 + \frac{1}{n}) .$

Par converge uniformément,

$\sum_{n = 1}^{+ \infty} u_{n} (x) \to_{x \to + \infty}^{} ℓ = \sum_{n = 1}^{+ \infty} {(- 1)}^{n} \ln (1 + \frac{1}{n}) .$

Pour calculer cette somme, manipulons les sommes partielles et séparons les termes d’indice pair de ceux d’indice impair

$\sum_{n = 1}^{2 N} {(- 1)}^{n} \ln (1 + \frac{1}{n}) = \sum_{n = 1}^{N} (\ln (2 n + 1) - \ln (2 n)) + \sum_{n = 1}^{N} (\ln (2 n - 1) - \ln (2 n))$

donc

$\sum_{n = 1}^{2 N} {(- 1)}^{n} \ln (1 + \frac{1}{n}) = \ln ({(\frac{(2 N)!}{{(2^{N} N!)}^{2}})}^{2} (2 N + 1)) .$

Or

$N! \underset{N \to + \infty}{\sim} \sqrt{2 π N} N^{N} e^{- N}$

donc

$\sum_{n = 1}^{2 N} {(- 1)}^{n} \ln (1 + 1 / n) \underset{N \to + \infty}{\sim} \ln (\frac{2}{π}) .$

On en déduit

$ℓ = \ln (\frac{2}{π}) .$

Exercice 6 904 Correction

Pour $t > 0$ , on pose

S (t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{1 + n t} .

(a)

Justifier que $S$ est définie et continue sur $] 0; + \infty [$ .
(b)

Étudier la limite de $S$ en $+ \infty$ .
(c)

Établir que $S$ est de classe $𝒞^{1}$ sur $] 0; + \infty [$ .

Solution

(a)

Posons $f_{n} (t) = \frac{{(- 1)}^{n}}{1 + n t}$ pour $t > 0$ .
Par application du critère spécial des séries alternées, $\sum f_{n}$ converge simplement sur $] 0; + \infty [$ et

${∥ R_{n} ∥}_{\infty, [a; + \infty [} \leq \frac{1}{1 + n a} \to 0$

pour tout $a > 0$ .
Par converge uniformément sur tout segment d’une série de fonctions continue, $S$ est définie et continue sur $] 0; + \infty [$ .
(b)

Par converge uniformément sur $[a; + \infty [$ ,

$lim_{+ \infty} S (t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} lim_{t \to + \infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{1 + n t} = 1 .$

Par application du critère spécial des séries alternées

$1 - \frac{1}{1 + t} \leq S (t) \leq 1 .$
(c)

Les fonctions $f_{n}$ sont de classe $𝒞^{1}$ et la série de fonctions $\sum f_{n}$ converge simplement.

$f_{n}^{'} (t) = \frac{{(- 1)}^{n + 1} n}{{(1 + n t)}^{2}} .$

La série $\sum f_{n}^{'} (t)$ est alternée avec $| f_{n}^{'} (t) | = \frac{n}{{(1 + n t)}^{2}}$ .
Puisque

$| f_{n}^{'} (t) | - | f_{n + 1}^{'} (t) | = \frac{n (n + 1) t^{2} - 1}{{(1 + n t)}^{2} {(1 + (n + 1) t)}^{2}}$

la suite $(| f_{n}^{'} (t) |)$ décroît vers 0 à partir d’un certain rang.
Soit $a > 0$ .
À partir d’un certain rang $n_{0}$ ,

$n (n + 1) a^{2} - 1 \geq 0$

et alors pour tout $t \geq a$ , on peut appliquer le critère spécial des séries alternées à partir du rang $n_{0}$ .
On a alors

$| R_{n} (t) | \leq | f_{n + 1} (t) | \leq | f_{n} (t) | = \frac{n}{{(1 + n t)}^{2}} \leq \frac{n}{{(1 + n a)}^{2}}$

donc

${∥ R_{n} ∥}_{\infty, [a; + \infty [} \leq \frac{n}{{(1 + n a)}^{2}} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

Ainsi, la série de fonctions $\sum f_{n}^{'}$ converge uniformément sur $[a; + \infty [$ .

Par théorème, on peut alors conclure que $S$ est de classe $𝒞^{1}$ .

Exercice 7 139 Correction

Pour $t > 0$ , on pose

S (t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n t + 1} .

Déterminer la limite de $S (t)$ quand $t \to 0^{+}$ .

Solution

Par le critère spécial des séries alternées, il est immédiat de justifier que $S (t)$ est définie pour tout $t > 0$ .

Soit $t > 0$ . On peut réorganiser l’expression de $S (t)$ de la façon suivante:

S (t) = \sum_{p = 0}^{+ \infty} (\frac{{(- 1)}^{2 p}}{2 p t + 1} + \frac{{(- 1)}^{2 p + 1}}{(2 p + 1) t + 1}) = \sum_{p = 0}^{+ \infty} \frac{t}{(2 p t + 1) ((2 p + 1) t + 1)} .

On constate la décroissance de la fonction

f_{t} : x \mapsto \frac{t}{(2 x t + 1) ((2 x + 1) t + 1)} .

Par comparaison avec une intégrale, on obtient l’encadrement

\int_{1}^{+ \infty} f_{t} (x) d x \leq S (t) \leq \int_{0}^{+ \infty} f_{t} (x) d x .

Puisque par les calculs précédents

\frac{t}{(2 x t + 1) ((2 x + 1) t + 1)} = \frac{1}{2 x t + 1} - \frac{1}{(2 x + 1) t + 1} .

On obtient

	$\int_{0}^{+ \infty} \frac{t}{(2 x t + 1) ((2 x + 1) t + 1)} d x$	$= {[\frac{1}{2 t} \ln (\frac{(2 x t + 1)}{((2 x + 1) t + 1)})]}_{0}^{+ \infty}$
		$= \frac{\ln (1 + t)}{2 t}$

	$\int_{1}^{+ \infty} \frac{t}{(2 x t + 1) ((2 x + 1) t + 1)} d x$	$= {[\frac{1}{2 t} \ln (\frac{(2 x t + 1)}{((2 x + 1) t + 1)})]}_{1}^{+ \infty}$
		$= \frac{\ln (1 + 3 t) - \ln (1 + 2 t)}{2 t} .$

Par encadrement, on conclut

S (t) \to_{t \to 0^{+}}^{} 1 / 2 .

Exercice 8 916 Correction

Pour tout $x \in ℝ ∖ {- 1}$ et tout $n \in ℕ^{*}$ on pose

u_{n} (x) = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{n} \cdot \frac{x^{n}}{1 + x^{n}} .

(a)

Justifier que la fonction $f : x \mapsto \sum_{n = 1}^{+ \infty} u_{n} (x)$ est définie sur $ℝ ∖ {- 1}$ .
(b)

Établir que pour tout $x \neq 0$ ,

$f (x) + f (\frac{1}{x}) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{n} .$
(c)

Établir que $f$ est continue sur $] - 1; 1 [$ puis que $f$ est continue sur $] - \infty; - 1 [$ et $] 1; + \infty [$ .
(d)

Établir la continuité de $f$ en $1$ .

Solution

(a)

Pour $x \in] - 1; 1 [$ ,

$| u_{n} (x) | = o ({| x |}^{n})$

donc $\sum u_{n} (x)$ est absolument convergente donc convergente.

Pour $x = 1$ ,

$u_{n} (x) = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{2 n}$

donc $\sum u_{n} (x)$ converge en vertu du critère spécial des séries alternées.

Pour $x \in] - \infty; - 1 [\cup] 1; + \infty [$ ,

$u_{n} (x) = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{n} (1 - \frac{1}{1 + x^{n}}) = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{n} + o (\frac{1}{{| x |}^{n}})$

donc $\sum u_{n} (x)$ est somme d’une série convergente et d’une série absolument convergente.
(b)

$f (x) + f (\frac{1}{x}) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{n} (\frac{x^{n}}{1 + x^{n}} + \frac{1 / x^{n}}{1 + 1 / x^{n}}) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{n} .$
(c)

Soit $a \in [0; 1 [$ .

${∥ f ∥}_{\infty, [- a; a]} \leq \frac{a^{n}}{1 - a^{n}} \leq \frac{a^{n}}{1 - a}$

donc $\sum f_{n}$ converge normalement sur $[- a; a]$ .

Par convergence uniforme d’une série de fonctions continues sur tout segment de $] - 1; 1 [$ , on peut affirmer que $f$ est continue sur $] - 1; 1 [$ . Puisque $f (x) = C^{t e} - f (1 / x)$ , $f$ est aussi continue sur $] - \infty; - 1 [$ et sur $] 1; + \infty [$ par composition de fonctions continues.
(d)

Pour $x \in [0; 1]$ , la série $\sum u_{n} (x)$ est alternée et la suite ${(\frac{1}{n} \frac{x^{n}}{1 + x^{n}})}_{n \geq 0}$ décroît vers 0 (après étude non détaillée ici) donc le critère spécial des séries alternées s’applique et

$| \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} u_{k} (x) | \leq \frac{1}{n + 1} \cdot \frac{x^{n + 1}}{1 + x^{n + 1}} \leq \frac{1}{n + 1}$

puis

${∥ R_{n} ∥}_{\infty, [0; 1]} \leq \frac{1}{n + 1} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

La série de fonctions continues $\sum u_{n}$ converge uniformément sur $[0; 1]$ donc $f$ est continue sur $[0; 1]$ et donc continue à gauche en 1. Par la relation du b) on obtient aussi $f$ continue à droite en 1.

[<] Étude pratique de la fonction somme d'une série [>] Fonction solution d'équations fonctionnelles

Édité le 08-12-2023

Étude pratique de la fonction somme d'une série alternée