Exercice 1 895 Correction

Pour $n \in ℕ^{*}$ , on considère $f_{n} : ℝ \to ℝ$ définie par

f_{n} (x) = \frac{1}{n^{2} + x^{2}} .

Étudier la convergence simple, uniforme et normale de la série de fonctions $\sum f_{n}$ .

Solution

Pour $x \in ℝ$ ,

| f_{n} (x) | \leq \frac{1}{n^{2}} .

Puisque $\sum 1 / n^{2}$ converge, il y a convergence normale, donc uniforme, donc simple sur $ℝ$ .

Exercice 2 5525 Correction

Établir la convergence uniforme sur $[0; 1]$ de la série de fonctions $\sum_{n \geq 1} f_{n}$ avec

f_{n} (x) = \frac{{(- 1)}^{n} x^{n}}{n + x} pour tout x \in [0; 1] .

Solution

Soit $x \in [0; 1]$ . La série numérique $\sum f_{n} (x)$ est alternée car, pour tout $n \in ℕ$ ,

f_{n} (x) = {(- 1)}^{n} | f_{n} (x) | avec | f_{n} (x) | = \frac{x^{n}}{n + x} .

Pour $x \in [0; 1 [$ comme pour $x = 1$ , on observe que la suite $(| f_{n} (x) |)$ décroît vers $0$ . Par le critère spécial, on peut assurer la convergence de la série $\sum f_{n} (x)$ . On en déduit que la série de fonctions $\sum f_{n}$ converge simplement sur $[0; 1]$ . On peut alors introduire son reste $R_{n}$ et l’on vérifie par le critère spécial

| R_{n} (x) | \leq | f_{n + 1} (x) | = \frac{x^{n + 1}}{n + 1 + x} \leq \frac{1}{n + 1} .

En passant à la borne supérieure,

sup_{x \in [0; 1]} | R_{n} (x) | \leq \frac{1}{n + 1}

et donc

sup_{x \in [0; 1]} | R_{n} (x) | \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

On conclut que $\sum f_{n}$ converge uniformément sur $[0; 1]$ .

Exercice 3 896 Correction

Pour $n \in ℕ^{*}$ , on considère $f_{n} : ℝ \to ℝ$ définie par

f_{n} (x) = \frac{{(- 1)}^{n}}{n + x^{2}} .

Étudier la convergence simple, uniforme et normale de la série de fonctions $\sum f_{n}$ .

Solution

On a ${∥ f_{n} ∥}_{\infty} = 1 / n$ et $\sum 1 / n$ diverge: il n’y a pas convergence normale sur $ℝ$ .

Pour $x \in ℝ$ , la série numérique $\sum f_{n} (x)$ satisfait le critère spécial des séries alternées, il y a donc convergence simple sur $ℝ$ et

| \sum_{n = N + 1}^{+ \infty} f_{n} (x) | \leq \frac{1}{N + 1 + x^{2}} \leq \frac{1}{N + 1} \to_{N \to + \infty}^{} 0 .

Il y a donc convergence uniforme sur $ℝ$ .

Exercice 4 4744

Étudier la convergence simple, puis la convergence uniforme sur $ℝ_{+}$ , de la série de fonctions $\sum_{n \geq 1} u_{n}$ avec

u_{n} (t) = \frac{{(- 1)}^{n}}{n + t} pour tout t \in ℝ_{+} .

Exercice 5 3004 NAVALE (MP)Correction

On pose

u_{n} (x) = \frac{x}{{(1 + n^{2} x)}^{2}} pour n \in ℕ et x \in ℝ_{+}

(a)

Étudier la convergence simple et uniforme sur $ℝ_{+}$ de la série de fonctions $\sum u_{n}$ .
(b)

Même question avec $\sum u_{n}^{'} (x)$ .

Solution

(a)

Soit $n \in ℕ^{*}$ . La fonction $u_{n}$ est de classe $𝒞^{\infty}$ avec, par dérivation d’un produit,

$u_{n}^{'} (x) = \frac{1}{{(1 + n^{2} x)}^{2}} - \frac{2 n^{2} x}{{(1 + n^{2} x)}^{3}} = \frac{1 - n^{2} x}{{(1 + n^{2} x)}^{3}}$

On en déduit les variations de $u_{n}$ et l’on obtient

$sup_{x \in ℝ_{+}} | u_{n} (x) | = u_{n} (\frac{1}{n^{2}}) = \frac{1}{4 n^{2}}$

La série de fonctions $\sum_{n \geq 1} u_{n}$ converge normalement sur $ℝ_{+}$ . La série $\sum_{n \geq 0} u_{n}$ qui s’en déduit par l’ajout d’un terme converge donc simplement et uniformément sur $ℝ_{+}$ .
(b)

Pour $x = 0$ , $u_{n}^{'} (0) = 1$ . La série $\sum u_{n}^{'} (0)$ diverge grossièrement. La série de fonctions ne converge donc pas simplement ni uniformément sur $ℝ_{+}$ . En revanche, même si la question n’est pas posée, on peut établir la convergence simple sur $ℝ_{+}^{*}$ et la convergence uniforme sur $[a; + \infty [\subset ℝ_{+}^{*}$ (mais pas sur $ℝ_{+}^{*}$ ).

Exercice 6 897 Correction

On note $1_{I}$ la fonction indicatrice d’un intervalle $I$ :

1_{I} (x) = {\begin{matrix} 1 & si x \in I \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Étudier la convergence simple, uniforme et normale sur $[0; + \infty [$ de la série des fonctions

u_{n} (x) = \frac{1}{n + 1} 1_{[n; n + 1 [} (x) .

Solution

Pour tout $x \in [0; + \infty [$ , introduisons $k = ⌊ x ⌋$ . Pour $N \geq k + 1$ , on a

\sum_{n = 0}^{N} u_{n} (x) = \frac{1}{k + 1}

et la série de fonctions converge donc simplement sur $[0; + \infty [$ vers la fonction $S : [0; + \infty [$ déterminée par

S (x) = \frac{1}{k + 1} pour tout x \in [k; k + 1 [avec k \in ℕ .

Pour tout $x \in [0; + \infty [$ ,

S (x) - \sum_{n = 0}^{N} u_{n} (x) = {\begin{matrix} 0 & si x < N + 1 \\ S (x) & si x \geq N + 1 \end{matrix}

et donc

| S (x) - \sum_{n = 0}^{N} u_{n} (x) | \leq \frac{1}{N + 2} \to_{N \to + \infty}^{} 0 .

Il y a donc convergence uniforme sur $[0; + \infty [$ .

Enfin, ${∥ u_{n} ∥}_{\infty} = 1 / (n + 1)$ n’est pas sommable, il n’y a pas convergence normale sur $[0; + \infty [$ .

Exercice 7 3770 CCINP (MP)

Pour $n \in ℕ$ , on pose

f_{n} (x) = n x^{2} e^{- x \sqrt{n}} pour tout x \in ℝ_{+} .

(a)

Étudier la convergence simple, la convergence normale ainsi que la convergence uniforme de la série de fonctions $\sum f_{n}$ sur $ℝ_{+}$ .
(b)

Même question sur $[a; + \infty [$ avec $a > 0$ .

Exercice 8 3785 CCINP (MP)Correction

Pour $n \in ℕ$ , on introduit la fonction $f_{n} : [0; + \infty [\to ℝ$ définie par

f_{n} (x) = \frac{x^{n} e^{- x}}{n!} .

(a)

Étudier les convergences de la suite de fonctions $(f_{n})$ .
(b)

Étudier les convergences de la série de fonctions $\sum f_{n}$ .

Solution

(a)

Par croissance comparée, la suite de fonctions $(f_{n})$ converge simplement vers la fonction nulle sur $[0; + \infty [$ .

La fonction $f_{n}$ est de classe $𝒞^{1}$ et

$f_{n}^{'} (x) = \frac{1}{n!} x^{n - 1} (n - x) e^{- x} .$

On peut alors dresser le tableau de variations de $f_{n}$ et affirmer

$sup_{x \in [a; + \infty [} | f_{n} (x) | = f_{n} (n) = \frac{n^{n}}{n!} e^{- n} .$

Par la formule de Stirling,

$n! \underset{n \to + \infty}{\sim} \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n}$

donc

$f_{n} (n) \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{\sqrt{2 π n}} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

On en déduit que la suite de fonctions $(f_{n})$ converge uniformément sur $[0; + \infty [$ .
(b)

Par référence à la série exponentielle, la série de fonctions $\sum f_{n}$ converge simplement sur $ℝ$ et sa somme est égale à $1$ .

Il ne peut y avoir convergence normale sur $[a; + \infty [$ car $f_{n} (n)$ n’est pas sommable.

En revanche, sur $[0; a]$ , il y a convergence normale car pour $n$ assez grand de sorte que $n \geq a$ , on a

$sup_{x \in [0; a]} | f_{n} (x) | = f_{n} (a) .$

Il y a a fortiori convergence uniforme sur $[0; a]$ .

Par l’absurde, s’il y a convergence uniforme sur un voisinage de $+ \infty$ , on obtient par le théorème de la double limite

$lim_{x \to + \infty} \sum_{n = 0}^{+ \infty} f_{n} (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} lim_{x \to + \infty} f_{n} (x)$

ce qui donne l’absurdité $1 = 0$ .

Il n’y a donc pas convergence uniforme sur $[0; + \infty [$ .

Exercice 9 3988 NAVALE (MP)Correction

Pour $n \in ℕ$ , on considère $u_{n} : ℝ_{+} \to ℝ$ définie par

u_{n} (x) = \frac{x}{{(1 + n^{2} x)}^{2}} .

Étudier la convergence simple et la convergence uniforme des séries de fonctions $\sum u_{n}$ et $\sum u_{n}^{'}$ .

Solution

La fonction $u_{n}$ est dérivable sur $ℝ_{+}$ avec

u_{n}^{'} (x) = \frac{1 - n^{2} x}{{(1 + n^{2} x)}^{3}} .

Les variations de $u_{n}$ sur $[0; + \infty [$ fournissent

{∥ u_{n} ∥}_{\infty} = u_{n} (1 / n^{2}) = \frac{1}{4 n^{2}} .

La série de fonctions $\sum u_{n}$ converge normalement sur $[0; + \infty [$ , a fortiori uniformément et simplement.

Soit $a > 0$ . Pour $x \geq a$ ,

| u_{n}^{'} (x) | \leq \frac{1 + n^{2} x}{{(1 + n^{2} x)}^{3}} = \frac{1}{{(1 + n^{2} a)}^{2}} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{a^{2}} \frac{1}{n^{4}} .

La série de fonctions $\sum u_{n}^{'}$ converge normalement sur $[a; + \infty [$ .

En revanche, il n’y a pas convergence en $0$ , ni convergence uniforme sur $] 0; a]$ car le théorème de la double limite ne peut s’appliquer en $0$ (puisque la série des limites diverge).

Exercice 10 4743

Étudier la convergence simple puis uniforme sur $ℝ$ de la série de fonctions $\sum u_{n}$ avec

u_{n} (t) = \frac{\sin (n t)}{n^{2} + 1} pour tout t \in ℝ .

Exercice 11 2838 MINES (MP)

Pour $α \in ℝ$ et $n \in ℕ^{*}$ , on considère les fonctions $u_{n}$ définies sur $[0; 1]$ par

u_{n} (x) = n^{α} x^{n} (1 - x) .

(a)

Pour quels réels $α$ la suite $(u_{n})$ converge-t-elle uniformément sur $[0; 1]$ ?
(b)

Pour quels réels $α$ la série $\sum u_{n}$ converge-t-elle uniformément sur $[0; 1]$ ?

Exercice 12 5429 Correction

Pour $n \in ℕ^{*}$ et $x \in [0; 1]$ , on pose

f_{n} (x) = \frac{x {(1 - x)}^{n}}{\ln (n + 1)} .

(a)

Étudier la convergence simple de la série de fonctions $\sum f_{n}$ .
(b)

Étudier la convergence uniforme de la série de fonctions $\sum f_{n}$ .
(c)

Étudier la convergence normale de la série de fonctions $\sum f_{n}$ .

Solution

(a)

Cas: $x = 0$ . La série $\sum f_{n} (0)$ est la série nulle et donc converge.

Cas: $x \in] 0; 1]$ . On remarque

$n^{2} f_{n} (x) = \frac{n^{2} x {(1 - x)}^{n}}{\ln (n + 1)} \to_{n \to + \infty}^{} 0$

et la série $\sum f_{n} (x)$ converge absolument.

On en déduit que la série de fonctions converge simplement sur $[0; 1]$ .

(b)

Par convergence simple, on peut introduire

R_{n} (x) = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} f_{k} (x) pour tout x \in [0; 1] .

Pour $x = 0$ , on a simplement $R_{n} (x) = 0$ . Pour $x \in] 0; 1]$ ,

	$\| R_{n} (x) \|$	$= \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{x {(1 - x)}^{k}}{\ln (k + 1)}$
		$\leq \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{x {(1 - x)}^{k}}{\ln (n + 1)}$
		$= \frac{x}{\ln (n + 1)} \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} {(1 - x)}^{k}$
		$= \frac{x}{\ln (n + 1)} \cdot \frac{{(1 - x)}^{n + 1}}{1 - (1 - x)}$
		$= \frac{{(1 - x)}^{n + 1}}{\ln (n + 1)} \leq \frac{1}{\ln (n + 1)} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

Par cette majoration uniforme, on conclut que la série de fonctions $\sum f_{n}$ converge uniformément sur $[0; 1]$ .

(c)

L’étude des variations de $f_{n}$ donne

$sup_{x \in [0; 1]} | f_{n} (x) |$ $= f_{n} (\frac{1}{n + 1})$

$= \frac{1}{(n + 1) \ln (n + 1)} {(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n}$

$\underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{n \ln (n)} .$

Sachant la divergence de la série $\sum \frac{1}{n \ln (n)}$ , on peut conclure à la non-convergence normale de $\sum f_{n}$ .

Exercice 13 2999 CCINP (MP)Correction

(a)

Déterminer la nature de la série $\sum \frac{1}{n \ln (n)}$ .

Pour $x \in ℝ$ et $n \geq 2$ , on pose

f_{n} (x) = \frac{x e^{- n x}}{\ln (n)} .

(b)

Étudier la convergence simple de $\sum f_{n}$ .
(c)

La série de fonctions $\sum f_{n}$ converge-t-elle normalement sur $[0; + \infty [$ ?
(d)

Soit $[a; b] \subset] 0; + \infty [$ . Montrer la convergence uniforme de $\sum f_{n}$ sur $[a; b]$ .
(e)

Montrer la convergence uniforme de $\sum f_{n}$ sur $[0; + \infty [$ .

On pourra étudier le reste de la série de fonctions.

Solution

(a)

La fonction $x \mapsto \frac{1}{x \ln (x)}$ est continue par morceaux, décroissante et positive sur $[2; + \infty [$ . Par comparaison série-intégrale,

$\sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{k \ln (k)} \geq \int_{2}^{n + 1} \frac{d t}{t \ln (t)} = {[\ln (\ln (t))]}_{2}^{n + 1} = \ln (\ln (n + 1)) - \ln (\ln (2)) \to_{n \to + \infty}^{} + \infty .$

La série étudiée diverge.
(b)

Soit $x \in ℝ$ .

Cas: $x < 0$ . On observe

$f_{n} (x) \to_{n \to + \infty}^{} - \infty .$

La série $\sum f_{n} (x)$ diverge grossièrement

Cas: $x = 0$ . La suite $(f_{n} (0))$ est constante égale à $0$ , la série $\sum f_{n} (0)$ converge.

Cas: $x > 0$ . On observe

$n^{2} f_{n} (x) \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

La série $\sum f_{n} (x)$ est absolument convergente donc convergente.

Finalement, la série de fonctions $\sum f_{n}$ converge simplement sur $[0; + \infty [$ .
(c)

La fonction $f_{n}$ est continue sur $[0; + \infty [$ et de limite nulle en $+ \infty$ , c’est une fonction bornée. Cependant,

${∥ f_{n} ∥}_{\infty} = sup_{x \in [0; + \infty [} | f_{n} (x) | \geq f_{n} (\frac{1}{n}) = \frac{e^{- 1}}{n \ln (n)} .$

Par comparaison de séries à termes positifs, $\sum {∥ f_{n} ∥}_{\infty}$ diverge.
(d)

Soit $[a; b] \subset] 0; + \infty [$ . Pour tout $x \in [a; b]$ ,

$| f_{n} (x) | = \frac{x e^{- n x}}{\ln (n)} \leq \frac{b e^{- n a}}{\ln (n)} = α_{n} .$

Ce majorant uniforme est sommable car

$n^{2} α_{n} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

On en déduit que $\sum f_{n}$ converge normalement et donc uniformément sur $[a; b]$ .

(e)

Soit $n \geq 2$ . Pour $x \in [0; + \infty]$ ,

	$\| \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{x e^{- k x}}{\ln (k)} \|$	$= \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{x e^{- k x}}{\ln (k)} \leq \frac{x}{\ln (n + 1)} \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} {(e^{- x})}^{k}$
		$\leq \frac{x}{\ln (n + 1)} \sum_{k = 1}^{+ \infty} {(e^{- x})}^{k} = \frac{1}{\ln (n + 1)} \cdot \underset{\begin{matrix} φ (x) \end{matrix}}{\underset{⏟}{\frac{x e^{- x}}{1 - e^{- x}}}} .$

La fonction $φ$ est continue sur $] 0; + \infty [$ et admet des limites finies en $0^{+}$ et $+ \infty$ . Cette fonction est donc bornée par un certain réel $M$ et alors

sup_{x \in [0; + \infty [} | \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{x e^{- k x}}{\ln (k)} | \leq \frac{M}{\ln (n + 1)} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

La série de fonctions $\sum f_{n}$ converge uniformément sur $[0; + \infty [$ .

Exercice 14 6031 CCINP (MP)Correction

Pour $n \in ℕ$ et $x \in [0; π]$ , on pose

f_{n} (x) = \cos^{n} (x) \sin (x) .

(a)

Étudier la convergence simple puis uniforme de la suite ${(f_{n})}_{n \in ℕ}$ sur $[0; π]$ .
(b)

Étudier la convergence simple puis normale de la série $\sum f_{n}$ sur $[0; π]$ .
(c)

Calculer explicitement, lorsqu’elle existe, la somme

$S (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \cos^{n} (x) \sin (x) .$

La fonction $S$ est-elle continue sur $[0; π]$ ?
(d)

La série de fonction $\sum f_{n}$ converge-t-elle uniformément sur $[0; π]$ ?

Retrouver ce résultat par un calcul direct.

Solution

(a)

Soit $x \in [0; π]$ .

Cas: $x \in] 0; π [$ . On a $| \cos (x) | < 1$ donc par convergence d’une suite géométrique

$f_{n} (x) = \cos^{n} (x) \sin (x) \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

Cas: $x = 0$ ou $x = π$ . On a $\sin (x) = 0$ . Par constance,

$f_{n} (x) = \cos^{n} (x) \sin (x) = 0 \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

La suite ${(f_{n})}_{n \in ℕ}$ converge simplement vers la fonction identiquement nulle sur $[0; π]$ .

Pour $n \in ℕ$ , $f_{n}$ est de classe $𝒞^{1}$ sur $[0; π]$ avec

$f_{n}^{'} (x) = \cos^{n + 1} (x) - n \cos^{n - 1} (x) \underset{\begin{matrix} = 1 - \cos^{2} (x) \end{matrix}}{\underset{⏟}{\sin^{2} (x)}} = (n + 1) \cos^{n + 1} (x) - n \cos^{n - 1} (x) .$

En posant

$α_{n} = \arccos [{(\frac{n}{n + 1})}^{1 / 2}]$

on peut écrire

$f_{n}^{'} (x) = (n + 1) \cos^{n - 1} (x) (\cos^{2} (x) - \cos^{2} (α_{n}))$

ce qui permet d’identifier le signe de $f_{n}^{'} (x)$ sur $[0; π / 2]$ puis les variations de $f_{n}$ (pour $n \geq 1$ )

De plus, $f_{n} (π - x) = {(- 1)}^{n} f_{n} (x)$ et donc

$sup_{x \in [0; π]} | f_{n} (x) |$ $= sup_{x \in [0; π / 2]} | f_{n} (x) | = f_{n} (α_{n}) = {(\frac{n}{n + 1})}^{n / 2} {(1 - \frac{n}{n + 1})}^{1 / 2}$

$= \frac{1}{\sqrt{n + 1}} {(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n / 2} \leq \frac{1}{\sqrt{n + 1}} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

La suite ${(f_{n})}_{n \in ℕ}$ converge uniformément vers la fonction identiquement nulle sur $[0; π]$ .
(b)

En répétant la discussion menée pour l’étude de la convergence simple de $f_{n}$ , on obtient la convergence simple de $\sum f_{n}$ sur $[0; π]$ .

On a

$sup_{x \in [0; π]} | f_{n} (x) | = \frac{1}{\sqrt{n + 1}} {(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n / 2}$

avec

${(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n / 2} = \exp [\frac{n}{2} \ln (1 - \frac{1}{n + 1})] \to_{n \to + \infty}^{} e^{- 1 / 2}$

et donc

$sup_{x \in [0; π]} | f_{n} (x) | \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{\sqrt{e n}} .$

Ce terme n’est pas sommable, la série $\sum f_{n}$ ne converge pas normalement sur $[0; π]$ .
(c)

Pour $x = 0$ ou $x = π$ , on a immédiatement $S (x) = 0$ .

Pour $x \in] 0; π [$ , on obtient par sommation géométrique

$S (x) = \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} .$

Par opérations sur les fonctions, $S$ est continue sur $] 0; π [$ . On remarque

$S (x) \underset{x \to 0^{+}}{\sim} \frac{x}{x^{2} / 2} = \frac{1}{2 x} \to_{x \to 0^{+}}^{} + \infty .$

La fonction $S$ n’est pas continue en $0$ (ni en $π$ ).
(d)

$S$ est la somme d’une série de fonctions continues. S’il y avait convergence uniforme sur $[0; π]$ , la somme $S$ serait continue. Ce n’est pas le cas, il n’y a donc pas convergence uniforme.

On retrouve ce résultat directement. Pour $n \in ℕ$ ,

$sup_{x \in [0; π]} | \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} f_{k} (x) | \geq \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} f_{k} (α_{n}) = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{n + 1}} {(\frac{n}{n + 1})}^{k / 2} .$

Par sommation géométrique,

$sup_{x \in [0; π]} | \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} f_{k} (x) |$ $\geq \frac{1}{\sqrt{n + 1}} {(\frac{n}{n + 1})}^{(n + 1) / 2} \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{n}{n + 1}}}$

$= \frac{1}{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}} {(1 - \frac{1}{n + 1})}^{(n + 1) / 2}$

$\underset{n \to + \infty}{\sim} 2 \sqrt{n} e^{- 1 / 2} \to_{n \to + \infty}^{} + \infty .$

La série de fonctions $\sum f_{n}$ ne converge pas uniformément uniformément sur $[0; π]$ .

Exercice 15 3295 Correction

Soit ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ une suite réelle positive et décroissante. Pour tout $n \in ℕ$ , on pose

u_{n} (x) = a_{n} x^{n} (1 - x) avec x \in [0; 1] .

(a)

Montrer la convergence simple de la série de fonctions $\sum u_{n}$ .
(b)

Montrer que $\sum u_{n}$ converge normalement si, et seulement si, la série $\sum a_{n} / n$ converge.
(c)

Montrer que $\sum u_{n}$ converge uniformément si, et seulement si, $(a_{n})$ tend vers $0$ .

Solution

(a)

Pour $x = 1$ , $u_{n} (x) = 0$ et la série numérique $\sum u_{n} (x)$ est convergente.

Pour $x \in [0; 1 [$ , on peut écrire $0 \leq u_{n} (x) \leq a_{0} x^{n} (1 - x) = λ x^{n}$ . Or il y a convergence de la série numérique $\sum x^{n}$ et donc, par comparaison de séries à termes positifs, la série $\sum u_{n} (x)$ converge.
(b)

Après étude de fonction, on obtient

${∥ u_{n} ∥}_{\infty} = sup_{x \in [0; 1]} | u_{n} (x) | = \frac{a_{n}}{n + 1} {(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n} \sim \frac{a_{n}}{e n} .$

Par équivalence de séries à termes positifs, la convergence normale de $\sum u_{n}$ équivaut à la convergence de $\sum a_{n} / n$ .
(c)

Considérons le reste

$R_{n} (x) = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} a_{k} x^{k} (1 - x) .$

Par la décroissance de la suite $(a_{n})$ ,

$0 \leq R_{n} (x) \leq a_{n + 1} \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} x^{k} (1 - x) .$

Ainsi, pour $x \in [0; 1 [$ ou $x = 1$ , on obtient

$0 \leq R_{n} (x) \leq a_{n + 1} .$

Par cette majoration uniforme, on peut affirmer que, si $(a_{n})$ tend vers $0$ , alors la série de fonctions $\sum u_{n}$ converge uniformément.

Inversement, supposons la série $\sum u_{n}$ uniformément convergente.

La suite $(a_{n})$ étant décroissante et positive, elle admet nécessairement une limite $ℓ \geq 0$ . On a alors

$\forall x \in [0; 1 [, R_{n} (x) \geq \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} ℓ x^{k} (1 - x) = ℓ x^{n + 1} \geq 0 .$

On obtient donc

$\forall x \in [0; 1 [, ℓ x^{n + 1} \leq {∥ R_{n} ∥}_{\infty} .$

En faisant $x \to 1^{-}$ ,

$ℓ \leq {∥ R_{n} ∥}_{\infty} .$

Cela valant pour tout $n \in ℕ$ , on conclut $ℓ = 0$

Exercice 16 5829 Correction

Pour $x \in ℝ$ et $n \in ℕ^{*}$ , on pose

f_{n} (x) = \frac{e^{i n x}}{n} et S_{n} (x) = \sum_{k = 1}^{n} e^{i k x} .

(a)

Montrer que pour tout $x \in ℝ ∖ 2 π ℤ$ et tout $n \in ℕ$

$| S_{n} (x) | \leq \frac{1}{| \sin (\frac{x}{2}) |} .$
(b)

En déduire que la série de fonctions $\sum_{n \geq 1} f_{n}$ converge simplement sur $ℝ ∖ 2 π ℤ$ .
(c)

Montrer que la série de fonctions $\sum_{n \geq 1} f_{n}$ converge uniformément sur $[a; 2 π - a]$ pour tout $a \in] 0; π [$ .

Solution

(a)

Soit $x \in ℝ ∖ 2 π ℤ$ . Par sommation géométrique de raison $q = e^{i x}$ avec $q \neq 1$ ,

$S_{n} (x) = e^{i x} \frac{1 - e^{i n x}}{1 - e^{i x}} = e^{i x} \frac{e^{i n x} - 1}{e^{i x} - 1} .$

Par factorisation de l’exponentielle imaginaire d’angle moitié,

$S_{n} (x) = e^{i (n + 1) x / 2} \frac{\sin (\frac{n}{2} x)}{\sin (\frac{x}{2})} .$

On en déduit

$| S_{n} (x) | = | \frac{\sin (\frac{n}{2} x)}{\sin (\frac{x}{2})} | \leq \frac{1}{| \sin (\frac{x}{2}) |} .$
(b)

Soit $x \in ℝ ∖ 2 π ℤ$ . Pour $n \geq 1$ , on remarque $e^{i n x} = S_{n} (x) - S_{n - 1} (x)$ avec $S_{0} (x) = 0$ . On a alors pour $N \in ℕ^{*}$

$\sum_{n = 1}^{N} f_{n} (x) = \sum_{n = 1}^{N} \frac{S_{n} (x) - S_{n - 1} (x)}{n} = \sum_{n = 1}^{N} \frac{S_{n} (x)}{n} - \sum_{n = 1}^{N} \frac{S_{n - 1} (x)}{n} .$

Après glissement d’indice,

$\sum_{n = 1}^{N} f_{n} (x)$ $= \sum_{n = 1}^{N} \frac{S_{n} (x)}{n} - \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{S_{n} (x)}{n + 1}$

$= \frac{S_{N} (x)}{N} + \sum_{n = 1}^{N - 1} (\frac{S_{n} (x)}{n} - \frac{S_{n} (x)}{n + 1}) - S_{0} (x)$

$= \frac{S_{N} (x)}{N} + \sum_{n = 1}^{N - 1} \frac{S_{n} (x)}{n (n + 1)} .$

D’une part,

$\frac{S_{N} (x)}{N} \underset{N \to + \infty}{=} O (\frac{1}{N}) \to_{N \to + \infty}^{} 0$

et, d’autre part,

$\sum_{n = 1}^{N - 1} \frac{S_{n} (x)}{n (n + 1)} \to_{N \to + \infty}^{} \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{S_{n} (x)}{n (n + 1)}$

avec absolument convergence car

$\frac{S_{n} (x)}{n (n + 1)} \underset{n \to + \infty}{=} O (\frac{1}{n^{2}}) .$

Par opérations sur les limites,

$\sum_{n = 1}^{N} f_{n} (x) \to_{N \to + \infty}^{} f (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{S_{n} (x)}{n (n + 1)} .$
(c)

Soit $a \in] 0; π [$ . Pour $x \in [a; 2 π - a]$ ,

$| S_{n} (x) | \leq \frac{1}{| \sin (\frac{x}{2}) |} \leq M avec M = \frac{1}{| \sin (\frac{a}{2}) |} .$

On a alors

$| f (x) - \sum_{n = 1}^{N} f_{n} (x) |$ $\leq \frac{| S_{N} (x) |}{N} + \sum_{n = N}^{+ \infty} \frac{| S_{n} (x) |}{n (n + 1)}$

$\leq \frac{M}{N} + \sum_{n = N}^{+ \infty} \frac{M}{n (n + 1)} = \frac{2 M}{N}$

et donc

$sup_{x \in [a; 2 π - a]} | f (x) - \sum_{n = 1}^{N} f_{n} (x) | \leq \frac{2 M}{N} \to_{N \to + \infty}^{} 0 .$

La série de fonctions $\sum_{n \geq 1} f_{n}$ converge uniformément sur $[a; 2 π - a]$ .

Exercice 17 5050

Étudier la convergence simple, la convergence normale et la convergence uniforme sur $ℝ_{+}$ de la série des fonctions

f_{n} : x \mapsto \frac{\ln (1 + x)}{\ln (n)} e^{- n x} avec n \geq 2 .

[<] Étude pratique de la limite d'une suite de fonctions [>] Intégration terme à terme

Édité le 09-06-2025

	$sup_{x \in [0; 1]} \| f_{n} (x) \|$	$= f_{n} (\frac{1}{n + 1})$
		$= \frac{1}{(n + 1) \ln (n + 1)} {(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n}$
		$\underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{n \ln (n)} .$

	$sup_{x \in [0; π]} \| f_{n} (x) \|$	$= sup_{x \in [0; π / 2]} \| f_{n} (x) \| = f_{n} (α_{n}) = {(\frac{n}{n + 1})}^{n / 2} {(1 - \frac{n}{n + 1})}^{1 / 2}$
		$= \frac{1}{\sqrt{n + 1}} {(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n / 2} \leq \frac{1}{\sqrt{n + 1}} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

	$sup_{x \in [0; π]} \| \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} f_{k} (x) \|$	$\geq \frac{1}{\sqrt{n + 1}} {(\frac{n}{n + 1})}^{(n + 1) / 2} \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{n}{n + 1}}}$
		$= \frac{1}{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}} {(1 - \frac{1}{n + 1})}^{(n + 1) / 2}$
		$\underset{n \to + \infty}{\sim} 2 \sqrt{n} e^{- 1 / 2} \to_{n \to + \infty}^{} + \infty .$

	$\sum_{n = 1}^{N} f_{n} (x)$	$= \sum_{n = 1}^{N} \frac{S_{n} (x)}{n} - \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{S_{n} (x)}{n + 1}$
		$= \frac{S_{N} (x)}{N} + \sum_{n = 1}^{N - 1} (\frac{S_{n} (x)}{n} - \frac{S_{n} (x)}{n + 1}) - S_{0} (x)$
		$= \frac{S_{N} (x)}{N} + \sum_{n = 1}^{N - 1} \frac{S_{n} (x)}{n (n + 1)} .$

	$\| f (x) - \sum_{n = 1}^{N} f_{n} (x) \|$	$\leq \frac{\| S_{N} (x) \|}{N} + \sum_{n = N}^{+ \infty} \frac{\| S_{n} (x) \|}{n (n + 1)}$
		$\leq \frac{M}{N} + \sum_{n = N}^{+ \infty} \frac{M}{n (n + 1)} = \frac{2 M}{N}$

Étude de la convergence d'une série de fonctions