[<] Étude pratique de la limite d'une suite de fonctions [>] Intégration terme à terme

 
Exercice 1  895  Correction  

Pour n*, on considère fn: définie par

fn(x)=1n2+x2.

Étudier la convergence simple, uniforme et normale de la série de fonctions fn.

Solution

Pour x,

|fn(x)|1n2.

Puisque 1/n2 converge, il y a convergence normale, donc uniforme, donc simple sur .

 
Exercice 2  896  Correction  

Pour n*, on considère fn: définie par

fn(x)=(-1)nn+x2.

Étudier la convergence simple, uniforme et normale de la série de fonctions fn.

Solution

On a fn=1/n et 1/n diverge: il n’y a pas convergence normale sur .

Pour x, la série numérique fn(x) satisfait le critère spécial des séries alternées, il y a donc convergence simple sur et

|n=N+1+fn(x)|1N+1+x21N+1N+0

Il y a donc convergence uniforme sur .

 
Exercice 3  4744  

Étudier la convergence simple, puis la convergence uniforme, de la série un de fonctions définies sur + par

un(t)=(-1)nn+t avec n*.
 
Exercice 4  897  Correction  

On note 1I la fonction caractéristique d’un intervalle I:

1I(x)={1 si xI0 sinon.

Étudier la convergence simple, uniforme et normale sur [0;+[ de la série des fonctions

un(x)=1n+11[n;n+1[(x).

Solution

Pour tout x[0;+[, introduisons k=x. Pour Nk+1, on a

n=0Nun(x)=1k+1

et la série de fonctions converge donc simplement sur [0;+[ vers la fonction S:[0;+[ déterminée par

S(x)=1k+1pour tout x[k;k+1[ avec k.

Pour tout x[0;+[,

S(x)-n=0Nun(x)={0 si x<N+1S(x) si xN+1

et donc

|S(x)-n=0Nun(x)|1N+2N+0.

Il y a donc convergence uniforme sur [0;+[.

Enfin, un=1/(n+1) n’est pas sommable, il n’y a pas convergence normale sur [0;+[.

 
Exercice 5  3770    CCP (MP)

On considère la série des fonctions

fn(x)=nx2e-xn avec x+ et n.
  • (a)

    Étudier sa convergence simple, sa convergence normale et sa convergence uniforme sur +.

  • (b)

    Même question sur [a;+[ (avec a>0).

 
Exercice 6  3785    CCP (MP)Correction  

Pour n, on introduit l’application sur fn:[0;+[ définie par

fn(x)=xne-xn!.
  • (a)

    Étudier les convergences de la suite de fonctions (fn).

  • (b)

    Étudier les convergences de la série de fonctions fn.

Solution

  • (a)

    Par croissance comparée, la suite de fonctions (fn) converge simplement vers la fonction nulle sur [0;+[.

    La fonction fn est de classe 𝒞1 et

    fn(x)=1n!xn-1(n-x)e-x.

    On peut alors dresser le tableau de variations de fn et affirmer

    supx[a;+[|fn(x)|=fn(n)=nnn!e-n.

    Par la formule de Stirling,

    n!n+2πn(ne)n

    donc

    fn(n)n+12πnn+0.

    On en déduit que la suite de fonctions (fn) converge uniformément sur [0;+[.

  • (b)

    Par référence à la série exponentielle, la série de fonctions fn converge simplement sur et sa somme est égale à 1.

    Il ne peut y avoir convergence normale sur [a;+[ car fn(n) n’est pas sommable.

    En revanche, sur [0;a], il y a convergence normale car pour n assez grand de sorte que na, on a

    supx[0;a]|fn(x)|=fn(a).

    Il y a a fortiori convergence uniforme sur [0;a].

    Par l’absurde, s’il y a convergence uniforme sur une voisinage de +, on obtient par le théorème de la double limite

    limx+n=0+fn(x)=n=0+limx+fn(x)

    ce qui donne l’absurdité 1=0.

    Il n’y a donc pas convergence uniforme sur [0;+[.

 
Exercice 7  3988    NAVALE (MP)Correction  

Pour n, on considère un:+ définie par

un(x)=x(1+n2x)2

Étudier la convergence simple et la convergence uniforme des séries de fonctions un et un.

Solution

La fonction un est dérivable sur + avec

un(x)=1-n2x(1+n2x)3.

Les variations de un sur [0;+[ fournissent

un=un(1/n2)=14n2.

La série de fonctions un converge normalement sur [0;+[, a fortiori uniformément et simplement.

Soit a>0. Pour xa,

|un(x)|1+n2x(1+n2x)3=1(1+n2a)2n+1a21n4.

La série de fonctions un converge normalement sur [a;+[.

En revanche, il n’y a pas convergence en 0, ni convergence uniforme sur ]0;a] car le théorème de la double limite ne peut s’appliquer en 0 (puisque la série des limites diverge).

 
Exercice 8  4743   

Étudier la convergence simple, puis la convergence uniforme, de la série un de fonctions définies sur par

un(t)=sin(nt)n2+1.
 
Exercice 9  2838     MINES (MP)

Pour α et n*, on considère les fonctions un définies sur [0;1] par

un(x)=nαxn(1-x).
  • (a)

    Pour quels réels α la suite (un) converge-t-elle uniformément sur [0;1]?

  • (b)

    Pour quels réels α la série un converge-t-elle uniformément sur [0;1]?

 
Exercice 10  5429   Correction  

Pour n* et x[0;1], on pose

fn(x)=x(1-x)nln(n+1).
  • (a)

    Étudier la convergence simple de la série de fonctions fn.

  • (b)

    Étudier la convergence uniforme de la série de fonctions fn.

  • (c)

    Étudier la convergence normale de la série de fonctions fn.

Solution

  • (a)

    Cas: x=0. La série fn(0) est la série nulle et donc converge.

    Cas: x]0;1]. On remarque

    n2fn(x)=n2x(1-x)nln(n+1)n+0

    et la série fn(x) converge absolument.

    On en déduit que la série de fonctions converge simplement sur [0;1].

  • (b)

    Par convergence simple, on peut introduire

    Rn(x)=k=n+1+fk(x)pour tout x[0;1].

    Pour x=0, on a simplement Rn(x)=0. Pour x]0;1],

    |Rn(x)| =k=n+1+x(1-x)kln(k+1)
    k=n+1+x(1-x)kln(n+1)
    =xln(x+1)k=n+1+(1-x)k+1
    =xln(x+1)(1-x)n+11-(1-x)
    =(1-x)n+1ln(n+1)1ln(n+1)n+0.

    Par cette majoration uniforme, on conclut que la série de fonctions fn converge uniformément sur [0;1].

  • (c)

    L’étude des variations de fn donne

    supx[0;1]|fn(x)| =fn(1n+1)
    =1(n+1)ln(n+1)(1-1n+1)n
    n+1e1nln(n).

    Sachant la divergence de la série 1nln(n), on peut conclure à la non-convergence normale de fn.

 
Exercice 11  3295   Correction  

Soit (an)n une suite réelle positive et décroissante. Pour tout n, on pose

un(x)=anxn(1-x) avec x[0;1].
  • (a)

    Montrer la convergence simple de la série de fonctions un.

  • (b)

    Montrer que un converge normalement si, et seulement si, la série an/n converge.

  • (c)

    Montrer que un converge uniformément si, et seulement si, (an) tend vers 0.

Solution

  • (a)

    Pour x=1, un(x)=0 et la série numérique un(x) est convergente.

    Pour x[0;1[, on peut écrire 0un(x)a0xn(1-x)=λxn. Or il y a convergence de la série numérique xn et donc, par comparaison de séries à termes positifs, la série un(x) converge.

  • (b)

    Après étude de fonction, on obtient

    un=supx[0;1]|un(x)|=ann+1(1-1n+1)nanen.

    Par équivalence de séries à termes positifs, la convergence normale de un équivaut à la convergence de an/n.

  • (c)

    Considérons le reste

    Rn(x)=k=n+1+akxk(1-x).

    Par la décroissance de la suite (an),

    0Rn(x)an+1k=n+1+xk(1-x).

    Ainsi, pour x[0;1[ ou x=1, on obtient

    0Rn(x)an+1.

    Par cette majoration uniforme, on peut affirmer que, si (an) tend vers 0, alors la série de fonctions un converge uniformément.

    Inversement, supposons la série un uniformément convergente.

    La suite (an) étant décroissante et positive, elle admet nécessairement une limite 0. On a alors

    x[0;1[,Rn(x)k=n+1+xk(1-x)=xn+10.

    On obtient donc

    x[0;1[,xn+1Rn.

    En faisant x1-,

    Rn.

    Cela valant pour tout n, on conclut =0

 
Exercice 12  5050    

Étudier la convergence simple, la convergence normale et la convergence uniforme sur + de la série des fonctions

fn:xln(1+x)ln(n)e-nx avec n2.

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Édité le 08-11-2019

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