On introduit

de sorte que, sous réserve d’existence,

• (a)

  Soit $z\in D$.

  Cas: $z=0$. La convergence de la série $\sum u_n(z)$ est immédiate.

  Cas: $z\ne 0$. Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, $u_n(z)\ne 0$ et

  $$\left|\frac{u_{n+1}(z)}{u_n(z)}\right|=\frac{n}{n+1}|z|\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}|z|\text{.}$$

  Par le critère de d’Alembert, la série $\sum u_n(z)$ converge absolument.

  Finalement, la série de fonctions $\sum u_n$ converge simplement sur $D$ ce qui assure la définition de $L$ sur $D$.

• (b)

  Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, la fonction $u_n$ est continue sur $D$.

  Soit $a\in ]0;1[$. Pour tout $z\in \overline{D_a}=\{z\in ℂ||z|\le a\}$,

  $$\left|u_n(z)\right|=\frac{1}{n}{|z|}^n\le a^n\text{.}$$

  Puisque la série $\sum a^n$ converge, la série de fonctions $\sum u_n$ converge normalement sur $\overline{D_a}$.

  Par convergence uniforme, la fonction $L$ est continue sur $\overline{D_a}$. Or cela vaut pour tout $a\in ]0;1[$, la fonction $L$ est donc continue sur $D$.

On introduit

Sous réserve d’existence, $\zeta (s)$ est la somme de la série $\sum u_n(s)$.

• (a)

  Soit $z=x+\mathrm{i}y\in \mathrm{\Omega }$. On remarque

  $$\left|\frac{1}{n^z}\right|=\frac{1}{n^x}\left|{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}y\ln (n)}\right|=\frac{1}{n^x}\text{.}$$

  Puisque $x>1$, la série $\sum u_n(z)$ converge absolument et donc converge.

  Par convergence simple sur $\mathrm{\Omega }$, la fonction $\zeta$ est définie sur $\mathrm{\Omega }$.

• (b)

  Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, $u_n$ est continue sur $\mathrm{\Omega }$.

  Soient $a\in ]1;+\mathrm{\infty }[$ et ${\mathrm{\Omega }}_a=\{z\in ℂ|\mathrm{Re}(z)\ge a\}$.

  Pour $z\in {\mathrm{\Omega }}_a$,

  $$\left|\frac{1}{n^z}\right|=\frac{1}{n^x}\le \frac{1}{n^a}={\alpha }_n\text{.}$$

  La série $\sum {\alpha }_n$ converge et donc $\sum u_n$ converge normalement sur ${\mathrm{\Omega }}_a$.

  Par convergence uniforme, $\zeta$ est continue sur ${\mathrm{\Omega }}_a$. Or cela vaut pour tout $a>1$ et donc $\zeta$ est continue sur $\mathrm{\Omega }$.

• (c)

  Pour $n\in {\mathbb{N}}^{*}$,

  $$u_n(z)\underset{\mathrm{Re}\left(z\right)\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{\mathrm{\ell }}_n=\{\begin{array}{cc}1\hfill & \text{ si }n=1\hfill \\ 0\hfill & \text{ sinon.}\hfill \end{array}$$

  Par convergence uniforme sur ${\mathrm{\Omega }}_a$, on peut employer le théorème de la double limite et affirmer

  $$\zeta (z)\underset{\mathrm{Re}\left(z\right)\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{\ell }}_n=1\text{.}$$