Analyse: Soit $F$ un sous-corps de $(\mathbb{Q},+,\times )$.

$0$ et $1$ sont éléments de $F$.

Par récurrence et par stabilité par addition, on obtient

$$\forall n\in \mathbb{N},n\in F\text{.}$$

Par stabilité par passage à l’opposée, on a encore

$$\forall p\in \mathbb{Z},p\in F\text{.}$$

Par stabilité passage à l’inverse,

$$\forall q\in {\mathbb{N}}^{*}\mathrm{,\hspace{0.25em}1}/q\in F\text{.}$$

Enfin, par stabilité par produit,

$$\forall r=p/q\in \mathbb{Q},r\in F\text{.}$$

Ainsi, $F=\mathbb{Q}$.

Synthèse: Évidemment, $\mathbb{Q}$ est un sous-corps de $(\mathbb{Q},+,\times )$.

Le corps $(\mathbb{Q},+,\times )$ ne possède donc qu’un seul sous-corps, à savoir $\mathbb{Q}$.