[<] Sous-groupes [>] Anneaux et corps

 
Exercice 1  2204  Correction  

Soit (G,) un groupe à n éléments.
Justifier que sa table de composition est un carré latin c’est à dire que tout élément de G figure une fois et une seule dans chaque ligne et dans chaque colonne.

Solution

Si un élément figure deux fois dans une même ligne correspondant aux valeurs de composition avec x, c’est qu’il existe ab tel que xa=xb.
Or tout élément d’un groupe est régulier, ce cas de figure ci-dessus est donc impossible.
Comme le groupe G à n élément, qu’il y a n cases sur chaque ligne et que chaque ligne ne peut contenir deux fois le même élément, chaque ligne contient chaque élément de G une fois et une seule.
On raisonne de même avec les colonnes.

 
Exercice 2  2214   Correction  

On considère les applications de E={0,1} dans lui-même définies par:

i(x)=x,f(x)=1-x,g(x)=1x,h(x)=xx-1,k(x)=x-1x,(x)=11-x.
  • (a)

    Démontrer que ce sont des permutations de E.

  • (b)

    Construire la table donnant la composée de deux éléments quelconques de l’ensemble G={i,f,g,h,k,l}.

  • (c)

    Montrer que G muni de la composition des applications est un groupe non commutatif.

Solution

  • (a)

    Il est clair que i, f et g sont des permutations de E.

    h(x)=xx-1=1+1x-1=1-11-x=f(g(f(x)))

    donc h=fgf et donc h𝒮E.
    De même, k=fg𝒮E et =gf𝒮E

  • (b)
    ifghkiifghkffikghggikhfhhkifgkkhfgighfik.
  • (c)

    G est un sous groupe de (𝒮E,) car G contient i, est stable par composition et par passage à l’inverse.
    De plus, ce groupe n’est pas commutatif car gffg.

 
Exercice 3  4607   

On dit qu’un élément a d’un ensemble E muni d’une loi est régulier lorsque, pour tout (x,y)E2,

ax=ay x=y(régularité à gauche)
xa=ya x=y(régularité à droite).
  • (a)

    Montrer que tous les éléments d’un groupe sont réguliers.

  • (b)

    Soit E un ensemble fini muni d’une loi associative pour laquelle il existe un élément régulier. Montrer que la loi possède un élément neutre.

  • (c)

    Soit G un ensemble fini non vide muni d’une loi associative pour laquelle tous les éléments sont réguliers. Montrer que G est un groupe.

 
Exercice 4  4604   

Soit G un groupe possédant 4 éléments. Montrer que G est commutatif.

 
Exercice 5  4605   

Soit G un groupe noté multiplicativement possédant un nombre pair d’éléments.

Montrer qu’il existe xG tel que x2=1 et x1.

 
Exercice 6  4608   

Soit (G,) un groupe possédant 2n éléments avec n2.

On suppose qu’il existe deux sous-groupes H et K possédant chacun n éléments et vérifiant HK={e}. Montrer n=2.

 
Exercice 7  4609    

Soit (G,) un groupe fini dans lequel x2=e pour tout xE.

  • (a)

    Soient H un sous-groupe strict11 1 Un sous-groupe strict est un sous-groupe différent du groupe. de (G,) et a un élément de GH.

    Montrer que K=HH avec H={ax|xH} est un sous-groupe de G.

  • (b)

    Avec les notations qui précèdent, donner le cardinal de K en fonction de celui de H.

  • (c)

    En déduire que le cardinal de G est une puissance de 2.

 
Exercice 8  4611    

(Conjugaison dans un groupe)

Soit G un groupe fini noté multiplicativement.

  • (a)

    On appelle normalisateur de xG l’ensemble N(x)={gG|gxg-1=x}. Montrer que N(x) est un sous-groupe de G.

  • (b)

    Montrer que l’on définit une relation d’équivalence sur G en posant

    xygG,y=gxg-1.
  • (c)

    On note Cl(x) la classe d’équivalence d’un élément x pour la relation . Montrer

    Card(G)=Card(Cl(x))×Card(N(x)).
  • (d)

    Application: On suppose que G est de cardinal pα avec p premier et α*. Montrer que son centre11 1 Voir sujet 2212. Z(G) n’est pas réduit à {1}.

[<] Sous-groupes [>] Anneaux et corps



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax