Exercice 1 2204 Correction

Soit $(G, ⋆)$ un groupe à $n$ éléments.
Justifier que sa table de composition est un carré latin c’est à dire que tout élément de $G$ figure une fois et une seule dans chaque ligne et dans chaque colonne.

Solution

Si un élément figure deux fois dans une même ligne correspondant aux valeurs de composition avec $x$ , c’est qu’il existe $a \neq b$ tel que $x ⋆ a = x ⋆ b$ .
Or tout élément d’un groupe est régulier, ce cas de figure ci-dessus est donc impossible.
Comme le groupe $G$ à $n$ élément, qu’il y a $n$ cases sur chaque ligne et que chaque ligne ne peut contenir deux fois le même élément, chaque ligne contient chaque élément de $G$ une fois et une seule.
On raisonne de même avec les colonnes.

Exercice 2 2214 Correction

On considère les applications de $E = ℝ ∖ {0,1}$ dans lui-même définies par:

i (x) = x, f (x) = 1 - x, g (x) = \frac{1}{x}, h (x) = \frac{x}{x - 1}, k (x) = \frac{x - 1}{x}, ℓ (x) = \frac{1}{1 - x} .

(a)

Démontrer que ce sont des permutations de $E$ .
(b)

Construire la table donnant la composée de deux éléments quelconques de l’ensemble $G = {i, f, g, h, k, l}$ .
(c)

Montrer que $G$ muni de la composition des applications est un groupe non commutatif.

Solution

(a)

Il est clair que $i$ , $f$ et $g$ sont des permutations de $E$ .

$h (x) = \frac{x}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1} = 1 - \frac{1}{1 - x} = f (g (f (x)))$

donc $h = f \circ g \circ f$ et donc $h \in 𝒮_{E}$ .
De même, $k = f \circ g \in 𝒮_{E}$ et $ℓ = g \circ f \in 𝒮_{E}$
(b)

$\begin{matrix} \circ & i & f & g & h & k & ℓ \\ i & i & f & g & h & k & ℓ \\ f & f & i & k & ℓ & g & h \\ g & g & ℓ & i & k & h & f \\ h & h & k & ℓ & i & f & g \\ k & k & h & f & g & ℓ & i \\ ℓ & ℓ & g & h & f & i & k \end{matrix} .$
(c)

$G$ est un sous groupe de $(𝒮_{E}, \circ)$ car $G$ contient $i$ , est stable par composition et par passage à l’inverse.
De plus, ce groupe n’est pas commutatif car $g \circ f \neq f \circ g$ .

Exercice 3 4607

On dit qu’un élément $a$ d’un ensemble $E$ muni d’une loi $⋆$ est régulier lorsque, pour tout $(x, y) \in E^{2}$ ,

	$a ⋆ x = a ⋆ y$	$⟹ x = y (régularité à gauche)$
	$x ⋆ a = y ⋆ a$	$⟹ x = y (régularité à droite).$

(a)

Montrer que tous les éléments d’un groupe sont réguliers.
(b)

Soit $E$ un ensemble fini muni d’une loi associative pour laquelle il existe un élément régulier. Montrer que la loi $⋆$ possède un élément neutre.
(c)

Soit $G$ un ensemble fini non vide muni d’une loi associative pour laquelle tous les éléments sont réguliers. Montrer que $G$ est un groupe.

Exercice 4 5748 Correction

Soit $a$ un élément d’un groupe $(G, ⋆)$ .

(a)

Établir que l’application $x \mapsto a ⋆ x$ est une permutation de $G$ .
(b)

Application : Montrer que la somme des éléments d’un sous-groupe fini de $(ℂ^{*}, \times)$ est nulle ou égale à $1$ .

Solution

(a)

Méthode: Une permutation de $G$ est une application bijective de $G$ vers $G$ . On vérifie que l’équation $y = a ⋆ x$ possède une unique solution $x$ dans $G$ et ce pour tout $y \in G$ .

Soit $y \in G$ . On a

$y = a ⋆ x \Leftrightarrow x = a^{- 1} ⋆ y .$

L’équation $y = a ⋆ x$ possède donc une unique solution $x$ dans $G$ : l’application $x \mapsto a ⋆ x$ est une permutation de $G$ .
(b)

Soit $G$ un sous-groupe fini de $ℂ^{*}$ . En notant $N = Card G$ , on peut énumérer les éléments de $G$ et écrire

$G = {x_{1}, \dots, x_{N}}$

avec $x_{1}, \dots, x_{N}$ deux à deux distincts.

Cas: $G = {1}$ . La somme des éléments de $G$ vaut $1$ .

Cas: $G \neq {1}$ . On peut introduire $a \in G$ avec $a \neq 1$ . Par le résultat précédent, on peut écrire

$G = {a x_{1}, \dots, a x_{N}}$

ce qui propose une nouvelle énumération des éléments de $G$ . On peut alors calculer la somme des éléments de $G$ en suivant l’une ou l’autre des énumérations, le résultat du calcul ne dépendra pas de l’ordre des éléments car l’addition est commutative

$\sum_{i = 1}^{N} x_{i} = \sum_{i = 1}^{N} a x_{i} .$

En factorisant $a$ ,

$\sum_{i = 1}^{N} x_{i} = a \sum_{i = 1}^{N} x_{i}$

et, sachant $a \neq 1$ ,

$\sum_{i = 1}^{N} x_{i} = 0 .$

Exercice 5 4604

Soit $G$ un groupe possédant $4$ éléments. Montrer que $G$ est commutatif.

Exercice 6 4605

Soit $G$ un groupe noté multiplicativement possédant un nombre pair d’éléments.

Montrer qu’il existe $x \in G$ tel que $x^{2} = 1$ et $x \neq 1$ .

Exercice 7 4608

Soit $(G, ⋆)$ un groupe possédant $2 n$ éléments avec $n \geq 2$ .

On suppose qu’il existe deux sous-groupes $H$ et $K$ possédant chacun $n$ éléments et vérifiant $H \cap K = {e}$ . Montrer $n = 2$ .

Exercice 8 4609

Soit $(G, ⋆)$ un groupe fini dans lequel $x^{2} = e$ pour tout $x \in E$ .

(a)

Soient $H$ un sous-groupe strict¹¹ 1 Un sous-groupe strict est un sous-groupe différent du groupe. de $(G, ⋆)$ et $a$ un élément de $G ∖ H$ .

Montrer que $K = H \cup H^{'}$ avec $H^{'} = {a ⋆ x | x \in H}$ est un sous-groupe de $G$ .
(b)

Avec les notations qui précèdent, donner le cardinal de $K$ en fonction de celui de $H$ .
(c)

En déduire que le cardinal de $G$ est une puissance de $2$ .

Exercice 9 4611

(Conjugaison dans un groupe)

Soit $G$ un groupe fini noté multiplicativement.

(a)

On appelle normalisateur de $x \in G$ , l’ensemble $N (x) = {g \in G | g x g^{- 1} = x}$ . Montrer que $N (x)$ est un sous-groupe de $G$ .
(b)

Montrer que l’on définit une relation d’équivalence $ℛ$ sur $G$ en posant

$x ℛ y \Leftrightarrow \exists g \in G, y = g x g^{- 1} .$
(c)

On note $Cl (x)$ la classe d’équivalence d’un élément $x$ pour la relation $ℛ$ . Montrer

$Card (G) = Card (Cl (x)) \times Card (N (x)) .$
(d)

Application : On suppose que $G$ est de cardinal $p^{α}$ avec $p$ premier et $α \in ℕ^{*}$ . Montrer que son centre¹¹ 1 Voir le sujet 2212. $Z (G)$ n’est pas réduit à ${1}$ .

[<] Morphismes de groupes [>] Anneaux

Édité le 29-08-2023

Groupe de cardinal fini