Exercice 1 2219 Correction

Justifier que $\exp : ℂ \to ℂ^{*}$ est un morphisme du groupe $(ℂ, +)$ vers $(ℂ^{*}, \times)$ .

En déterminer image et noyau.

Solution

On sait

\forall z, z^{'} \in ℂ, \exp (z + z^{'}) = \exp (z) \exp (z^{'})

donc $\exp : ℂ \to ℂ^{*}$ est un morphisme de groupes.

On sait

\exp (z) = 1 \Leftrightarrow \exists k \in ℤ, z = 2 i k π

donc

Ker (\exp) = {2 i k π | k \in ℤ} .

La fonction exponentielle complexe prend toutes les valeurs de $ℂ^{*}$ donc

Im (\exp) = ℂ^{*} .

Exercice 2 2218 Correction

Soient $n \in ℕ^{*}$ et $f : ℝ^{*} \to ℝ^{*}$ définie par $f (x) = x^{n}$ .

(a)

Montrer que $f$ est un morphisme du groupe $(ℝ^{*}, \times)$ vers lui-même.
(b)

Déterminer l’image et le noyau de ce morphisme.

Solution

(a)

Pour $x \in ℝ^{*}$ , on a bien $f (x) \in ℝ^{*}$ . Pour $x, y \in ℝ^{*}$

$f (x y) = {(x y)}^{n} = x^{n} y^{n} = f (x) f (y)$

donc $f$ est un morphisme de $(ℝ^{*}, \times)$ vers lui-même.
(b)

Par définition,

$Ker (f) = f^{- 1} ({1}) et Im (f) = {x^{n} | x \in ℝ^{*}} .$

Si $n$ est pair alors

$Ker (f) = {1, - 1} et Im (f) = ℝ_{+}^{*} .$

Si $n$ est impair alors

$Ker (f) = {1} et Im (f) = ℝ^{*} .$

Exercice 3 2220

(Morphisme de conjugaison)

Soit $G$ un groupe noté multiplicativement. Pour $a \in G$ , on note $τ_{a}$ l’application de $G$ vers $G$ définie par $τ_{a} (x) = a x a^{- 1}$ .

(a)

Montrer que $τ_{a}$ est un morphisme du groupe $G$ vers lui-même.
(b)

Vérifier $τ_{a} \circ τ_{b} = τ_{a b}$ pour tous $a$ et $b$ dans $G$ .
(c)

Montrer que $τ_{a}$ est bijective et exprimer son application réciproque.
(d)

En déduire que $𝒜 = {τ_{a} | a \in G}$ muni du produit de composition est un groupe.

Exercice 4 5627 Correction

On appelle automorphisme d’un groupe $(G, ⋆)$ , tout morphisme bijectif du groupe $(G, ⋆)$ vers lui-même.

Montrer que l’ensemble $Aut (G)$ des automorphismes d’un groupe $(G, ⋆)$ est un groupe pour le produit de composition des applications.

Solution

On vérifie que $Aut (G)$ est un sous-groupe du groupe $(𝒮_{G}, \circ)$ des permutations de $G$ .

$Aut (G)$ est une partie de $𝒮_{G}$ .

La permutation identité ${Id}_{G}$ est élément de $Aut (G)$ .

Soient $φ, ψ \in Aut (G)$ . Par composition, l’application $φ \circ ψ$ est bijective. C’est aussi un morphisme du groupe $(G, ⋆)$ car

\forall (x, y) \in G^{2}, φ \circ ψ (x ⋆ y) = φ (ψ (x) ⋆ ψ (y)) = (φ \circ ψ) (x) ⋆ (φ \circ ψ) (y) .

Ainsi, $φ \circ ψ \in Aut (G)$ .

Soit $φ \in Aut (G)$ . On peut introduire la bijection réciproque $φ^{- 1}$ et l’on sait que celle-ci est bijective. C’est aussi un morphisme du groupe $(G, ⋆)$ car

\forall (x, y) \in G^{2}, φ (φ^{- 1} (x) ⋆ φ^{- 1} (y)) = φ (φ^{- 1} (x ⋆ y)) = x ⋆ y

et donc

\forall (x, y) \in G^{2}, φ^{- 1} (x) ⋆ φ^{- 1} (y) = φ^{- 1} (x ⋆ y) .

Ainsi, $φ^{- 1} \in Aut (G)$ .

Finalement, $Aut (G)$ est un sous-groupe du groupe $(𝒮_{G}, \circ)$ , c’est donc un groupe pour la loi $\circ$ .

Exercice 5 5810 Correction

Déterminer tous les morphismes de groupes de $(ℚ, +)$ vers $(ℤ, +)$ .

Solution

L’application identiquement nulle est un morphisme de groupes de $(ℚ, +)$ vers $(ℤ, +)$ . Montrons qu’il n’en existe pas d’autres.

Par l’absurde, considérons $φ : ℚ \to ℤ$ un morphisme de groupes additifs non identiquement nul. Il existe $x \in ℚ$ tel que $a = φ (x) \in ℤ ∖ {0}$ . Considérons alors $x^{'} = x / 2 a \in ℚ$ . Puisque l’image d’un itéré additif par un morphisme de groupes est l’itéré de l’image, il vient

a = φ (x) = φ (2 a . x^{'}) = 2 a . φ (x^{'}) .

On en déduit $φ (x^{'}) = 1 / 2$ . C’est absurde car $φ$ est à valeurs dans $ℤ$ .

Exercice 6 2221 Correction

Soient $(G, ⋆)$ , $(G^{'}, ⊤)$ deux groupes et $f : G \to G^{'}$ un morphisme de groupes.

(a)

Montrer que pour tout sous-groupe $H$ de $G$ , $f (H)$ est un sous-groupe de $(G^{'}, ⊤)$ .
(b)

Montrer que pour tout sous-groupe $H^{'}$ de $G^{'}$ , $f^{- 1} (H^{'})$ est un sous-groupe de $(G, ⋆)$ .

Solution

(a)

$f (H) \subset G^{'}$ , $e^{'} = f (e) \in f (H)$ car $e \in H$ .

Soient $y, y^{'} \in f (H)$ , on peut écrire $y = f (x)$ et $y^{'} = f (x^{'})$ avec $x, x^{'} \in H$ .

$y ⊤ y^{', - 1} = f (x) ⊤ f {(x^{'})}^{- 1} = f (x) ⊤ f (x^{', - 1}) = f (x ⋆ x^{', - 1})$

avec $x ⋆ x^{', - 1} \in H$ donc $y ⊤ y^{', - 1} \in f (H)$ . Ainsi, $f (H)$ est un sous-groupe de $(G^{'}, ⊤)$ .
(b)

$f^{- 1} (H^{'}) \subset G$ et $e \in f^{- 1} (H^{'})$ car $f (e) = e^{'} \in H^{'}$ .

Soient $x, x^{'} \in f^{- 1} (H^{'})$ . On a $f (x), f (x^{'}) \in H^{'}$ .

$f (x ⋆ x^{', - 1}) = f (x) ⊤ f (x^{', - 1}) = f (x) ⊤ f {(x^{'})}^{- 1} \in H^{'}$

donc $x ⋆ x^{', - 1} \in f^{- 1} (H^{'})$ . Ainsi, $f^{- 1} (H^{'})$ est un sous-groupe de $(G, ⋆)$ .

Exercice 7 2222 Correction

On note $Aut (G)$ l’ensemble des isomorphismes d’un groupe $(G, *)$ dans lui-même.
Montrer que $Aut (G)$ est un sous-groupe du groupe des permutations $(𝒮_{G}, \circ)$ .

Solution

$Aut (G) \subset 𝒮_{G}$ et ${Id}_{G} \in Aut (G)$ .
Pour tout $f, g \in Aut (G)$ , on a $f \circ g \in Aut (G)$ et $f^{- 1} \in Aut (G)$ par les propriétés sur les automorphismes.
Ainsi $Aut (G)$ est un sous-groupe de $(𝒮_{G}, \circ)$ .

Exercice 8 2223 Correction

Soient $(G, *)$ un groupe et $a \in G$ .

On définit une loi de composition interne $⊤$ sur $G$ par $x ⊤ y = x * a * y$ .

(a)

Montrer que $(G, ⊤)$ est un groupe.
(b)

Soient $H$ un sous groupe de $(G, *)$ et $K = sym (a) * H = {sym (a) * x | x \in H}$ .
Montrer que $K$ est un sous groupe de $(G, ⊤)$ .
(c)

Montrer que $f : x \mapsto x * sym (a)$ est un isomorphisme de $(G, *)$ vers $(G, ⊤)$ .

Solution

(a)

Pour $x, y, z \in G$ ,

$(x ⊤ y) ⊤ z = (x * a * y) * a * z = x * a * (y * a * z) = x ⊤ (y ⊤ z) .$

L’élément $sym (a)$ est neutre pour la loi $⊤$ . En effet, pour $x \in G$ , on a

$x ⊤ sym (a) = x = sym (a) ⊤ x .$

Soit $x \in G$ . Posons $y = sym (a) * sym (x) * sym (a) \in G$ . On a

$x ⊤ y = y ⊤ x = sym (a) .$
(b)

$K \subset G$ , $sym (a) = sym (a) * e$ donc $sym (a) \in K$ .

Soient $sym (a) * x, sym (a) * y \in K$ . On a

$(sym (a) * x) ⊤ {(sym (a) * y)}^{⊤ (- 1)} = sym (a) * x * a * sym (a) * sym (y) * a * sym (a) = sym (a) * (x * sym (y)) \in K .$
(c)

Pour $x, y \in G$ ,

$f (x * y) = x * y * sym (a) = (x * sym (a)) ⊤ (y * sym (a)) = f (x) ⊤ f (y)$

$f$ est un morphisme de groupe et il est bijectif d’application réciproque $g : x \mapsto x * a$ .

Exercice 9 3368

Soit $φ$ un morphisme non constant d’un groupe fini $(G, ⋆)$ vers $(ℂ^{*}, \times)$ .

Calculer

\sum_{x \in G} φ (x) .

[<] Sous-groupes [>] Groupe de cardinal fini

Édité le 24-01-2025

Morphismes de groupes