[<] Anneaux [>] Morphismes d'anneaux
Soit , on note
Montrer que est un sous-anneau de .
Solution
, .
Soient , on peut écrire et avec .
avec donc .
avec donc .
Ainsi est un sous-anneau de .
On définit sur deux lois de compositions internes notées + et par:
Montrer que est un anneau commutatif.
Montrer que est un sous-anneau de .
Solution
On vérifie aisément que est un groupe commutatif.
Avec des notations entendues
La loi est donc commutative. De plus,
La loi est donc associative.
Le couple est neutre pour la loi , car
Enfin
donc
et la loi est distributive sur .
Finalement, est un anneau commutatif.
, .
Pour tout , on a
et
est donc un sous-anneau de .
(L’anneau des entiers de Gauss)
On note
Montrer que est un anneau commutatif pour l’addition et la multiplication des nombres complexes.
Déterminer les éléments inversibles de l’anneau .
Soient et deux éléments de avec . Montrer qu’il existe un couple d’éléments de tel que et .
Vérifier que les idéaux de sont les avec .
L’ensemble des nombres décimaux est
Montrer que est un sous-anneau de .
Déterminer ses éléments inversibles.
Soit
Montrer que est un sous anneau de .
Quels en sont les éléments inversibles?
Solution
, , et : clair.
Par suite, est un sous anneau de .
est inversible si, et seulement si, il existe tel que .
avec impairs. donc est impair et la réciproque est immédiate.
Ainsi,
Soit
Montrer que est un sous anneau de .
Quels en sont les éléments inversibles?
Solution
, , et : facile.
Ainsi est un sous anneau de .
est inversible si, et seulement si, il existe tel que .
Puisque l’on peut écrire avec et ,
Par suite, est, au signe près, une puissance de .
La réciproque est immédiate.
Finalement,
(Description des sous-anneaux de )
Pour , on note
Montrer que est un sous-anneau .
Inversement, soit un sous-anneau de .
Montrer qu’il existe tel que .
En déduire que .
On considère
Vérifier que est un sous-anneau de .
Pour avec , on pose .
Montrer que pour tous .
En déduire que si est un élément inversible de l’anneau alors .
Vérifier que les éléments avec sont inversibles dans .
On souhaite établir qu’il n’y a pas d’autres éléments inversibles dans que ceux qui viennent d’être proposés.
Soit avec et .
On suppose que est inversible. Montrer qu’il existe tel que .
Conclure
Solution
est une partie de contenant .
Soient et avec . On vérifie
est donc un sous-anneau de l’anneau .
En reprenant les notations qui précèdent,
On vérifie donc .
Au surplus, on observe pour tout .
Si est un élément inversible de et si est son inverse, alors donc . On en déduit car .
Soit avec et . Par produit dans , on observe . Posons . On a
Ainsi, est inversible (et est son inverse).
On remarque . On peut alors introduire le plus grand entier naturel tel que . On a donc
En opérant dans , on a encore
avec . Aussi, est inversible et donc .
Cas: . On a donc .
Si alors et nécessairement pour que la contrainte soit vérifiée.
Si alors ce qui est exclu.
Cas: . On a donc .
Si alors et nécessairement pour que la contrainte soit vérifiée
Si alors ce qui est exclu.
Finalement, et donc .
Soit un élément inversible. Son inverse est
Quitte à remplacer par son inverse, on peut supposer et de même signe tout en conservant l’hypothèse inversible. Aussi, quitte à considérer au lieu de , on peut supposer et positifs en maintenant encore l’hypothèse inversible. Cela ramène à la situation précédente (avec nécessairement car la condition est impossible). On peut alors décrire sous la forme avec puis par un éventuel passage à l’opposé et à l’inverse, retrouver la généralité des solutions précédemment proposées.
Un anneau est dit régulier si
On considère un tel anneau et l’on introduit
Montrer que est un sous-anneau de .
Vérifier que est régulier.
Solution
Immédiatement et .
Soient . Pour tout
et
donc et .
Ainsi, est un sous-anneau de .
Soit . Il existe tel que . La difficulté est de voir que l’on peut se ramener au cas où …Pour cela considérons l’élément . On observe
Il reste à montrer . Posons . L’élément commute avec et donc
ce qui donne
puis . On peut alors que conclure que l’anneau est régulier au sens défini.
On se propose d’établir une correspondance bijective entre l’ensemble des sous-anneaux de l’anneau et l’ensemble des parties de l’ensemble des nombres premiers. Pour un sous-anneau de , on note
Soient et deux sous-anneaux de . Établir
Soit . Déterminer un sous-anneau de vérifiant .
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Édité le 29-08-2023
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