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Exercice 1  2237  Correction  

Soit d, on note

[d]={a+bd|(a,b)2}.

Montrer que [d] est un sous-anneau de (,+,×).

Solution

[d], 1[d].
Soient x,y[d], on peut écrire x=a+bd et y=a+bd avec a,b,a,b.
x-y=(a-a)+(b-b)d avec a-a,b-b donc x-y[d].
xy=(aa+bbd)+(ab+ab)d avec aa+bbd,ab+ab donc xy[d].
Ainsi [d] est un sous-anneau de (,+,×).

 
Exercice 2  2232  Correction  

On définit sur 2 deux lois de compositions internes notées + et par:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)et(a,b)(c,d)=(ac,ad+bc).
  • (a)

    Montrer que (2,+,) est un anneau commutatif.

  • (b)

    Montrer que A={(a,0)|a} est un sous-anneau de (2,+,).

Solution

  • (a)

    On vérifie aisément que (2,+) est un groupe commutatif.
    Avec des notations entendues

    (a,b)(c,d)=(ac,ad+bc)=(c,d)(a,b).

    La loi est donc commutative. De plus,

    ((a,b)(c,d))(e,f)=(ac,ad+bc)(e,f)=(ace,acf+ade+bce)=(a,b)((c,d)(e,f)).

    La loi est donc associative.
    Le couple (1,0) est neutre pour la loi , car (a,b)(1,0)=(a,b)
    Enfin

    ((a,b)+(c,d))(e,f)=(a+c,b+d)(e,f)=(ae+ce,af+cf+be+de)

    donc

    ((a,b)+(c,d))(e,f)=(ae,af+be)+(ce,cf+de)=(a,b)(e,f)+(c,d)(e,f)

    et la loi est distributive sur +.

    Finalement, (2,+,) est un anneau commutatif.

  • (b)

    A2, (1,0)A.
    Pour tout (a,0),(b,0)A, on a

    (a,0)-(b,0)=(a-b,0)A

    et

    (a,0)(b,0)=(ab,0)A

    A est donc un sous-anneau de (2,+,).

 
Exercice 3  4238   

(L’anneau des entiers de Gauss)

On note

[i]={a+ib|(a,b)2}.
  • (a)

    Montrer que [i] est un anneau commutatif pour l’addition et la multiplication des nombres complexes.

  • (b)

    Déterminer les éléments inversibles de l’anneau [i].

  • (c)

    Soit u et v deux éléments de [i] avec v0. Montrer qu’il existe un couple (q,r) d’éléments de [i] tel que u=qv+r et |r|<|v|.

  • (d)

    Vérifier que les idéaux de [i] sont de la forme v.[i] avec v[i].

 
Exercice 4  2238   

L’ensemble des nombres décimaux est

𝔻={n10k|n,k}.
  • (a)

    Montrer que 𝔻 est un sous-anneau de (,+,×).

  • (b)

    Déterminer ses éléments inversibles.

 
Exercice 5  2240   Correction  

Soit

A={mn|m et n*, impair}.
  • (a)

    Montrer que A est un sous anneau de (,+,×).

  • (b)

    Quels en sont les éléments inversibles?

Solution

  • (a)

    A, 1A, x,yA,x-yA et xyA: clair.
    Par suite, A est un sous anneau de (,+,×).

  • (b)

    xA est inversible si, et seulement si, il existe yA tel que xy=1.
    x=mn,y=mn avec n,n impairs. xy=1mm=nn donc m est impair et la réciproque est immédiate.
    Ainsi,

    U(A)={mn|m,n* impairs}.
 
Exercice 6  2241   Correction  

Soit

A={m2n|m et n}.
  • (a)

    Montrer que A est un sous anneau de (,+,×).

  • (b)

    Quels en sont les éléments inversibles?

Solution

  • (a)

    A, 1A, x,yA,x-yA et xyA: facile.
    Ainsi A est un sous anneau de (,+,×).

  • (b)

    xA est inversible si, et seulement si, il existe yA tel que xy=1.
    Puisque l’on peut écrire x=m2n,y=m2n avec m,m et n,n,

    xy=1mm=2n+n.

    Par suite, m est, au signe près, une puissance de 2.
    La réciproque est immédiate.

    Finalement,

    U(A)={±2k|k}.
 
Exercice 7  128   

(Description des sous-anneaux de Z2)

Pour d, on note

Ad={(x,y)2|d divise y-x}.
  • (a)

    Montrer que Ad est un sous-anneau (2,+,×).

Inversement, soit A un sous-anneau de (2,+,×).

  • (b)

    Montrer qu’il existe d tel que {x|(x,0)A}=d.

  • (c)

    En déduire que A=Ad.

 
Exercice 8  3376   Correction  

Un anneau A est dit régulier si

xA,yA,xyx=x.

On considère un tel anneau A et l’on introduit

Z={xA|aA,ax=xa}.
  • (a)

    Montrer que Z est un sous-anneau de A.

  • (b)

    Vérifier que Z est régulier.

Solution

  • (a)

    Immédiatement ZA et 1AZ.
    Soient x,yZ. Pour tout aA

    a(x-y)=ax-ay=xa-ya=(x-y)a

    et

    a(xy)=xay=xya

    donc x-yA et xyA.
    Ainsi, Z est un sous-anneau de A.

  • (b)

    Soit xZ. Il existe yA tel que xyx=x. La difficulté est de voir que l’on peut se ramener au cas où yZ …Pour cela considérons l’élément z=xy2. On observe

    xzx=x3y2=xyxyx=xyx=x.

    Il reste à montrer zZ. Posons aA. L’élément x3 commute avec y2ay2 et donc

    x3y2ay2=y2ay2x3

    ce qui donne

    xay2=y2ax

    puis az=za. On peut alors que conclure que l’anneau Z est régulier au sens défini.

 
Exercice 9  3856    

On se propose d’établir une correspondance bijective entre l’ensemble des sous-anneaux de l’anneau (,+,×) et l’ensemble (𝒫) des parties de l’ensemble 𝒫 des nombres premiers. Pour A un sous-anneau de (,+,×), on note

𝒫A={p𝒫|1pA}.
  • (a)

    Soit A et B deux sous-anneaux de (,+,×). Établir

    𝒫A=𝒫BA=B.
  • (b)

    Soit P𝒫. Déterminer un sous-anneau A de (,+,×) vérifiant 𝒫A=P.

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Édité le 08-11-2019

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