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Exercice 1  2237  Correction  

Soit d, on note

[d]={a+bd|(a,b)2}.

Montrer que [d] est un sous-anneau de (,+,×).

Solution

[d], 1[d].
Soient x,y[d], on peut écrire x=a+bd et y=a+bd avec a,b,a,b.
x-y=(a-a)+(b-b)d avec a-a,b-b donc x-y[d].
xy=(aa+bbd)+(ab+ab)d avec aa+bbd,ab+ab donc xy[d].
Ainsi [d] est un sous-anneau de (,+,×).

 
Exercice 2  2232  Correction  

On définit sur 2 deux lois de compositions internes notées + et par:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)et(a,b)(c,d)=(ac,ad+bc).
  • (a)

    Montrer que (2,+,) est un anneau commutatif.

  • (b)

    Montrer que A={(a,0)|a} est un sous-anneau de (2,+,).

Solution

  • (a)

    On vérifie aisément que (2,+) est un groupe commutatif.
    Avec des notations entendues

    (a,b)(c,d)=(ac,ad+bc)=(c,d)(a,b).

    La loi est donc commutative. De plus,

    ((a,b)(c,d))(e,f)=(ac,ad+bc)(e,f)=(ace,acf+ade+bce)=(a,b)((c,d)(e,f)).

    La loi est donc associative.
    Le couple (1,0) est neutre pour la loi , car (a,b)(1,0)=(a,b)
    Enfin

    ((a,b)+(c,d))(e,f)=(a+c,b+d)(e,f)=(ae+ce,af+cf+be+de)

    donc

    ((a,b)+(c,d))(e,f)=(ae,af+be)+(ce,cf+de)=(a,b)(e,f)+(c,d)(e,f)

    et la loi est distributive sur +.

    Finalement, (2,+,) est un anneau commutatif.

  • (b)

    A2, (1,0)A.
    Pour tout (a,0),(b,0)A, on a

    (a,0)-(b,0)=(a-b,0)A

    et

    (a,0)(b,0)=(ab,0)A

    A est donc un sous-anneau de (2,+,).

 
Exercice 3  4238   

(L’anneau des entiers de Gauss)

On note

[i]={a+ib|(a,b)2}.
  • (a)

    Montrer que [i] est un anneau commutatif pour l’addition et la multiplication des nombres complexes.

  • (b)

    Déterminer les éléments inversibles de l’anneau [i].

  • (c)

    Soient u et v deux éléments de [i] avec v0. Montrer qu’il existe un couple (q,r) d’éléments de [i] tel que u=qv+r et |r|<|v|.

  • (d)

    Vérifier que les idéaux de [i] sont les v[i]={vw|w[i]} avec v[i].

 
Exercice 4  2238   

L’ensemble des nombres décimaux est

𝔻={n10k|n,k}.
  • (a)

    Montrer que 𝔻 est un sous-anneau de (,+,×).

  • (b)

    Déterminer ses éléments inversibles.

 
Exercice 5  2240   Correction  

Soit

A={mn|m et n*, impair}.
  • (a)

    Montrer que A est un sous anneau de (,+,×).

  • (b)

    Quels en sont les éléments inversibles?

Solution

  • (a)

    A, 1A, x,yA,x-yA et xyA: clair.
    Par suite, A est un sous anneau de (,+,×).

  • (b)

    xA est inversible si, et seulement si, il existe yA tel que xy=1.
    x=mn,y=mn avec n,n impairs. xy=1mm=nn donc m est impair et la réciproque est immédiate.
    Ainsi,

    U(A)={mn|m,n* impairs}.
 
Exercice 6  2241   Correction  

Soit

A={m2n|m et n}.
  • (a)

    Montrer que A est un sous anneau de (,+,×).

  • (b)

    Quels en sont les éléments inversibles?

Solution

  • (a)

    A, 1A, x,yA,x-yA et xyA: facile.
    Ainsi A est un sous anneau de (,+,×).

  • (b)

    xA est inversible si, et seulement si, il existe yA tel que xy=1.
    Puisque l’on peut écrire x=m2n,y=m2n avec m,m et n,n,

    xy=1mm=2n+n.

    Par suite, m est, au signe près, une puissance de 2.
    La réciproque est immédiate.

    Finalement,

    U(A)={±2k|k}.
 
Exercice 7  128   

(Description des sous-anneaux de 2 )

Pour d, on note

Ad={(x,y)2|d divise y-x}.
  • (a)

    Montrer que Ad est un sous-anneau (2,+,×).

Inversement, soit A un sous-anneau de (2,+,×).

  • (b)

    Montrer qu’il existe d tel que {x|(x,0)A}=d.

  • (c)

    En déduire que A=Ad.

 
Exercice 8  5807   Correction  

On considère

[2]={a+b2|a,b}.
  • (a)

    Vérifier que [2] est un sous-anneau de (,+,×).

Pour x=a+b2 avec a,b, on pose N(x)=a2-2b2.

  • (b)

    Montrer que N(xy)=N(x)N(y) pour tous x,y[2].

    En déduire que si x est un élément inversible de l’anneau [2] alors N(x)=±1.

  • (c)

    Vérifier que les éléments ±(1±2)n avec n sont inversibles dans [2].

On souhaite établir qu’il n’y a pas d’autres éléments inversibles dans [2] que ceux qui viennent d’être proposés.

  • (d)

    Soit x=a+b2 avec a* et b.

    On suppose que x est inversible. Montrer qu’il existe n tel que x=(1+2)n.

  • (e)

    Conclure

Solution

  • (a)

    [2] est une partie de contenant 1=1+02.

    Soient x=a+b2 et y=c+d2 avec a,b,c,d. On vérifie

    x-y =(a-c)+(b-d)2[2]
    xy =(ac+2bd)+(ad+bc)2[2]

    [2] est donc un sous-anneau de l’anneau (,+,×).

  • (b)

    En reprenant les notations qui précèdent,

    N(xy)=(ac+2bd)2-2(ad+bc)2=a2c2+4b2d2-2(a2d2+b2c2)
    N(x)N(y)=(a2-2b2)(c2-2d2)=a2c2-2(a2d2+b2c2)+4b2d2.

    On vérifie donc N(xy)=N(x)N(y).

    Au surplus, on observe N(x) pour tout x[2].

    Si x est un élément inversible de [2] et si y est son inverse, alors xy=1 donc N(xy)=N(x)N(y)=1. On en déduit N(x)=±1 car N(x),N(y).

  • (c)

    Soit x=ε(1+ε2)n avec ε,ε{1,-1} et n. Par produit dans [2], on observe x[2]. Posons y=ε(-1+ε2)n[2]. On a

    xy=ε2((1+ε2)(-1+ε2))n=1×(-1+2)n=1.

    Ainsi, x est inversible (et y est son inverse).

  • (d)

    On remarque x1. On peut alors introduire n le plus grand entier naturel tel que (1+2)nx. On a donc

    (1+2)nx<(1+2)n+1.

    En opérant dans [2], on a encore

    1ξ=x(1+2)-n<1+2

    avec ξ=α+β2[2]. Aussi, ξ est inversible et donc N(ξ)=α2-2β2=±1.

    Cas: α2-2β2=-1. On a 2β2=α2+1 donc β2=±α2+1.

    Si β2=α2+1 alors ξ=α+α2+1 et nécessairement α=0 pour que la contrainte 1ξ<1+2 soit vérifiée.

    Si β2=-α2+1 alors ξ=α-α2+1<0 ce qui est exclu.

    Cas: α2-2β2=1. On a α2=2β2+1 donc α=±2β2+1.

    Si α=2β2+1 alors ξ=2β2+1+2β et nécessairement β=0 pour que la contrainte 1ξ<1+2 soit vérifiée

    Si α=-2β2+1 alors ξ=-2β2+1+2β<0 ce qui est exclu.

    Finalement, ξ=1 et donc x=(1+2)n.

  • (e)

    Soit x=a+b2[2] un élément inversible. Son inverse est

    y=1a+b2=a-b2a2-2b2 avec a2-2b2=±1.

    Quitte à remplacer x par son inverse, on peut supposer a et b de même signe tout en conservant l’hypothèse x inversible. Aussi, quitte à considérer -x au lieu de x, on peut supposer a et b positifs en maintenant encore l’hypothèse x inversible. Cela ramène à la situation précédente (avec nécessairement a0 car la condition -2b2=±1 est impossible). On peut alors décrire x sous la forme (1+2)n avec n puis par un éventuel passage à l’opposé et à l’inverse, retrouver la généralité des solutions précédemment proposées.

 
Exercice 9  3376   Correction  

Un anneau A est dit régulier si

xA,yA,xyx=x.

On considère un tel anneau A et l’on introduit

Z={xA|aA,ax=xa}.
  • (a)

    Montrer que Z est un sous-anneau de A.

  • (b)

    Vérifier que Z est régulier.

Solution

  • (a)

    Immédiatement ZA et 1AZ.
    Soient x,yZ. Pour tout aA

    a(xy)=axay=xaya=(xy)a

    et

    a(xy)=xay=xya

    donc xyA et xyA.
    Ainsi, Z est un sous-anneau de A.

  • (b)

    Soit xZ. Il existe yA tel que xyx=x. La difficulté est de voir que l’on peut se ramener au cas où yZ …Pour cela considérons l’élément z=xy2. On observe

    xzx=x3y2=xyxyx=xyx=x.

    Il reste à montrer zZ. Posons aA. L’élément x3 commute avec y2ay2 et donc

    x3y2ay2=y2ay2x3

    ce qui donne

    xay2=y2ax

    puis az=za. On peut alors que conclure que l’anneau Z est régulier au sens défini.

 
Exercice 10  3856    

On se propose d’établir une correspondance bijective entre l’ensemble des sous-anneaux de l’anneau (,+,×) et l’ensemble (𝒫) des parties de l’ensemble 𝒫 des nombres premiers. Pour A un sous-anneau de (,+,×), on note

𝒫A={p𝒫|1pA}.
  • (a)

    Soient A et B deux sous-anneaux de (,+,×). Établir

    𝒫A=𝒫BA=B.
  • (b)

    Soit P𝒫. Déterminer un sous-anneau A de (,+,×) vérifiant 𝒫A=P.

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Édité le 29-08-2023

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