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Exercice 1  2201  

Soit (G,) un groupe. On suppose x2=e pour tout xG.

Montrer que le groupe G est commutatif.

 
Exercice 2  2203   Correction  

Soit une loi de composition interne associative sur un ensemble E fini non vide.
On suppose que tous les éléments de E sont réguliers. Montrer que E est un groupe.

Solution

La loi est déjà associative. Montrons qu’elle est possède un neutre. Soit x un élément de E. La suite des xn avec

xn=xx (n termes), n1

ne peut être formé d’éléments deux à deux distincts car E est un ensemble fini. Il existe donc n,k>0 vérifiant

xn+k=xn.

Posons alors e=xk et vérifions que e est neutre pour la loi . Soit yE. On a yxn+k=yxn et donc (yxk)xn=yxn. Par régularité de xn, on obtient ye=y. On montre de même ey.
Il reste maintenant à vérifier que tout élément aE est inversible.
Considérons l’application f:EE définie par f(x)=ax.
a est régulier donc l’application f est injective.
E est fini donc f est bijective et par suite surjective d’où l’existence d’un bE tel que ab=e.
f(e)=a et f(ba)=aba=ea=a donc par l’injectivité de f: ba=e.

Finalement, a est inversible et (E,) est un groupe.

 
Exercice 3  2196  

(Transport de loi)

Soit (G,) un groupe et φ:GE une application bijective au départ de G et à valeurs dans un ensemble E. On définit une loi de composition interne sur E en posant

xy=φ(φ-1(x)φ-1(y)).

Montrer que (E,) est un groupe.

 
Exercice 4  4197   

On note G=]-1;1[ et, pour x,yG, on pose

xy=x+y1+xy.

Montrer que la loi munit G d’une structure de groupe abélien.

 
Exercice 5  2207   Correction  

(Addition des vitesses en théorie de la relativité)

Soit c>0 (c correspond à la vitesse –ou célérité– de la lumière) et I=]-c;c[.

  • (a)

    Montrer

    (x,y)I2,xy=x+y1+xyc2I.
  • (b)

    Montrer que la loi munit I d’une structure de groupe abélien.
    Cette loi correspond à l’addition des vitesses portées par un même axe en théorie de la relativité.

Solution

  • (a)

    Pour x,yI,

    xyI xy+c(x+y)+c2>0 et xy-c(x+y)+c2>0
    (x+c)(y+c)>0 et (x-c)(y-c)>0

    Par suite,

    (x,y)I2,xyI.
  • (b)

    La loi est clairement commutative. La loi est associative puisque

    x,y,zI,(xy)z=x+y+z+xyzc21+xy+yz+zxc2=x(yz)

    0 est élément neutre pour la structure (I,) car

    xI,x0=0x=x.

    Enfin,

    xI,(-x)x=x(-x)=0

    et tout élément de I est donc symétrisable dans I.

    Finalement, (I,) est un groupe abélien.

 
Exercice 6  2205   

Soit G=*× et la loi de composition interne définie sur G par

(x,y)(x,y)=(xx,xy+y).
  • (a)

    Observer que la loi n’est pas commutative.

  • (b)

    Montrer que (G,) est un groupe dont on précisera le neutre.

  • (c)

    Vérifier que +*× est un sous-groupe de (G,).

 
Exercice 7  3199     CENTRALE (MP)Correction  

Soient A(1,0) et B(0,1). À partir de points M0(x0,y0) et M1(x1,y1) donnés, on construit le point P0 par les conditions:

  • les droites (P0M0) et (Ox) sont parallèles;

  • P0(AB).

On construit le point Q0 par les conditions:

  • les droites (P0Q0) et (M1B) sont parallèles;

  • Q0(AM1).

Enfin, on définit le point M2(x2,y2) tel que le quadrilatère (M0P0Q0M2) soit un parallélogramme. On pose alors

M0M1=M2.
  • (a)

    Démontrer

    (x2y2)=(x0+x1y0y0y1).
  • (b)

    Démontrer que la loi est associative, admet un élément neutre et que, si y00, le point M0 admet un inverse.

  • (c)

    On définit une suite de points (Mn)n par la donnée de M0, de M1 et de la relation de récurrence

    Mn=Mn-1Mn-2pour tout n2.

    Déterminer yn en fonction de y0 et de y1.

Solution

  • (a)

    On a

    P0|1-y0y0etQ0|1+y0(x1-1)y0y1

    (en considérant que les cas singuliers sont les prolongements du cas général).

    On en déduit

    {x2=x0+y0x1y2=y0y1.
  • (b)

    Avec des notations immédiates

    (M0M1)M2|(x0+y0x1)+(y0y1)x2(y0y1)y2etM0(M1M2)|x0+y0(x1+y1x2)y0(y1y2)

    et l’on vérifie bien l’associativité de la loi .

    On remarque que

    BM=MB=M

    donc B est élément neutre de la loi .

    Enfin, si y00, pour

    {x1=-x0/y0y1=1/y0

    on observe

    M0M1=M1M0=B

    et l’on peut donc affirmer que M0 est inversible d’inverse M1.

  • (c)

    On a

    yn=yn-1yn-2

    et l’on peut affirmer qu’il est possible d’écrire yn sous la forme

    yn=y0any1bn

    avec

    {a0=1,a1=0,an=an-1+an-2b0=0,b1=1,bn=bn-1+bn-2.

    Les suites (an) et (bn) sont récurrentes linéaires d’ordre 2 d’équation caractéristique r2=r+1 de racines

    r1=1+52 et r2=1-52.

    On obtient après calculs

    an=r2r2-r1r1n+r1r1-r2r2netbn=r2n-r1nr2-r1.
 
Exercice 8  4600  

Soient a et b deux éléments d’un groupe G noté multiplicativement. Montrer

(ab)n=1(ba)n=1.
 
Exercice 9  4610    

(Équation de Pell-Fermat)

On s’intéresse à l’équation (E):x2-2y2=1 d’inconnue (x,y)2.

Pour la résoudre, on étudie l’ensemble

G={(x,y)*×|x2-2y2=1}.
  • (a)

    Pour (x,y) et (x,y) dans G, on pose

    (x,y)(x,y)=(xx+2yy,xy+xy).

    Montrer que munit G d’une structure de groupe dont on précisera le neutre e.

Pour (x,y)G, on pose φ(x,y)=ln(x+2y).

  • (b)

    On introduit a=(3,2)G. Montrer

    (x,y)G, 0φ(x,y)<φ(a)(x,y)=e.
  • (c)

    Vérifier que, pour tout (x,y)G et tout (x,y)G,

    φ((x,y)(x,y))=φ(x,y)+φ(x,y). (1)
  • (d)

    En déduire que les éléments de G sont les an avec n.

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Édité le 08-11-2019

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