Exercice 1 2201

Soit $(G, ⋆)$ un groupe de neutre $e$ . On suppose¹¹ 1 $x^{2}$ désigne $x ⋆ x$ . $x^{2} = e$ pour tout $x \in G$ . Montrer que le groupe $(G, ⋆)$ est commutatif.

Exercice 2 4600

Soient $a$ et $b$ deux éléments d’un groupe $G$ noté multiplicativement¹¹ 1 Dans un groupe multiplicatif, la loi est notée $\times$ ou $(\cdot)$ et le neutre noté $1$ ..

Montrer

{(a b)}^{n} = 1 ⟹ {(b a)}^{n} = 1 .

Exercice 3 2203 Correction

Soit $⋆$ une loi de composition interne associative sur un ensemble $E$ fini non vide.
On suppose que tous les éléments de $E$ sont réguliers. Montrer que $E$ est un groupe.

Solution

La loi $⋆$ est déjà associative. Montrons qu’elle est possède un neutre. Soit $x$ un élément de $E$ . La suite des $x^{n}$ avec

x^{n} = x ⋆ \dots ⋆ x (n termes), n \geq 1

ne peut être formé d’éléments deux à deux distincts car $E$ est un ensemble fini. Il existe donc $n, k > 0$ vérifiant

x^{n + k} = x^{n} .

Posons alors $e = x^{k}$ et vérifions que $e$ est neutre pour la loi $⋆$ . Soit $y \in E$ . On a $y ⋆ x^{n + k} = y ⋆ x^{n}$ et donc $(y ⋆ x^{k}) ⋆ x^{n} = y ⋆ x^{n}$ . Par régularité de $x^{n}$ , on obtient $y ⋆ e = y$ . On montre de même $e ⋆ y$ .
Il reste maintenant à vérifier que tout élément $a \in E$ est inversible.
Considérons l’application $f : E \to E$ définie par $f (x) = a ⋆ x$ .
$a$ est régulier donc l’application $f$ est injective.
$E$ est fini donc $f$ est bijective et par suite surjective d’où l’existence d’un $b \in E$ tel que $a ⋆ b = e$ .
$f (e) = a$ et $f (b ⋆ a) = a ⋆ b ⋆ a = e ⋆ a = a$ donc par l’injectivité de $f$ : $b ⋆ a = e$ .

Finalement, $a$ est inversible et $(E, ⋆)$ est un groupe.

Exercice 4 2196

(Transport de loi)

Soient $(G, ⋆)$ un groupe et $φ : G \to E$ une application bijective au départ de $G$ et à valeurs dans un ensemble $E$ . On définit une loi de composition interne $⊤$ sur $E$ en posant

⊤ x y = φ (φ^{- 1} (x) ⋆ φ^{- 1} (y)) .

Montrer que $(E, ⊤)$ est un groupe.

Exercice 5 5628 Correction

Soit $a$ un élément d’un groupe $(G, ⋆)$ .

(a)

Établir que l’application $x \mapsto a ⋆ x$ définit une permutation de $G$ .
(b)

Application : Montrer que la somme des éléments d’un sous-groupe fini de $(ℂ^{*}, \times)$ est nulle ou égale à $1$ .

Solution

(a)

L’application

$f : {\begin{matrix} G & \to & G \\ x & \mapsto & a ⋆ x \end{matrix}$

est correctement définie. Pour $x, y \in G$ ,

$y = f (x)$ $\Leftrightarrow y = a ⋆ x$

$\Leftrightarrow x = a^{- 1} ⋆ y .$

Ainsi, pour tout $y \in G$ , l’équation $y = f (x)$ d’inconnue $x \in G$ possède une unique solution dans $G$ : l’application $f$ est bijective.
(b)

Soit $G$ un sous-groupe de fini de $(ℂ^{*}, \times)$ .

Si $G = {1}$ , la somme des éléments de $G$ vaut $1$ . Sinon, il existe $a \in G$ tel que $a \neq 1$ . Considérons à nouveau l’application $f$ de la question précédente. Par permutation des termes d’une somme,

$\sum_{x \in G} x = \sum_{x \in G} a x .$

Cela donne

$\sum_{x \in G} = a \sum_{x \in G} x .$

Or $a \neq 1$ et donc nécessairement

$\sum_{x \in G} x = 0 .$

Exercice 6 4197

On note $G =] - 1; 1 [$ et, pour $x, y \in G$ , on pose

x ⋆ y = \frac{x + y}{1 + x y} .

Montrer que la loi $⋆$ munit $G$ d’une structure de groupe abélien¹¹ 1 C’est-à-dire de groupe commutatif..

Exercice 7 2207 Correction

(Addition des vitesses en théorie de la relativité)

Soit $c > 0$ ( $c$ correspond à la vitesse –ou célérité– de la lumière) et $I =] - c; c [$ .

(a)

Montrer

$\forall (x, y) \in I^{2}, x ⋆ y = \frac{x + y}{1 + \frac{x y}{c^{2}}} \in I .$
(b)

Montrer que la loi $⋆$ munit $I$ d’une structure de groupe abélien.
Cette loi $⋆$ correspond à l’addition des vitesses portées par un même axe en théorie de la relativité.

Solution

(a)

Pour $x, y \in I$ ,

$x ⋆ y \in I$ $\Leftrightarrow x y + c (x + y) + c^{2} > 0 et x y - c (x + y) + c^{2} > 0$

$\Leftrightarrow (x + c) (y + c) > 0 et (x - c) (y - c) > 0 .$

Par suite,

$\forall (x, y) \in I^{2}, x ⋆ y \in I .$
(b)

La loi $⋆$ est clairement commutative. La loi $⋆$ est associative puisque

$\forall x, y, z \in I, (x ⋆ y) ⋆ z = \frac{x + y + z + \frac{x y z}{c^{2}}}{1 + \frac{x y + y z + z x}{c^{2}}} = x ⋆ (y ⋆ z)$

$0$ est élément neutre pour la structure $(I, ⋆)$ car

$\forall x \in I, x ⋆ 0 = 0 ⋆ x = x .$

Enfin,

$\forall x \in I, (- x) ⋆ x = x ⋆ (- x) = 0$

et tout élément de $I$ est donc symétrisable dans $I$ .

Finalement, $(I, ⋆)$ est un groupe abélien.

Exercice 8 2205

Soient $G = ℝ^{*} \times ℝ$ et $⋆$ la loi de composition interne définie sur $G$ par

(x, y) ⋆ (x^{'}, y^{'}) = (x x^{'}, x y^{'} + y) .

(a)

Observer que la loi $⋆$ n’est pas commutative.
(b)

Montrer que $(G, ⋆)$ est un groupe dont on précisera l’élément neutre.
(c)

Vérifier que $ℝ_{+}^{*} \times ℝ$ est un sous-groupe de $(G, ⋆)$ .

Exercice 9 3199 CENTRALE (MP)Correction

Soient $A (1,0)$ et $B (0,1)$ . À partir de points $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ et $M_{1} (x_{1}, y_{1})$ donnés, on construit le point $P_{0}$ par les conditions:

—

les droites $(P_{0} M_{0})$ et $(O x)$ sont parallèles;
—

$P_{0} \in (A B)$ .

On construit le point $Q_{0}$ par les conditions:

—

les droites $(P_{0} Q_{0})$ et $(M_{1} B)$ sont parallèles;
—

$Q_{0} \in (A M_{1})$ .

Enfin, on définit le point $M_{2} (x_{2}, y_{2})$ tel que le quadrilatère $(M_{0} P_{0} Q_{0} M_{2})$ soit un parallélogramme. On pose alors

M_{0} ⋆ M_{1} = M_{2} .

(a)

Démontrer

$(\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{0} + x_{1} y_{0} \\ y_{0} y_{1} \end{matrix}) .$
(b)

Démontrer que la loi $⋆$ est associative, admet un élément neutre et que, si $y_{0} \neq 0$ , le point $M_{0}$ admet un inverse.
(c)

On définit une suite de points ${(M_{n})}_{n \in ℕ}$ par la donnée de $M_{0}$ , de $M_{1}$ et de la relation de récurrence

$M_{n} = M_{n - 1} ⋆ M_{n - 2} pour tout n \geq 2 .$

Déterminer $y_{n}$ en fonction de $y_{0}$ et de $y_{1}$ .

Solution

(a)

On a

$P_{0} | \begin{matrix} 1 - y_{0} \\ y_{0} \end{matrix} et Q_{0} | \begin{matrix} 1 + y_{0} (x_{1} - 1) \\ y_{0} y_{1} \end{matrix}$

(en considérant que les cas singuliers sont les prolongements du cas général).

On en déduit

${\begin{matrix} x_{2} & = x_{0} + y_{0} x_{1} \\ y_{2} & = y_{0} y_{1} . \end{matrix}$
(b)

Avec des notations immédiates

$(M_{0} ⋆ M_{1}) ⋆ M_{2} | \begin{matrix} (x_{0} + y_{0} x_{1}) + (y_{0} y_{1}) x_{2} \\ (y_{0} y_{1}) y_{2} \end{matrix} et M_{0} ⋆ (M_{1} ⋆ M_{2}) | \begin{matrix} x_{0} + y_{0} (x_{1} + y_{1} x_{2}) \\ y_{0} (y_{1} y_{2}) \end{matrix}$

et l’on vérifie bien l’associativité de la loi $⋆$ .

On remarque que

$B ⋆ M = M ⋆ B = M$

donc $B$ est élément neutre de la loi $⋆$ .

Enfin, si $y_{0} \neq 0$ , pour

${\begin{matrix} x_{1} & = - x_{0} / y_{0} \\ y_{1} & = 1 / y_{0} \end{matrix}$

on observe

$M_{0} ⋆ M_{1} = M_{1} ⋆ M_{0} = B$

et l’on peut donc affirmer que $M_{0}$ est inversible d’inverse $M_{1}$ .
(c)

On a

$y_{n} = y_{n - 1} y_{n - 2}$

et l’on peut affirmer qu’il est possible d’écrire $y_{n}$ sous la forme

$y_{n} = y_{0}^{a_{n}} y_{1}^{b_{n}}$

avec

${\begin{matrix} a_{0} = 1, a_{1} = 0, a_{n} & = a_{n - 1} + a_{n - 2} \\ b_{0} = 0, b_{1} = 1, b_{n} & = b_{n - 1} + b_{n - 2} . \end{matrix}$

Les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ sont récurrentes linéaires d’ordre $2$ d’équation caractéristique $r^{2} = r + 1$ de racines

$r_{1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} et r_{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} .$

On obtient après calculs

$a_{n} = \frac{r_{2}}{r_{2} - r_{1}} r_{1}^{n} + \frac{r_{1}}{r_{1} - r_{2}} r_{2}^{n} et b_{n} = \frac{r_{2}^{n} - r_{1}^{n}}{r_{2} - r_{1}} .$

Exercice 10 4610

(Équation de Pell-Fermat)

On s’intéresse à l’équation $(E) : x^{2} - 2 y^{2} = 1$ d’inconnue $(x, y) \in ℤ^{2}$ .

Pour la résoudre, on étudie l’ensemble

G = {(x, y) \in ℕ^{*} \times ℤ | x^{2} - 2 y^{2} = 1} .

(a)

Pour $(x, y)$ et $(x^{'}, y^{'})$ dans $G$ , on pose

$(x, y) ⋆ (x^{'}, y^{'}) = (x x^{'} + 2 y y^{'}, x y^{'} + x^{'} y) .$

Montrer que $⋆$ munit $G$ d’une structure de groupe dont on précisera le neutre $e$ .

Pour $(x, y) \in G$ , on pose $φ (x, y) = \ln (x + \sqrt{2} y)$ .

(b)

On introduit $a = (3,2) \in G$ . Montrer

$\forall (x, y) \in G, 0 \leq φ (x, y) < φ (a) ⟹ (x, y) = e .$
(c)

Vérifier que, pour tout $(x, y) \in G$ et tout $(x^{'}, y^{'}) \in G$ ,

$φ ((x, y) ⋆ (x^{'}, y^{'})) = φ (x, y) + φ (x^{'}, y^{'}) .$ (1)
(d)

En déduire que les éléments de $G$ sont les $a^{n}$ avec $n \in ℤ$ .

[<] Éléments remarquables d'une structure [>] Sous-groupes

Édité le 29-08-2023

	$y = f (x)$	$\Leftrightarrow y = a ⋆ x$
		$\Leftrightarrow x = a^{- 1} ⋆ y .$

	$x ⋆ y \in I$	$\Leftrightarrow x y + c (x + y) + c^{2} > 0 et x y - c (x + y) + c^{2} > 0$
		$\Leftrightarrow (x + c) (y + c) > 0 et (x - c) (y - c) > 0 .$

Groupes