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Exercice 1  2190  Correction  

On définit une loi de composition interne sur par

(a,b)2,ab=ln(ea+eb).

Quelles en sont les propriétés? Possède-t-elle un élément neutre? Y a-t-il des éléments réguliers?

Solution

Pour tous a,b,

ba=ln(eb+ea)=ln(ea+eb)=ab.

La loi est commutative.

Pour tous a,b,c,

(ab)c=ln(eab+ec)=ln(ea+eb+ec)=a(bc).

La loi est associative.

aε=aln(ea+eε)=aeε=0.

Il n’y a donc pas de neutre.

ab=acln(ea+eb)=ln(ea+ec)eb=ecb=c.

Tout élément est régulier.

 
Exercice 2  2191  

On note E=[0;1] et, pour x,yE, on pose

xy=x+y-xy.
  • (a)

    Vérifier que définit une loi de composition interne sur E.

  • (b)

    Étudier la commutativité et l’associativité de la loi .

  • (c)

    Existe-t-il un élément neutre? Quels sont les éléments symétrisables?

  • (d)

    Soit α[0;1]. Vérifier que A=[α;1] est une partie stable.

 
Exercice 3  2192   Correction  

Soit une loi de composition interne sur E.

Pour A,B𝒫(E), on pose

AB={ab|aA,bB}.
  • (a)

    Étudier les propriétés de sur E (commutativité, associativité, existence d’un neutre) conservées par sur 𝒫(E).

  • (b)

    La loi est-elle distributive sur l’union, sur l’intersection?

Solution

  • (a)

    est bien une loi de composition interne sur 𝒫(E).

    Si est commutative sur E, elle l’est aussi sur 𝒫(E).

    Si est associative sur E, elle l’est aussi sur 𝒫(E).

    Si possède un neutre e dans E, alors possède un neutre dans 𝒫(E) à savoir {e} car

    A{e}={ae|aA}=A.
  • (b)

    La loi est distributive sur l’union

    A(BC)={ax|aA,xBC}=(AB)(AC).

    En revanche, la distributivité sur l’intersection est fausse. On obtient un contre exemple dans avec =+, A={1,-1}, B={1} et C={-1}

    ABC=A=

    alors que

    (AB)AC={2,0}{-2,0}={0}.
 
Exercice 4  2197   Correction  

Soit une loi de composition interne associative sur E.
On suppose qu’il existe aE tel que l’application f:EE définie par f(x)=axa soit surjective et l’on note b un antécédent de a par f.

  • (a)

    Montrer que e=ab et e=ba sont neutres resp. à gauche et à droite puis que e=e.

  • (b)

    Montrer que a est symétrisable et f bijective.

Solution

Par la surjectivité de f, il existe bE tel que aba=a.

  • (a)

    ab=aaca
    Pour tout xE, il existe αE tel que l’on peut écrire x=aαa.
    Pour e=ab, ex=abaαa=aαa=x.
    Pour e=ba, xe=xba=aαaba=aαa.
    ee=e=e.

  • (b)

    Puisque ab=ba=e, a est symétrisable et sym(a)=b.
    De plus, g:xbxb est clairement application réciproque de f.

 
Exercice 5  4198   Correction  

Soit une loi de composition interne associative sur E. On suppose qu’il existe aE tel que E={axa|xE}. Montrer que la loi possède un neutre et que l’élément a est symétrisable.

Solution

Méthode: On introduit bE tel que aba=a.

Considérons e=ab et e=ba qui semblent candidats pour déterminer des neutres pour la loi . Vérifions que e et e sont respectivement neutre à gauche et neutre à droite pour la loi . Soit xE. On peut écrire x=aya pour un certain yE. On a alors

ex=(ab)(aya)=(aba)ya=aya=x

Un calcul analogue permet de vérifier xe=x. Comme déjà vu dans le sujet 4594, le calcul de ee assure que les deux éléments e et e sont égaux et l’on peut affirmer que possède un neutre. Au surplus, les identités ab=e et ba=e=e permettent d’affirmer que a est symétrisable de symétrique b.

 
Exercice 6  4595   

Soit E un ensemble muni d’une loi associative possédant un neutre e.

Montrer que si x et y sont deux éléments de E tels que les composés xy et yx sont symétrisables alors x et y sont symétrisables.

 
Exercice 7  4599   

Soit E un ensemble muni d’une loi associative. On suppose qu’il existe aE telle que, pour tout xE, il est possible d’écrire x=ay=za avec (y,z)E2.

Montrer que (E,) possède un neutre et que a est symétrisable.

 
Exercice 8  2198    Correction  

Soient une loi de composition interne associative sur un ensemble fini E et x un élément régulier de E. Montrer que E possède un neutre.

Solution

Considérons l’application f:E définie par f(n)=xn.
Puisque N est infini et que l’ensemble E est fini, l’application f n’est pas injective et donc il existe p>q tels que f(p)=f(q) c’est-à-dire

xp=xq.

Pour tout yE.

xpy=xqy.

Puisque x est régulier, on obtient

x(p-q)y=y.

De même, yx(p-q)=y et donc e=x(p-q) est neutre.

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Édité le 08-11-2019

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