[>] Éléments remarquables d'une structure
On définit une loi de composition interne sur par
Quelles en sont les propriétés? Possède-t-elle un élément neutre? Y a-t-il des éléments réguliers?
Solution
Pour tous ,
La loi est commutative.
Pour tous ,
La loi est associative.
Il n’y a donc pas de neutre.
Tout élément est régulier.
On note et, pour , on pose
Vérifier que définit une loi de composition interne sur .
Étudier la commutativité et l’associativité de la loi .
Existe-t-il un élément neutre?
Quels sont les éléments symétrisables?
Soit . Vérifier que est une partie de stable pour la loi .
Soit une loi de composition interne sur .
Pour , on pose
Étudier les propriétés de sur (commutativité, associativité, existence d’un neutre) conservées par sur .
La loi est-elle distributive sur l’union, sur l’intersection?
Solution
est bien une loi de composition interne sur .
Si est commutative sur , elle l’est aussi sur .
Si est associative sur , elle l’est aussi sur .
Si possède un neutre dans , alors possède un neutre dans à savoir car
La loi est distributive sur l’union
En revanche, la distributivité sur l’intersection est fausse. On obtient un contre exemple dans avec , , et où
alors que
Soit une loi de composition interne associative sur .
On suppose qu’il existe tel que l’application définie par soit surjective et l’on note un antécédent de par .
Montrer que et sont neutres resp. à gauche et à droite puis que .
Montrer que est symétrisable et bijective.
Solution
Par la surjectivité de , il existe tel que .
Pour tout , il existe tel que l’on peut écrire .
Pour , .
Pour , .
.
Puisque , est symétrisable et .
De plus, est clairement application réciproque de .
Soit une loi de composition interne associative sur . On suppose qu’il existe tel que . Montrer que la loi possède un neutre et que l’élément est symétrisable.
Solution
Méthode: On introduit tel que .
Considérons et qui semblent candidats pour déterminer des neutres pour la loi . Vérifions que et sont respectivement neutre à gauche et neutre à droite pour la loi . Soit . On peut écrire pour un certain . On a alors
Un calcul analogue permet de vérifier . Comme déjà vu dans le sujet 4594, le calcul de assure que les deux éléments et sont égaux et l’on peut affirmer que possède un neutre. Au surplus, les identités et permettent d’affirmer que est symétrisable de symétrique .
Soit un ensemble muni d’une loi associative possédant un neutre .
Montrer que, si et sont deux éléments de tels que les composés et sont symétrisables, alors et sont symétrisables.
Soit un ensemble muni d’une loi associative. On suppose qu’il existe telle que, pour tout , il est possible d’écrire avec .
Montrer que possède un neutre et que est symétrisable.
Soient une loi de composition interne associative sur un ensemble fini et un élément régulier de . Montrer que possède un neutre.
Solution
Considérons l’application définie par .
Puisque est infini et que l’ensemble est fini, l’application n’est pas injective et donc il existe tels que c’est-à-dire
Pour tout .
Puisque est régulier, on obtient
De même, et donc est neutre.
[>] Éléments remarquables d'une structure
Édité le 29-08-2023
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