[<] Lois de composition interne [>] Groupes

 
Exercice 1  4594  

Soit E un ensemble muni d’une loi . On dit qu’un élément e est neutre à gauche (resp. à droite) lorsque ex=x (resp. xe=x) pour tout x de E.

Montrer que si la loi possède un neutre à gauche et un neutre à droite, elle possède un élément neutre.

 
Exercice 2  2194  

Soit E un ensemble muni d’une loi associative possédant un neutre e.

Montrer qu’un élément a est symétrisable si, et seulement si, l’application f:EE définie par f(x)=ax est bijective.

 
Exercice 3  2195  Correction  

Soit une loi associative sur un ensemble E. Un élément x de E est dit idempotent si, et seulement si, xx=x.

  • (a)

    Montrer que si x et y sont idempotents et commutent, alors xy est idempotent.

  • (b)

    Montrer que si x est idempotent et inversible, alors x-1 est idempotent.

Solution

  • (a)

    On a

    (xy)(xy)=(xx)(yy)=xy.
  • (b)

    On a

    xx=x(xx)-1=x-1x-1x-1=x-1.
 
Exercice 4  2193   Correction  

Soit E un ensemble et f:EE.
Montrer que f est un élément régulier de (EE,) si, et seulement si, f est bijective.

Solution

Supposons f est bijective.
Soient g,h:EE. Si fg=fh alors f-1fg=f-1fh puis g=h.
De même, gf=hfg=h et donc f est un élément régulier.
Supposons que f est un élément régulier.
Soient x,xE. Si f(x)=f(x) alors fg=fh avec g et h les fonctions constantes égales à x et x.
Par la régularité de f, on obtient g=h et donc x=x.
Si E est un singleton alors f est nécessairement surjective.
Sinon, on peut construire deux fonctions g et h telle que

xE,g(x)=h(x)xIm(f).

On a gf=hf donc, par la régularité de f, g=h d’où Im(f)=E puis f surjective.

 
Exercice 5  2199   Correction  

Soit une loi associative sur un ensemble E fini. On suppose que la loi possède un neutre e.
Montrer que tout élément régulier de E est inversible.

Solution

Soit a un élément régulier.
Considérons l’application f:EE définie par f(x)=ax.
L’application f est injective.
E est fini donc f est bijective et par suite surjective d’où l’existence de bE tel que ab=e.
f(e)=a et f(ba)=aba=ea=a donc par l’injectivité de f: ba=e.

Finalement, a est inversible.
On peut aussi partir de f:E définie par f(n)=an qui n’est pas injective.

 
Exercice 6  3043      X (MP)

Soit E un ensemble fini non vide muni d’une loi de composition interne associative . Montrer qu’il existe un élément e dans E vérifiant ee=e.

[<] Lois de composition interne [>] Groupes



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax