• (a)

  On a

  $$(x\star y)\star (x\star y)=(x\star x)\star (y\star y)=x\star y\text{.}$$

• (b)

  On a

  $$x\star x=x⟹{(x\star x)}^{-1}=x^{-1}⟹x^{-1}\star x^{-1}=x^{-1}\text{.}$$

Supposons $f$ est bijective.
Soient $g,h:E\to E$. Si $f\circ g=f\circ h$ alors $f^{-1}\circ f\circ g=f^{-1}\circ f\circ h$ puis $g=h$.
De même, $g\circ f=h\circ f⟹g=h$ et donc $f$ est un élément régulier.
Supposons que $f$ est un élément régulier.
Soient $x,x^{\prime }\in E$. Si $f(x)=f(x^{\prime })$ alors $f\circ g=f\circ h$ avec $g$ et $h$ les fonctions constantes égales à $x$ et $x^{\prime }$.
Par la régularité de $f$, on obtient $g=h$ et donc $x=x^{\prime }$.
Si $E$ est un singleton alors $f$ est nécessairement surjective.
Sinon, on peut construire deux fonctions $g$ et $h$ telle que

On a $g\circ f=h\circ f$ donc, par la régularité de $f$, $g=h$ d’où $\mathrm{Im}(f)=E$ puis $f$ surjective.

Soit $a$ un élément régulier.
Considérons l’application $f:E\to E$ définie par $f(x)=a\star x$.
L’application $f$ est injective.
$E$ est fini donc $f$ est bijective et par suite surjective d’où l’existence de $b\in E$ tel que $a\star b=e$.
$f(e)=a$ et $f(b\star a)=a\star b\star a=e\star a=a$ donc par l’injectivité de $f$: $b\star a=e$.

Finalement, $a$ est inversible.
On peut aussi partir de $f:\mathbb{N}\to E$ définie par $f(n)=a^{\star n}$ qui n’est pas injective.