Exercice 1 4597

(a)

Soit $n \in ℕ^{*}$ . On considère $𝕌_{n} = {z \in ℂ | z^{n} = 1}$ l’ensemble des racines $n$ -ièmes de l’unité.

Montrer que $𝕌_{n}$ muni de la multiplication des nombres complexes est un groupe.
(b)

Soit $a$ un élément d’un ensemble $E$ . On considère $H = {f \in 𝒮_{E} | f (a) = a}$ l’ensemble des permutations de $E$ fixant $a$ .

Montrer que $H$ muni du produit de composition des applications est un groupe.

Exercice 2 4596

Soient $a$ et $b$ deux réels.

Montrer que $a ℤ + b ℤ = {a k + b ℓ | k, ℓ \in ℤ}$ est un sous-groupe de $(ℝ, +)$ .

Exercice 3 2208 Correction

Soient $ω \in ℂ$ et $H = {a + ω b | a, b \in ℤ}$ .
Montrer que $H$ est un sous groupe de $(ℂ, +)$ .

Solution

$H \subset ℂ$ , $0 = 0 + ω .0 \in H$ .
Soient $x, y \in H$ . On peut écrire $x = a + ω b$ et $y = a^{'} + ω b^{'}$ avec $a, b, a^{'}, b^{'} \in ℤ$ et alors

x - y = (a - a^{'}) + ω (b - b^{'})

avec $a - a^{'} \in ℤ$ et $b - b^{'} \in ℤ$ donc $x - y \in H$ .
Ainsi $H$ est un sous groupe de $(ℂ, +)$ .

Exercice 4 2209 Correction

Soient $a \in ℂ^{*}$ et $H = {a^{n} | n \in ℤ}$ .
Montrer que $H$ est un sous groupe de $(ℂ^{*}, \times)$ .

Solution

$H \subset ℂ^{*}$ , $1 = a^{0} \in H$ .
Soient $x, y \in H$ , on peut écrire $x = a^{n}$ et $y = a^{m}$ avec $n, m \in ℤ$ . On a alors

x y^{- 1} = a^{n - m}

avec $n - m \in ℤ$ donc $x y^{- 1} \in H$ .
Ainsi $H$ est un sous groupe de $(ℂ^{*}, \times)$ .

Exercice 5 3354

Montrer que

V = {z \in ℂ | \exists n \in ℕ^{*}, z^{n} = 1}

est un groupe multiplicatif.

Exercice 6 4601

Montrer que ${x + y \sqrt{3} | (x, y) \in ℤ^{2} et x^{2} - 3 y^{2} = 1}$ est un sous-groupe de $(ℝ^{*}, \times)$ .

Exercice 7 5330 Correction

Montrer que

G = {a^{2} + b^{2} | (a, b) \in ℚ^{2} ∖ {(0,0)}}

est un sous-groupe de $(ℝ_{+}^{*}, \times)$ .

Solution

$G$ est une partie du groupe $(ℝ_{+}^{*}, \times)$ et $1 = 1^{2} + 0^{2} \in G$ .

Soient $x, y \in G$ . On peut écrire

x = a^{2} + b^{2} et y = c^{2} + d^{2} avec (a, b), (c, d) \in ℚ^{2} ∖ {(0,0)}

et l’on a

x y = (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = {(a c + b d)}^{2} + {(a d - b c)}^{2} .

On observe $a c + b d, a d - b c \in ℚ$ et $(a c + b d, a d - b c) \neq (0,0)$ car

{\begin{matrix} a c + b d & = 0 \\ a d - b c & = 0 \end{matrix} ⟹ x y = 0 .

Enfin,

\frac{1}{x} = \frac{1}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}} = {(\frac{a}{a^{2} + b^{2}})}^{2} + {(\frac{b}{a^{2} + b^{2}})}^{2}

avec

(\frac{a}{a^{2} + b^{2}}, \frac{b}{a^{2} + b^{2}}) \in ℚ^{2} ∖ {(0,0)} .

Ainsi, $x y \in G$ et $x^{- 1} \in G$ , $G$ est un sous-groupe de $(ℝ_{+}^{*}, \times)$ .

Exercice 8 2213 Correction

Soit $f_{a, b} : ℂ \to ℂ$ définie par $f_{a, b} (z) = a z + b$ avec $a \in ℂ^{*}, b \in ℂ$ .
Montrer que $({f_{a, b} | a \in ℂ^{*}, b \in ℂ}, \circ)$ est un groupe.

Solution

Notons

H = {f_{a, b} | a \in ℂ^{*}, b \in ℂ}

et montrons que $H$ est un sous-groupe du groupe $(𝒮_{ℂ}, \circ)$ des permutations de $ℂ$ .

La permutation ${Id}_{ℂ}$ est élément de $H$ car ${Id}_{ℂ} = f_{1,0}$ .

Pour tout $z \in ℂ$ et tout $Z \in ℂ$ ,

Z = a z + b \Leftrightarrow z = \frac{1}{a} Z - \frac{b}{a} .

On en déduit que $f_{a, b}$ est une bijection de $ℂ$ vers $ℂ$ et $f_{a, b}^{- 1} = f_{1 / a, - b / a}$ . Ainsi, $H \subset 𝒮_{ℂ}$ et

\forall f \in H, f^{- 1} \in H .

Enfin,

\forall z \in ℂ, f_{a, b} \circ f_{c, d} (z) = a (c z + d) + b = a c z + (a d + b)

donc $f_{a, b} \circ f_{c, d} = f_{a c, a d + b}$ . Ainsi,

\forall f, g \in H, f \circ g \in H .

On peut conclure que $H$ est un sous-groupe de $(𝒮_{ℂ}, \circ)$ et donc $(H, \circ)$ est un groupe.

Exercice 9 2212

On appelle centre d’un groupe $(G, ⋆)$ l’ensemble

Z (G) = {x \in G | \forall y \in G, x ⋆ y = y ⋆ x} .

Montrer que $Z (G)$ est un sous-groupe de $(G, ⋆)$ .

Exercice 10 4602

Soit $H$ une partie finie non vide d’un groupe $(G, ⋆)$ .

On suppose que $H$ est stable pour la loi $⋆$ . Montrer que $H$ est un sous-groupe de $G$ .

Exercice 11 2211 Correction

Soient $(G, \times)$ un groupe, $H$ un sous groupe de $(G, \times)$ et $a \in G$ .

(a)

Montrer que $a H a^{- 1} = {a x a^{- 1} | x \in H}$ est un sous groupe de $(G, \times)$ .
(b)

À quelle condition simple $a H = {a x | x \in H}$ est un sous groupe de $(G, \times)$ ?

Solution

(a)

$a H a^{- 1} \subset G$ , $e = a e a^{- 1} \in a H a^{- 1}$ .
Soient $a x a^{- 1}, a y a^{- 1} \in a H a^{- 1}$ avec $x, y \in H$ on a

$(a x a^{- 1}) (a y^{- 1} a^{- 1}) = a (x y^{- 1}) a^{- 1} \in a H a^{- 1} .$
(b)

$e \in a H ⟹ a^{- 1} \in H ⟹ a \in H$ . Inversement

$a \in H ⟹ a^{- 1} \in H ⟹ a H = H .$

La condition simple cherchée est $a \in H$ .

Exercice 12 2215 Correction

Soit $H$ et $K$ deux sous-groupes d’un groupe $(G, *)$ tels que $H \cup K$ en soit aussi un sous-groupe. Montrer que $H \subset K$ ou $K \subset H$ .

Solution

Par l’absurde supposons

H ⊄ K et K ⊄ H .

Il existe $h \in H$ tel que $h \notin K$ et $k \in K$ tel que $k \notin H$ .
On a $h, k \in H \cup K$ donc $h * k \in H \cup K$ car $H \cup K$ sous-groupe.
Si $h * k \in H$ alors $k = h^{- 1} * (h * k) \in H$ car $H$ sous-groupe. Or cela est exclu.
Si $h * k \in K$ alors $h = (h * k) * k^{- 1} \in K$ car $K$ sous-groupe. Or cela est exclu.
Ainsi $h * k \notin H \cup K$ . Absurde.

Exercice 13 4603

Soient $H$ et $K$ deux sous-groupes d’un groupe $G$ noté multiplicativement. On forme

H K = {x y | x \in H et y \in K} et K H = {y x | y \in K et x \in H} .

Établir que $H K$ est un sous-groupe de $G$ si, et seulement si, $K H \subset H K$ et qu’alors $H K = K H$ .

Exercice 14 2217 Correction

(Description des sous-groupes de $(Z, +)$ )

Pour $a \in ℕ$ , on note $a ℤ = {a k | k \in ℤ}$ .

(a)

Montrer que $a ℤ$ est un sous-groupe de $(ℤ, +)$ .
On se propose de montrer que, réciproquement, tout sous groupe de $ℤ$ est de cette forme.
(b)

Vérifier que le groupe ${0}$ est de la forme voulue.
Soit $H$ un sous-groupe de $(ℤ, +)$ non réduit à ${0}$ .
(c)

Montrer que $H^{+} = {h \in H | h > 0}$ possède un plus petit élément. On note $a = \min H^{+}$ .
(d)

Établir que $a ℤ \subset H$ .
(e)

En étudiant le reste de la division euclidienne d’un élément de $H$ par $a$ montrer que $H \subset a ℤ$ .
(f)

Conclure que pour tout sous-groupe $H$ de $ℤ$ , il existe un unique $a \in ℕ$ tel que $H = a ℤ$ .

Solution

(a)

$a ℤ \subset ℤ$ , $0 = a .0 \in a ℤ$ .
Soient $x, y \in a ℤ$ , on peut écrire $x = a k$ et $y = a ℓ$ avec $k, ℓ \in ℤ$ .
$x - y = a (k - ℓ)$ avec $k - ℓ \in ℤ$ donc $x - y \in a ℤ$ .
Ainsi $a ℤ$ est un sous-groupe de $ℤ$ .
(b)

Pour $a = 0 \in ℕ$ , ${0} = a ℤ$ .
(c)

Puisque $H$ est non vide et non réduit à ${0}$ , il existe $h \in H$ tel que $h \neq 0$ .
Si $h > 0$ alors $h \in H^{+}$ , si $h < 0$ alors $- h \in H$ (car $H$ sous-groupe) et $- h > 0$ donc $- h \in H^{+}$ .
Dans les deux cas $H^{+} \neq \emptyset$ .
$H^{+}$ est une partie non vide de $ℕ$ donc $H^{+}$ possède un plus petit élément.
(d)

$0 \in H$ et $a \in H$ .
Par récurrence, la stabilité de $H$ donne

$\forall n \in ℕ, a . n = a + \dots + a \in H .$

Par passage à l’opposé, la stabilité de $H$ par passage au symétrique donne

$\forall n \in ℤ, a . n \in H .$

Ainsi $a ℤ \subset H$ .
(e)

Soit $x \in H$ . La division euclidienne de $x$ par $a \neq 0$ donne $x = a q + r$ avec $q \in ℤ$ et $0 \leq r < a$ .
On a $r = x - a q$ avec $x \in H$ et $a q \in a ℤ \subset H$ donc $r \in H$ .
Si $r > 0$ alors $r \in H^{+}$ or $r < a = \min H^{+}$ donc cela est impossible.
Il reste $r = 0$ ce qui donne $x = a q \in a ℤ$ . Ainsi $H \subset a ℤ$ et finalement $H = a ℤ$ .
(f)

L’existence est établie ci-dessus. Il reste à montrer l’unicité.
Soit $a, b \in ℕ$ tel que $a ℤ = b ℤ$ . On a $a \in a ℤ = b ℤ$ donc $b ∣ a$ et de même $a ∣ b$ , or $a, b \geq 0$ donc $a = b$ .

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Édité le 29-08-2023

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