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Exercice 1  4597  
  • (a)

    Soit n*. On considère 𝕌n={z|zn=1} l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité. Montrer que 𝕌n muni de la multiplication des nombres complexes est un groupe.

  • (b)

    Soit a un élément d’un ensemble E. On considère H={f𝒮E|f(a)=a} l’ensemble des permutations de E fixant a. Montrer que H muni du produit de composition des applications est un groupe.

 
Exercice 2  4596  

Soient a et b deux réels. Montrer que a+b={ak+b|k,} est un sous-groupe de (,+).

 
Exercice 3  2208  Correction  

Soient ω et H={a+ωb|a,b}.
Montrer que H est un sous groupe de (,+).

Solution

H, 0=0+ω.0H.
Soient x,yH. On peut écrire x=a+ωb et y=a+ωb avec a,b,a,b et alors

x-y=(a-a)+ω(b-b)

avec a-a et b-b donc x-yH.
Ainsi H est un sous groupe de (,+).

 
Exercice 4  2209  Correction  

Soient a* et H={an|n}.
Montrer que H est un sous groupe de (*,×).

Solution

H*, 1=a0H.
Soient x,yH, on peut écrire x=an et y=am avec n,m. On a alors

xy-1=an-m

avec n-m donc xy-1H.
Ainsi H est un sous groupe de (*,×).

 
Exercice 5  3354  

Montrer que

V={z|n*,zn=1}

est un groupe multiplicatif.

 
Exercice 6  4601   

Montrer que {x+y3|(x,y)2 et x2-3y2=1} est un sous-groupe de (*,×).

 
Exercice 7  5330   Correction  

Montrer que

G={a2+b2|(a,b)2{(0,0)}}

est un sous-groupe de (+*,×).

Solution

G est une partie du groupe (+*,×) et 1=12+02G.

Soient x,yG. On peut écrire

x=a2+b2ety=c2+d2 avec (a,b),(c,d)2{(0,0)}

et l’on a

xy=(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2.

On observe ac+bd,ad-bc et (ac+bd,ad-bc)(0,0) car

{ac+bd=0ad-bc=0xy=0.

Enfin,

1x=1a2+b2=a2+b2(a2+b2)2=(aa2+b2)2+(ba2+b2)2

avec

(aa2+b2,ba2+b2)2{(0,0)}.

Ainsi, xyG et x-1G, G est un sous-groupe de (+*,×).

 
Exercice 8  2213   Correction  

Soit fa,b: définie par fa,b(z)=az+b avec a*,b.
Montrer que ({fa,b|a*,b},) est un groupe.

Solution

Posons H={fa,b|a*,b} et montrons que H est un sous-groupe du groupe de permutations (𝒮,).
Id=f1,0H.

Z=az+bz=1aZ-ba

donc fa,b𝒮 et fa,b-1=f1/a,-b/a. Ainsi H𝒮 et

fH,f-1H.

Enfin fa,bfc,d(z)=a(cz+d)+b=acz+(ad+b) donc fa,bfc,d=fac,ad+b. Ainsi,

f,gH,fgH.

On peut conclure.

 
Exercice 9  2212  

On appelle centre d’un groupe (G,) l’ensemble

Z(G)={xG|yG,xy=yx}.

Montrer que Z(G) est un sous-groupe de (G,).

 
Exercice 10  4602   

Soit H une partie finie non vide d’un groupe (G,).

On suppose que H est stable pour la loi . Montrer que H est un sous-groupe de G.

 
Exercice 11  2211   Correction  

Soient (G,×) un groupe, H un sous groupe de (G,×) et aG.

  • (a)

    Montrer que aHa-1={axa-1|xH} est un sous groupe de (G,×).

  • (b)

    À quelle condition simple aH={ax|xH} est un sous groupe de (G,×)?

Solution

  • (a)

    aHa-1G, e=aea-1aHa-1.
    Soient axa-1,aya-1aHa-1 avec x,yH on a

    (axa-1)(ay-1a-1)=a(xy-1)a-1aHa-1.
  • (b)

    eaHa-1HaH. Inversement

    aHa-1HaH=H.

    La condition simple cherchée est aH.

 
Exercice 12  2215   Correction  

Soit H et K deux sous-groupes d’un groupe (G,*) tels que HK en soit aussi un sous-groupe. Montrer que HK ou KH.

Solution

Par l’absurde supposons

HK et KH.

Il existe hH tel que hK et kK tel que kH.
On a h,kHK donc h*kHK car HK sous-groupe.
Si h*kH alors k=h-1*(h*k)H car H sous-groupe. Or cela est exclu.
Si h*kK alors h=(h*k)*k-1K car K sous-groupe. Or cela est exclu.
Ainsi h*kHK. Absurde.

 
Exercice 13  4603   

Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe G noté multiplicativement. On forme

HK={xy|xH et yK}etKH={yx|yK et xH}.

Établir que HK est un sous-groupe de G si, et seulement si, KHHK et qu’alors HK=KH.

 
Exercice 14  2217    Correction  

(Description des sous-groupes de (Z,+))

Pour a, on note a={ak|k}.

  • (a)

    Montrer que a est un sous-groupe de (,+).
    On se propose de montrer que, réciproquement, tout sous groupe de est de cette forme.

  • (b)

    Vérifier que le groupe {0} est de la forme voulue.
    Soit H un sous-groupe de (,+) non réduit à {0}.

  • (c)

    Montrer que H+={hH|h>0} possède un plus petit élément. On note a=minH+.

  • (d)

    Établir que aH.

  • (e)

    En étudiant le reste de la division euclidienne d’un élément de H par a montrer que Ha.

  • (f)

    Conclure que pour tout sous-groupe H de , il existe un unique a tel que H=a.

Solution

  • (a)

    a, 0=a.0a.
    Soient x,ya, on peut écrire x=ak et y=a avec k,.
    x-y=a(k-) avec k- donc x-ya.
    Ainsi a est un sous-groupe de .

  • (b)

    Pour a=0, {0}=a.

  • (c)

    Puisque H est non vide et non réduit à {0}, il existe hH tel que h0.
    Si h>0 alors hH+, si h<0 alors -hH (car H sous-groupe) et -h>0 donc -hH+.
    Dans les deux cas H+.
    H+ est une partie non vide de donc H+ possède un plus petit élément.

  • (d)

    0H et aH.
    Par récurrence, la stabilité de H donne

    n,a.n=a++aH.

    Par passage à l’opposé, la stabilité de H par passage au symétrique donne

    n,a.nH.

    Ainsi aH.

  • (e)

    Soit xH. La division euclidienne de x par a0 donne x=aq+r avec q et 0r<a.
    On a r=x-aq avec xH et aqaH donc rH.
    Si r>0 alors rH+ or r<a=minH+ donc cela est impossible.
    Il reste r=0 ce qui donne x=aqa. Ainsi Ha et finalement H=a.

  • (f)

    L’existence est établie ci-dessus. Il reste à montrer l’unicité.
    Soit a,b tel que a=b. On a aa=b donc ba et de même ab, or a,b0 donc a=b.

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Édité le 08-11-2019

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