Exercice 1 127 Correction

Soit $a$ un élément d’un ensemble $X$ .
Montrer l’application $E_{a} : ℱ (X, ℝ) \to ℝ$ définie par $E_{a} (f) = f (a)$ est un morphisme d’anneaux.

Solution

$E_{a} (x \mapsto 1) = 1$ .
Pour tout $f, g \in ℱ (X, ℝ);$ ,

E_{a} (f + g) = (f + g) (a) = f (a) + g (a) = E_{a} (f) + E_{a} (g)

E_{a} (f g) = (f g) (a) = f (a) g (a) = E_{a} (f) E_{a} (g)

donc $E_{a}$ est un morphisme d’anneaux.

Exercice 2 126 Correction

Soit $f : ℂ \to ℂ$ un morphisme d’anneaux tel que

f (x) = x pour tout x \in ℝ .

Montrer que $f$ est l’identité ou la conjugaison complexe.

Solution

Posons $j = f (i)$ . On a $j^{2} = f {(i)}^{2} = f (i^{2}) = f (- 1) = - f (1) = - 1$ donc $j = \pm i$ .

Cas: $j = i$ . Pour tous $a, b \in ℝ$ , $f (a + i b) = f (a) + f (i) f (b) = a + i b$ donc $f = {Id}_{ℂ}$ .

Cas: $j = - i$ . Pour tous $a, b \in ℝ$ , $f (a + i b) = f (a) + f (i) f (b) = a - i b$ donc $f : z \mapsto \bar{z}$ .

Exercice 3 4232

Soit $a$ un élément inversible d’un anneau $(A, +, \times)$ .

Vérifier que l’application $f : x \mapsto a x a^{- 1}$ est un isomorphisme de l’anneau $A$ vers lui-même¹¹ 1 On peut parler d’automorphisme de l’anneau $A$ ..

Exercice 4 132 Correction

Soient $K$ , $L$ deux corps et $f$ un morphisme d’anneaux entre $K$ et $L$ .

(a)

Montrer que $f (x)$ est inversible pour tout $x \in K$ non nul et déterminer $f {(x)}^{- 1}$ .
(b)

En déduire que tout morphisme de corps est injectif.

Solution

(a)

Pour $x \in K ∖ {0}$ ,

$f (x) . f (x^{- 1}) = f (x . x^{- 1}) = f (1_{K}) = 1_{L} .$

L’élément $f (x)$ est donc inversible et $f {(x)}^{- 1} = f (x^{- 1})$ .
(b)

Si $f (x) = f (y)$ alors $f (x) - f (y) = f (x - y) = 0_{L}$ . Or $0_{L}$ n’est pas inversible donc $x - y = 0_{K}$ c’est-à-dire $x = y$ .

Ainsi, le morphisme $f$ est injectif.

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Édité le 29-08-2023

Morphismes d'anneaux