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Exercice 1  126  Correction  

Soit f: un morphisme d’anneaux tel que

f(x)=xpour tout x.

Montrer que f est l’identité ou la conjugaison complexe.

Solution

Posons j=f(i). On a j2=f(i)2=f(i2)=f(-1)=-f(1)=-1 donc j=±i.

Cas: j=i. Pour tous a,b, f(a+ib)=f(a)+f(i)f(b)=a+ib donc f=Id.

Cas: j=-i. Pour tous a,b, f(a+ib)=f(a)+f(i)f(b)=a-ib donc f:zz¯.

 
Exercice 2  127  Correction  

Soit a un élément d’un ensemble X.
Montrer l’application Ea:(X,) définie par Ea(f)=f(a) est un morphisme d’anneaux.

Solution

Ea(x1)=1.
Pour tout f,g(X,);,

Ea(f+g)=(f+g)(a)=f(a)+g(a)=Ea(f)+Ea(g)

et

Ea(fg)=(fg)(a)=f(a)g(a)=Ea(f)Ea(g)

donc Ea est un morphisme d’anneaux.

 
Exercice 3  4232  

Soit a un élément inversible d’un anneau A. Vérifier que l’application f:xaxa-1 est un isomorphisme de l’anneau A vers lui-même11 1 On peut parler d’automorphisme de l’anneau A..

 
Exercice 4  4234  

Vérifier que le noyau d’un morphisme d’anneaux est un idéal.

 
Exercice 5  132   Correction  

Soient K, L deux corps et f un morphisme d’anneaux entre K et L.

  • (a)

    Montrer que f(x) est inversible pour tout xK non nul et déterminer f(x)-1.

  • (b)

    En déduire que tout morphisme de corps est injectif.

Solution

  • (a)

    Pour xK{0},

    f(x).f(x-1)=f(x.x-1)=f(1K)=1L

    L’élément f(x) est donc inversible et f(x)-1=f(x-1).

  • (b)

    Si f(x)=f(y) alors f(x)-f(y)=f(x-y)=0L. Or 0L n’est pas inversible donc x-y=0K c’est-à-dire x=y.

    Ainsi, le morphisme f est injectif.

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Édité le 08-11-2019

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