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Exercice 1  4598  

Soit E un ensemble. On définit la différence symétrique11 1 Voir sujet 4479. AΔB de deux parties A et B de E par la relation AΔB=(AB)(AB¯).

Montrer que ((E),Δ,) est un anneau commutatif.

 
Exercice 2  2243   Correction  

Pour a,b, on pose

ab=a+b-1etab=ab-a-b+2.

Montrer que (,,) est un corps.

Solution

Soit φ: définie par φ:xx-1. φ est une bijection et l’on vérifie

φ(ab)=φ(a)+φ(b)etφ(ab)=φ(a)×φ(b).

Par la bijection φ-1, la structure de corps sur (,+,×) est transportée sur (,,).

Notamment, les neutres de (,,) sont 1 et 2.

 
Exercice 3  2235   

(Anneau de Boole)

Soit (A,+,×) un anneau de Boole11 1 L’anneau ((E),Δ,) étudié dans le sujet 4598 est un exemple non trivial d’anneau de Boole., c’est-à-dire une anneau dans lequel x2=x pour tout xA.

  • (a)

    Montrer que 2.x=0A pour tout xA. En déduire que A est un anneau commutatif.

  • (b)

    Montrer que l’on définit une relation d’ordre sur A en posant

    xyxy=x.
 
Exercice 4  2234   

(Nilpotence)

On dit qu’un élément x d’un anneau (A,+,×) est nilpotent lorsqu’il existe n* vérifiant xn=0A. Soit x et y deux éléments de l’anneau (A,+,×).

  • (a)

    Montrer que si x est nilpotent et que x et y commutent, alors xy est nilpotent.

  • (b)

    Montrer que si xy est nilpotent, alors yx l’est aussi.

  • (c)

    Montrer que si x et y sont nilpotents et commutent, alors x+y est nilpotent.

  • (d)

    Montrer que si x est nilpotent alors 1A-x est inversible et préciser (1A-x)-1.

 
Exercice 5  1221    

Soient a et b deux éléments d’un anneau (A,+,×). Montrer que si 1A-ab est inversible alors 1A-ba l’est aussi.

 
Exercice 6  4606    

Soit (A,+,×) un anneau vérifiant xyx=x2y pour tous x et y dans A. Montrer que l’anneau est commutatif.

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Édité le 08-11-2019

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