Soit $E$ un ensemble. On définit la différence symétrique¹¹ 1 Voir sujet 4479. $A\mathrm{\Delta }B$ de deux parties $A$ et $B$ de $E$ par la relation $A\mathrm{\Delta }B=(A\cup B)\cap (\overline{A\cap B})$.

Montrer que $(\mathrm{\wp }(E),\mathrm{\Delta },\cap )$ est un anneau commutatif.

Pour $a,b\in ℝ$, on pose

Montrer que $(ℝ,\top ,\star )$ est un corps.

(Anneau de Boole)

Soit $(A,+,\times )$ un anneau de Boole¹¹ 1 L’anneau $\mathrm{(}\mathrm{\wp }\mathit{}\mathrm{(}E\mathrm{)}\mathrm{,}\mathrm{\Delta }\mathrm{,}\mathrm{\cap }\mathrm{)}$ étudié dans le sujet 4598 est un exemple non trivial d’anneau de Boole., c’est-à-dire une anneau dans lequel $x^2=x$ pour tout $x\in A$.

• (a)

  Montrer que $2.x=0_A$ pour tout $x\in A$. En déduire que $A$ est un anneau commutatif.

• (b)

  Montrer que l’on définit une relation d’ordre $\preccurlyeq$ sur $A$ en posant

  $$x\preccurlyeq y\iff xy=x\text{.}$$

(Nilpotence)

On dit qu’un élément $x$ d’un anneau $(A,+,\times )$ est nilpotent lorsqu’il existe $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ vérifiant $x^n=0_A$. Soit $x$ et $y$ deux éléments de l’anneau $(A,+,\times )$.

• (a)

  Montrer que si $x$ est nilpotent et que $x$ et $y$ commutent, alors $xy$ est nilpotent.

• (b)

  Montrer que si $xy$ est nilpotent, alors $yx$ l’est aussi.

• (c)

  Montrer que si $x$ et $y$ sont nilpotents et commutent, alors $x+y$ est nilpotent.

• (d)

  Montrer que si $x$ est nilpotent alors $1_A-x$ est inversible et préciser ${(1_A-x)}^{-1}$.

Soient $a$ et $b$ deux éléments d’un anneau $(A,+,\times )$. Montrer que si $1_A-ab$ est inversible alors $1_A-ba$ l’est aussi.

Soit $(A,+,\times )$ un anneau vérifiant $xyx=x^{2}y$ pour tous $x$ et $y$ dans $A$. Montrer que l’anneau est commutatif.