[<] Groupe de cardinal fini [>] Sous-anneaux
Soit un ensemble. On définit la différence symétrique11 1 Voir le sujet 4479. de deux parties et de par la relation .
Montrer que est un anneau commutatif.
(Anneau de Boole)
Soit un anneau de Boole11 1 L’anneau étudié dans le sujet 4598 est un exemple non trivial d’anneau de Boole., c’est-à-dire une anneau dans lequel pour tout .
Montrer que pour tout . En déduire que est un anneau commutatif.
Montrer que l’on définit une relation d’ordre sur en posant
(Nilpotence)
On dit qu’un élément d’un anneau est nilpotent lorsqu’il existe vérifiant . Soient et deux éléments de l’anneau .
Montrer que si est nilpotent et que et commutent, alors est nilpotent.
Montrer que si est nilpotent, alors l’est aussi.
Montrer que si et sont nilpotents et commutent, alors est nilpotent.
Montrer que si est nilpotent alors est inversible et préciser son inverse.
Soient et deux éléments d’un anneau . Montrer que si est inversible alors l’est aussi.
Soit un anneau vérifiant pour tous et dans . Montrer que l’anneau est commutatif.
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Édité le 29-08-2023
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