Exercice 1 4598

Soit $E$ un ensemble. On définit la différence symétrique¹¹ 1 Voir le sujet 4479. $A Δ B$ de deux parties $A$ et $B$ de $E$ par la relation $A Δ B = (A \cup B) \cap (\bar{A \cap B})$ .

Montrer que $(℘ (E), Δ, \cap)$ est un anneau commutatif.

Exercice 2 2235

(Anneau de Boole)

Soit $(A, +, \times)$ un anneau de Boole¹¹ 1 L’anneau $(℘ (E), Δ, \cap)$ étudié dans le sujet 4598 est un exemple non trivial d’anneau de Boole., c’est-à-dire une anneau dans lequel $x^{2} = x$ pour tout $x \in A$ .

(a)

Montrer que $2 . x = 0_{A}$ pour tout $x \in A$ . En déduire que $A$ est un anneau commutatif.
(b)

Montrer que l’on définit une relation d’ordre $≼$ sur $A$ en posant

$x ≼ y \Leftrightarrow x y = x .$

Exercice 3 2234

(Nilpotence)

On dit qu’un élément $x$ d’un anneau $(A, +, \times)$ est nilpotent lorsqu’il existe $n \in ℕ^{*}$ vérifiant $x^{n} = 0_{A}$ . Soient $x$ et $y$ deux éléments de l’anneau $(A, +, \times)$ .

(a)

Montrer que si $x$ est nilpotent et que $x$ et $y$ commutent, alors $x y$ est nilpotent.
(b)

Montrer que si $x y$ est nilpotent, alors $y x$ l’est aussi.
(c)

Montrer que si $x$ et $y$ sont nilpotents et commutent, alors $x + y$ est nilpotent.
(d)

Montrer que si $x$ est nilpotent alors $1_{A} - x$ est inversible et préciser son inverse.

Exercice 4 1221

Soient $a$ et $b$ deux éléments d’un anneau $(A, +, \times)$ . Montrer que si $1_{A} - a b$ est inversible alors $1_{A} - b a$ l’est aussi.

Exercice 5 4606

Soit $(A, +, \times)$ un anneau vérifiant $x y x = x^{2} y$ pour tous $x$ et $y$ dans $A$ . Montrer que l’anneau est commutatif.

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Édité le 29-08-2023

Anneaux