[<] Calcul de covariances [>] Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

 
Exercice 1  4622  

Soient X une variable aléatoire réelle et g:++ une fonction croissante. Montrer que, pour tout réel a positif,

g(a)P(|X|a)E(g(|X|)).
 
Exercice 2  3834   Correction  

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de taille n et de paramètre p.
Montrer que pour tout λ>0 et tout ε>0

P(X-np>nε)E(exp(λ(X-np-nε))).

Solution

Par stricte croissance de l’exponentielle, l’événement X-np>nε équivaut à l’événement

exp(λ(X-np-nε))1.

L’inégalité de Markov appliquée à la variable Y=exp(λ(X-np-nε)) permet alors de conclure

P(exp((λ(X-np-nε)1)E(exp(λ(X-np-nε)))1.
 
Exercice 3  3816  Correction  

Une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètre p et de taille n.

Établir pour ε>0,

P(|Xn-p|ε)p(1-p)εn.

Solution

Rappelons

E(X)=np et V(X)=np(1-p).

Considérons la variable aléatoire

Y=X-np=X-E(X).

Par l’inégalité de Markov,

P(|Y|nε)E(|Y|)nε

donc

P(|Xn-p|ε)E(|Y|)nε.

Or E(|Y|)E(Y2) (cf. Cauchy-Schwarz) avec E(Y2)=V(X)=np(1-p) donc

P(|Xn-p|ε)p(1-p)εn.
 
Exercice 4  4043   Correction  

Soit X une variable aléatoire de moyenne μ et de variance σ2.
En introduisant la variable aléatoire

Y=(α(X-μ)+σ)2.

Montrer que pour tout α>0

P(Xμ+ασ)11+α2.

Solution

On a

E(Y)=α2E((X-μ)2)+2αE(X-μ)+σ2=(α2+1)σ2.

L’inégalité de Markov appliquée à la variable positive Y donne

P(Ya)E(Y)a.

Pour a=σ2(α2+1)2,

P(Ya)11+α2.

Or

(Xμ+ασ)=(α(X-μ)+σ(α2+1)σ)

et donc

(Xμ+ασ)(Ya)

puis

P(Xμ+ασ)11+α2.
 
Exercice 5  4623    

Soient X1,,Xn des variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur {-1,1}. On pose Sn=X1++Xn.

  • (a)

    Montrer que ch(λ)eλ2/2 pour tout réel λ.

  • (b)

    Établir que, pour tout α>0,

    P(Snn>α)e-nα2/2.

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Édité le 08-11-2019

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