Exercice 1 4622

Soient $X$ une variable aléatoire réelle et $g : ℝ_{+} \to ℝ_{+}$ une fonction croissante. Montrer que pour tout réel $a$ positif,

g (a) P (| X | \geq a) \leq E (g (| X |)) .

Exercice 2 3834 Correction

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de taille $n$ et de paramètre $p$ .
Montrer que pour tout $λ > 0$ et tout $ε > 0$

P (X - n p > n ε) \leq E (\exp (λ (X - n p - n ε))) .

Solution

Par stricte croissance de l’exponentielle, l’événement $X - n p > n ε$ équivaut à l’événement

\exp (λ (X - n p - n ε)) \geq 1 .

L’inégalité de Markov appliquée à la variable $Y = \exp (λ (X - n p - n ε))$ permet alors de conclure

P (\exp ((λ (X - n p - n ε) \geq 1) \leq \frac{E (\exp (λ (X - n p - n ε)))}{1} .

Exercice 3 3816 Correction

Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètre $p$ et de taille $n$ .

Établir pour $ε > 0$ ,

P (| \frac{X}{n} - p | \geq ε) \leq \frac{\sqrt{p (1 - p)}}{ε \sqrt{n}} .

Solution

Rappelons

E (X) = n p et V (X) = n p (1 - p) .

Considérons la variable aléatoire

Y = X - n p = X - E (X) .

Par l’inégalité de Markov,

P (| Y | \geq n ε) \leq \frac{E (| Y |)}{n ε}

donc

P (| \frac{X}{n} - p | \geq ε) \leq \frac{E (| Y |)}{n ε} .

Or $E (| Y |) \leq \sqrt{E (Y^{2})}$ (cf. Cauchy-Schwarz) avec $E (Y^{2}) = V (X) = n p (1 - p)$ donc

P (| \frac{X}{n} - p | \geq ε) \leq \frac{\sqrt{p (1 - p)}}{ε \sqrt{n}} .

Exercice 4 4043 Correction

Soit $X$ une variable aléatoire de moyenne $μ$ et de variance $σ^{2}$ .
En introduisant la variable aléatoire

Y = {(α (X - μ) + σ)}^{2} .

Montrer que pour tout $α > 0$

P (X \geq μ + α σ) \leq \frac{1}{1 + α^{2}} .

Solution

On a

E (Y) = α^{2} E ({(X - μ)}^{2}) + 2 α E (X - μ) + σ^{2} = (α^{2} + 1) σ^{2} .

L’inégalité de Markov appliquée à la variable positive $Y$ donne

P (Y \geq a) \leq \frac{E (Y)}{a} .

Pour $a = σ^{2} {(α^{2} + 1)}^{2}$ ,

P (Y \geq a) \leq \frac{1}{1 + α^{2}} .

(X \geq μ + α σ) = (α (X - μ) + σ \geq (α^{2} + 1) σ)

et donc

(X \geq μ + α σ) \subset (Y \geq a)

puis

P (X \geq μ + α σ) \leq \frac{1}{1 + α^{2}} .

Exercice 5 4623

Soient $X_{1}, \dots, X_{n}$ des variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur ${- 1,1}$ . On pose $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n}$ .

(a)

Montrer que $ch (λ) \leq e^{λ^{2} / 2}$ pour tout réel $λ$ .
(b)

Établir que pour tout $α > 0$ ,

$P (\frac{S_{n}}{n} > α) \leq e^{- n α^{2} / 2} .$

Édité le 29-08-2023

Inégalité de Markov