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Exercice 1  3993  Correction  

Soient X et Y deux variables aléatoires réelles sur l’espace probabilisé (Ω,P).
Montrer

|Cov(X,Y)|V(X)V(Y).

Solution

Pour λ, introduisons Z=λX+Y. On a V(Z)0 avec

V(Z)=λ2V(X)+2λCov(X,Y)+V(Y).

Si V(X)=0, on a nécessairement Cov(X,Y)=0 pour que V(Z) soit positif pour tout λ.
Si V(X)0, on a nécessairement Δ=4Cov(X,Y)2-4V(X)V(Y)0 pour que V(Z) soit positif pour tout λ.
Dans les deux cas, on obtient

|Cov(X,Y)|V(X)V(Y).
 
Exercice 2  3994   

Soient X et Y deux variables aléatoires réelles avec V(X)>0. Déterminer (a,b)2 minimisant la quantité

E((Y-(aX+b))2).

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Édité le 08-11-2019

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