Exercice 1 6094 Correction

On lance deux fois un dé à six faces équilibré. On note $X_{1}$ la valeur du premier lancer et $X_{2}$ celle du second lancer. Calculer $Cov (X_{1}, X_{1} + X_{2})$ .

Solution

Les variables $X_{1}$ et $X_{2}$ sont indépendantes et suivent chacune une loi uniforme sur $⟦ 1; 6 ⟧$ .

Par la formule de Huygens,

Cov (X_{1}, X_{1} + X_{2}) = E (X_{1} (X_{1} + X_{2})) - E (X_{1}) E (X_{1} + X_{2}) .

Par linéarité de l’espérance,

Cov (X_{1}, X_{1} + X_{2}) = E (X_{1}^{2}) + E (X_{1} X_{2}) - E {(X_{1})}^{2} - E (X_{1}) E (X_{2}) .

Les variables $X_{1}$ et $X_{2}$ étant indépendantes, $E (X_{1} X_{2}) = E (X_{1}) E (X_{2})$ et donc

Cov (X_{1}, X_{1} + X_{2}) = V (X_{1}) = \frac{6^{2} - 1}{12} = \frac{35}{12} .

Exercice 2 3993 Correction

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles sur l’espace probabilisé $(Ω, P)$ .
Montrer

| Cov (X, Y) | \leq \sqrt{V (X) V (Y)} .

Solution

Pour $λ \in ℝ$ , introduisons $Z = λ X + Y$ . On a $V (Z) \geq 0$ avec

V (Z) = λ^{2} V (X) + 2 λ Cov (X, Y) + V (Y) .

Si $V (X) = 0$ , on a nécessairement $Cov (X, Y) = 0$ pour que $V (Z)$ soit positif pour tout $λ \in ℝ$ .
Si $V (X) \neq 0$ , on a nécessairement $Δ = 4 Cov {(X, Y)}^{2} - 4 V (X) V (Y) \leq 0$ pour que $V (Z)$ soit positif pour tout $λ \in ℝ$ .
Dans les deux cas, on obtient

| Cov (X, Y) | \leq \sqrt{V (X) V (Y)} .

Exercice 3 3994

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles avec $V (X) > 0$ . Déterminer $(a, b) \in ℝ^{2}$ minimisant la quantité

E ({(Y - (a X + b))}^{2}) .

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Édité le 29-11-2025

Covariance