[<] Covariance [>] Inégalité de Markov

 
Exercice 1  4111  Correction  

À un péage autoroutier n voitures franchissent au hasard et indépendamment l’une des trois barrières de péage mises à leur disposition. On note X1,X2,X3 les variables aléatoires dénombrant les voitures ayant franchi ces barrières.

  • (a)

    Déterminer la loi de X1.

  • (b)

    Calculer les variances de X1, X2 et de X1+X2.

  • (c)

    En déduire la covariance de X1 et X2.

Solution

  • (a)

    Chacune des n voitures a la probabilité p=1/3 de choisir le premier péage. Dès lors, la variable aléatoire X1 peut se comprendre comme étant le nombre de succès dans une série de n épreuves indépendantes ayant chacune la probabilité p de réussir. La variable X1 suit une loi binomiale de paramètres n et p=1/3.

  • (b)

    V(X1)=np(1-p)=2n/9 et V(X2)=2n/9 car X1,X2,X3 suivent les mêmes lois.
    Puisque X1+X2=n-X3, V(X1+X2)=V(n-X3)=V(X3)=2n/9.

  • (c)

    Sachant

    V(X1+X2)=V(X1)+2Cov(X1,X2)+V(X2)

    on obtient

    Cov(X1,X2)=-n/9.
 
Exercice 2  4620  

Soient U et V deux variables de Bernoulli indépendantes de paramètres p et q]0;1[. On pose X=U+V et Y=U-V.

  • (a)

    Calculer la covariance de X et Y.

  • (b)

    Les variables X et Y sont-elles indépendantes?

 
Exercice 3  5088  

Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires réelles suivant une loi uniforme sur l’ensemble {(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)}.

  • (a)

    Préciser les lois des variables X et Y.

  • (b)

    Calculer la covariance des variables X et Y. Celles-ci sont-elles indépendantes?

 
Exercice 4  4181     CENTRALE (MP)Correction  

Soit (U,V) un couple de variables aléatoires indépendantes suivant la loi binomiale (2,1/2).

  • (a)

    Montrer que la somme de n variables aléatoires réelles indépendantes qui suivent la loi de Bernoulli de paramètre p]0;1[ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

  • (b)

    On pose S=(U-1)2+(V-1)2. Déterminer la loi de S.

  • (c)

    On pose T=(U-1)(V-1)+1. Calculer E(S(T-1)). Déterminer la loi de T . Calculer la covariance de (S,T). Les variables S et T sont-elles indépendantes?

Solution

  • (a)

    Cf. cours.

  • (b)

    (U-1)2 prend les valeurs 0 et 1 avec

    P((U-1)2=1)=P(U=1)=12.

    Les variables (U-1)2 et (V-1)2 suivent chacune une loi de Bernoulli de paramètre 1/2. Par indépendance de U et V, on a aussi celle de (U-1)2 et (V-1)2 et donc S suit une loi (2,1/2).

  • (c)

    Par indépendance, l’espérance d’un produit est le produit des espérances

    E(S(T-1))=E((U-1)3)E(V-1)+E(U-1)E((V-1)3)=0.

    La variable T prend les valeurs 0, 1 et 2.

    P(T=0)=P(U=0,V=2)+P(U=2,V=0)=18

    et

    P(T=2)=P(U=0,V=0)+P(U=2,V=2)=18.

    On en tire P(T=1)=3/4.

    Par la formule de Huygens,

    Cov(S,T) =E(ST)-E(S)E(T)
    =E(S(T-1))+E(S)-E(S)E(T)
    =0+1-1=0.

    La covariance nulle ne suffit pas à affirmer l’indépendance de S et T. Étudions l’événement (S=0,T=0).

    L’événement (S=0) correspond à (U=1,V=1) alors que (T=0) correspond à (U=0,V=2)(U=2,V=0). Ceux-ci sont incompatibles et donc

    P(S=0,T=0)=0P(S=0)P(T=0).

    Les variables S et T ne sont pas indépendantes.

 
Exercice 5  5310     CCP (MP)Correction  

L’univers Ω est l’ensemble des permutations de 1;n (avec n*) muni de la probabilité uniforme. Soit k1;n. Pour σ élément de Ω, on définit une variable aléatoire réelle Xk par Xk(σ)=1 si k est un point fixe de σ (c’est-à-dire σ(k)=k) et 0 sinon. On note N le nombre de points fixes de σ.

  • (a)

    Que dire de la variable Xk?

  • (b)

    Calculer son espérance et sa variance.

  • (c)

    Calculer Cov(Xi,Xj) (pour i,j1;n distincts).

  • (d)

    Exprimer N en fonction des Xk.

  • (e)

    En déduire E(N) et V(N).

Solution

  • (a)

    La variable Xk prend ses valeurs dans {0,1}, elle suit une loi de Bernoulli. Il y a n! permutations de 1;n et exactement (n-1)! permutations fixant k. On en déduit

    P(Xk=1)=(n-1)!n!=1n.
  • (b)

    E(Xk)=1n et V(Xk)=(n-1)n2.

  • (c)

    Soient ij dans 1;n. La variable XiXj prend ses valeurs dans {0,1}, elle suit aussi une loi de Bernoulli. Il y a (n-2)! permutations de 1;n qui fixent i et j et donc

    E(XiXj)=P(XiXj=1)=(n-2)!n!=1n(n-1).

    On en déduit

    Cov(Xi,Xj)=E(XiXj)-E(Xi)E(Xj)=1n(n-1)-1n2=1(n-1)n2.
  • (d)

    N est la somme des Xk.

  • (e)

    Par linéarité de l’espérance,

    E(N)=k=1nE(Xk)=1.

    Par bilinéarité de la covariance,

    V(N)=Cov(N,N)=i,j=1nCov(Xi,Xj)=i=1nV(Xi)+21i<jnCov(Xi,Xj)=1.
 
Exercice 6  5351   Correction  

On tire deux parties A et B de 1;n indépendemment et selon une loi uniforme.

  • (a)

    Identifier la loi de la variable aléatoire X=Card(A).

  • (b)

    Déterminer l’espérance et la variance de la variable aléatoire Y=Card(AB).

  • (c)

    Même question avec Z=Card(AB).

  • (d)

    Calculer la covariance de Y et Z.

Solution

  • (a)

    X(Ω)=0;n. Pour k0;n, il y a exactement (nk) parties possèdant exactement k éléments. Puisqu’il existe un total de 2n parties dans 1;n, on obtient

    P(X=k)=(nk)12n.

    On observe que X suit une loi binomiale de paramètres n et p=1/2: X se comprend comme le nombre de succès dans la répétition indépendante de n épreuves de Bernoulli indépendantes et A est l’ensemble des indices où il y a eu succès.

  • (b)

    Si l’on répète deux successions de n épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès 1/2 et que l’on forme A et B les ensembles constitués des rangs où l’on a obtenu un succès lors de la première et de la deuxième série, on observe que les variables aléatoires A et B sont indépendantes et suivent une loi uniforme11 1 Chaque tirage correspondant à une partie de 0;n a la même probabilité 1/2n: ces variables respectent le contexte d’étude. La variable AB détermine alors les rangs communs de succès aux deux séries d’épreuves. Or si deux variables suivent des lois de Bernoulli indépendantes de paramètre 1/2, leur produit suit une loi de Bernoulli de paramètre 1/4. On en déduit que Y suit une loi binomiale de paramètres n et p=1/4. Il vient alors

    E(Y)=n4etV(Y)=3n16.
  • (c)

    L’interprétation est semblable: Z est le nombre de rangs où il y a un succès lors de l’une ou l’autre des deux séries. On obtient que Z suit une loi binomiale de paramètres n et p=3/4. Ainsi,

    E(Z)=3n4etV(Y)=3n16.
  • (d)

    On sait

    Card(AB)+Card(AB)=Card(A)+Card(B).

    Par indépendance,

    V(Card(A)+Card(B))=V(Card(A))+V(Card(B))=2V(X)=n2.

    Par développement,

    V(Card(AB)+Card(AB))=V(Y)+2Cov(Y,Z)+V(Z).

    On en déduit

    Cov(Y,Z)=n16.

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Édité le 08-11-2019

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