Chacune des $n$ voitures a la probabilité $p=1/3$ de choisir le premier péage. Dès lors, la variable aléatoire $X_1$ peut se comprendre comme étant le nombre de succès dans une série de $n$ épreuves indépendantes ayant chacune la probabilité $p$ de réussir. La variable $X_1$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=1/3$.

$\mathrm{V}(X_1)=np(1-p)=2n/9$ et $\mathrm{V}(X_2)=2n/9$ car $X_1,X_2,X_3$ suivent les mêmes lois.
Puisque $X_1+X_2=n-X_3$, $\mathrm{V}(X_1+X_2)=\mathrm{V}(n-X_3)=\mathrm{V}(X_3)=2n/9$.

Sachant

$$\mathrm{V}(X_1+X_2)=\mathrm{V}(X_1)+2\mathrm{Cov}(X_1,X_2)+\mathrm{V}(X_2)$$

on obtient

$$\mathrm{Cov}(X_1,X_2)=-n/9\text{.}$$

Cf. cours.

${(U-1)}^2$ prend les valeurs $0$ et $1$ avec

$$\mathrm{P}({(U-1)}^2=1)=\mathrm{P}(U=1)=\frac{1}{2}\text{.}$$

Les variables ${(U-1)}^2$ et ${(V-1)}^2$ suivent chacune une loi de Bernoulli de paramètre $1/2$. Par indépendance de $U$ et $V$, on a aussi celle de ${(U-1)}^2$ et ${(V-1)}^2$ et donc $S$ suit une loi $ℬ(\mathrm{2,1}/2)$.

Par indépendance, l’espérance d’un produit est le produit des espérances

$$\mathrm{E}\left(S(T-1)\right)=\mathrm{E}\left({(U-1)}^3\right)\mathrm{E}(V-1)+\mathrm{E}(U-1)\mathrm{E}\left({(V-1)}^3\right)=0\text{.}$$

La variable $T$ prend les valeurs $0$, $1$ et $2$.

$$\mathrm{P}(T=0)=\mathrm{P}(U=0,V=2)+\mathrm{P}(U=2,V=0)=\frac{1}{8}$$

et

$$\mathrm{P}(T=2)=\mathrm{P}(U=0,V=0)+\mathrm{P}(U=2,V=2)=\frac{1}{8}\text{.}$$

On en tire $\mathrm{P}(T=1)=3/4$.

Par la formule de Huygens,

	$\mathrm{Cov}(S,T)$	$=\mathrm{E}(ST)-\mathrm{E}(S)\mathrm{E}(T)$
		$=\mathrm{E}\left(S(T-1)\right)+\mathrm{E}(S)-\mathrm{E}(S)\mathrm{E}(T)$
		$=0+1-1=0\text{.}$

La covariance nulle ne suffit pas à affirmer l’indépendance de $S$ et $T$. Étudions l’événement $(S=0,T=0)$.

L’événement $(S=0)$ correspond à $(U=1,V=1)$ alors que $(T=0)$ correspond à $(U=0,V=2)\cup (U=2,V=0)$. Ceux-ci sont incompatibles et donc

$$\mathrm{P}(S=0,T=0)=0\ne \mathrm{P}(S=0)\mathrm{P}(T=0)\text{.}$$

Les variables $S$ et $T$ ne sont pas indépendantes.

La variable $X_k$ prend ses valeurs dans $\{\mathrm{0,1}\}$, elle suit une loi de Bernoulli. Il y a $n!$ permutations de $⟦1;n⟧$ et exactement $(n-1)!$ permutations fixant $k$. On en déduit

$$\mathrm{P}(X_k=1)=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac{1}{n}\text{.}$$

$\mathrm{E}(X_k)=\frac{1}{n}$ et $\mathrm{V}(X_k)=\frac{(n-1)}{n^2}$.

Soient $i\ne j$ dans $⟦1;n⟧$. La variable $X_i{X}_j$ prend ses valeurs dans $\{\mathrm{0,1}\}$, elle suit aussi une loi de Bernoulli. Il y a $(n-2)!$ permutations de $⟦1;n⟧$ qui fixent $i$ et $j$ et donc

$$\mathrm{E}(X_i{X}_j)=\mathrm{P}(X_i{X}_j=1)=\frac{(n-2)!}{n!}=\frac{1}{n(n-1)}\text{.}$$

On en déduit

$$\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=\mathrm{E}(X_i{X}_j)-\mathrm{E}(X_i)\mathrm{E}(X_j)=\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{n^2}=\frac{1}{(n-1)n^2}\text{.}$$

$N$ est la somme des $X_k$.

Par linéarité de l’espérance,

$$\mathrm{E}(N)=\sum _{k=1}^n\mathrm{E}(X_k)=1\text{.}$$

Par bilinéarité de la covariance,

$$\mathrm{V}(N)=\mathrm{Cov}(N,N)=\sum _{i,j=1}^n\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=\sum _{i=1}^n\mathrm{V}(X_i)+2\sum _{1\le i<j\le n}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=1\text{.}$$

$X(\mathrm{\Omega })=⟦0;n⟧$. Pour $k\in ⟦0;n⟧$, il y a exactement $\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{k}\right)$ parties possèdant exactement $k$ éléments. Puisqu’il existe un total de $2^n$ parties dans $⟦1;n⟧$, on obtient

$$\mathrm{P}(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{k}\right)\frac{1}{2^n}\text{.}$$

On observe que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=1/2$: $X$ se comprend comme le nombre de succès dans la répétition indépendante de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes et $A$ est l’ensemble des indices où il y a eu succès.

Si l’on répète deux successions de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès $1/2$ et que l’on forme $A$ et $B$ les ensembles constitués des rangs où l’on a obtenu un succès lors de la première et de la deuxième série, on observe que les variables aléatoires $A$ et $B$ sont indépendantes et suivent une loi uniforme¹¹ 1 Chaque tirage correspondant à une partie de $⟦0;n⟧$ a la même probabilité $1/2^n$: ces variables respectent le contexte d’étude. La variable $A\cap B$ détermine alors les rangs communs de succès aux deux séries d’épreuves. Or si deux variables suivent des lois de Bernoulli indépendantes de paramètre $1/2$, leur produit suit une loi de Bernoulli de paramètre $1/4$. On en déduit que $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=1/4$. Il vient alors

$$\mathrm{E}(Y)=\frac{n}{4}\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}\mathrm{V}(Y)=\frac{3n}{16}\text{.}$$

L’interprétation est semblable: $Z$ est le nombre de rangs où il y a un succès lors de l’une ou l’autre des deux séries. On obtient que $Z$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=3/4$. Ainsi,

$$\mathrm{E}(Z)=\frac{3n}{4}\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}\mathrm{V}(Y)=\frac{3n}{16}\text{.}$$

On sait

$$\mathrm{Card}(A\cup B)+\mathrm{Card}(A\cap B)=\mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(B)\text{.}$$

Par indépendance,

$$\mathrm{V}\left(\mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(B)\right)=\mathrm{V}\left(\mathrm{Card}(A)\right)+\mathrm{V}\left(\mathrm{Card}(B)\right)=2\mathrm{V}(X)=\frac{n}{2}\text{.}$$

Par développement,

$$\mathrm{V}\left(\mathrm{Card}(A\cup B)+\mathrm{Card}(A\cap B)\right)=\mathrm{V}(Y)+2\mathrm{Cov}(Y,Z)+\mathrm{V}(Z)\text{.}$$

On en déduit

$$\mathrm{Cov}(Y,Z)=\frac{n}{16}\text{.}$$