Exercice 1 4111 Correction

À un péage autoroutier $n$ voitures franchissent au hasard et indépendamment l’une des trois barrières de péage mises à leur disposition. On note $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ les variables aléatoires dénombrant les voitures ayant franchi ces barrières.

(a)

Déterminer la loi de $X_{1}$ .
(b)

Calculer les variances de $X_{1}$ , $X_{2}$ et de $X_{1} + X_{2}$ .
(c)

En déduire la covariance de $X_{1}$ et $X_{2}$ .

Solution

(a)

Chacune des $n$ voitures a la probabilité $p = 1 / 3$ de choisir le premier péage. Dès lors, la variable aléatoire $X_{1}$ peut se comprendre comme étant le nombre de succès dans une série de $n$ épreuves indépendantes ayant chacune la probabilité $p$ de réussir. La variable $X_{1}$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 1 / 3$ .
(b)

$V (X_{1}) = n p (1 - p) = 2 n / 9$ et $V (X_{2}) = 2 n / 9$ car $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ suivent les mêmes lois.
Puisque $X_{1} + X_{2} = n - X_{3}$ , $V (X_{1} + X_{2}) = V (n - X_{3}) = V (X_{3}) = 2 n / 9$ .
(c)

Sachant

$V (X_{1} + X_{2}) = V (X_{1}) + 2 Cov (X_{1}, X_{2}) + V (X_{2})$

on obtient

$Cov (X_{1}, X_{2}) = - n / 9 .$

Exercice 2 4620

Soient $U$ et $V$ deux variables de Bernoulli indépendantes de paramètres $p$ et $q \in] 0; 1 [$ . On pose $X = U + V$ et $Y = U - V$ .

(a)

Calculer la covariance de $X$ et $Y$ .
(b)

Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?

Exercice 3 5556 Correction

Soit $(X, Y)$ un couple de variables aléatoires réelles suivant une loi uniforme sur l’ensemble ${(1,0), (- 1,0), (0,1), (0, - 1)}$ .

(a)

Préciser les lois des variables $X$ et $Y$ .
(b)

Calculer la covariance des variables $X$ et $Y$ . Celles-ci sont-elles indépendantes?
(c)

Vérifier que les variables $U = X + Y$ et $V = X - Y$ sont indépendantes.

Solution

(a)

Les variables $X$ et $Y$ prennent chacune leurs valeurs dans ${- 1,0,1}$ et l’on peut visualiser leur loi conjointe par le tableau ci-dessous

$Y = - 1$ $Y = 0$ $Y = 1$

$X = - 1$ $0$ $1 / 4$ $0$

$X = 0$ $1 / 4$ $0$ $1 / 4$

$X = 1$ $0$ $1 / 4$ $0$

Les lois de $X$ et $Y$ s’obtiennent en sommant selon les rangées. La loi de $X$ est donnée par

$P (X = - 1) = P (X = 1) = \frac{1}{4} et P (X = 0) = \frac{1}{2}$

et la loi de $Y$ est identique.
(b)

Les variables $X$ et $Y$ sont centrées: $E (X) = E (Y) = 0$ . Le produit $X Y$ étant nul, la formule de Huygens donne

$Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = 0 .$

Les variables aléatoires $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes puisque, par exemple,

$P ((X, Y) = (0,0)) = 0 \neq \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = P (X = 0) P (Y = 0) .$
(c)

Les lois des variables $U = X + Y$ et $V = X - Y$ se déduisent de la loi conjointe de $X$ et $Y$ . On obtient que $U$ et $V$ suivent une loi uniforme sur ${- 1,1}$ .

Pour $ε, ε^{'} \in {- 1,1}$ ,

$P (U = ε, V = ε^{'}) = P (X = \frac{ε + ε}{2}, Y = \frac{ε - ε^{'}}{2}) = \frac{1}{4} = P (U = ε) P (V = ε^{'}) .$

Les variables $U$ et $V$ sont indépendantes.

	$Y = - 1$	$Y = 0$	$Y = 1$
$X = - 1$	$0$	$1 / 4$	$0$
$X = 0$	$1 / 4$	$0$	$1 / 4$
$X = 1$	$0$	$1 / 4$	$0$

Exercice 4 5850 Correction

Une urne contient des boules portant des numéros allant de $1$ à $k$ . On note $p_{i}$ la proportion de boules portant le numéro $i$ dans l’urne.

Avec remise, on tire $n$ boules dans cette urne. Pour $i = 1, \dots, n$ , on note $X_{i}$ le nombre de boules portant le numéro $i$ obtenues.

(a)

Préciser la loi de $X_{i}$ , son espérance et sa variance.
(b)

Pour $i \neq j \in ⟦ 1; k ⟧$ , préciser la loi de $X_{i} + X_{j}$ , son espérance et sa variance.
(c)

En déduire $Cov (X_{i}, X_{j})$ .
(d)

Par le calcul, établir $V (X_{1} + \dots + X_{k}) = 0$ . Expliquer.

Solution

(a)

Si l’on considère qu’obtenir une boule portant le numéro $i$ est un succès, $X_{i}$ compte le nombre de succès lors de la répétition indépendante de $n$ épreuves de Bernoulli de paramètre $p_{i}$ . Par conséquent, $X_{i}$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p_{i}$ . On sait $E (X_{i}) = n p_{i}$ et $V (X_{i}) = n p_{i} (1 - p_{i})$ .
(b)

En considérant qu’obtenir une boule de numéro $i$ ou $j$ est un succès, $X_{i} + X_{j}$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p_{i} + p_{j}$ . On sait $E (X_{i} + X_{j}) = n (p_{i} + p_{j})$ et $V (X_{i} + X_{j}) = n (p_{i} + p_{j}) (1 - p_{i} - p_{j})$ .
(c)

On a l’identité

$V (X_{i} + X_{j}) = V (X_{i}) + 2 Cov (X_{i}, X_{j}) + V (X_{j}) .$

On en déduit

$Cov (X_{i}, X_{j}) = \frac{n}{2} ((p_{i} + p_{j}) (1 - p_{i} - p_{j}) - p_{i} (1 - p_{i}) - p_{j} (1 - p_{j})) = - n p_{i} p_{j} .$

(d)

On a l’identité

	$V (X_{1} + \dots + X_{n})$	$= \sum_{i = 1}^{n} V (X_{i}) + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} Cov (X_{i}, X_{j})$
		$= \sum_{i = 1}^{n} n p_{i} (1 - p_{i}) - 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} n p_{i} p_{j}$
		$= n \sum_{i = 1}^{n} p_{i} - n (\sum_{i = 1}^{n} p_{i}^{2} + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} p_{i} p_{j})$
		$= n \sum_{i = 1}^{n} p_{i} - n {(\sum_{i = 1}^{n} p_{i})}^{2} = n - n = 0 .$

Cela signifie que la variable $X_{1} + \dots + X_{n}$ est presque sûrement constante. Cela s’explique aisément puisque $X_{1} + \dots + X_{n}$ donne le nombre total de boules tirées à savoir $n$ .

Exercice 5 4181 CENTRALE (MP)Correction

Soit $(U, V)$ un couple de variables aléatoires indépendantes suivant la loi binomiale $ℬ (2,1 / 2)$ .

(a)

Montrer que la somme de $n$ variables aléatoires réelles indépendantes qui suivent la loi de Bernoulli de paramètre $p \in] 0; 1 [$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
(b)

On pose $S = {(U - 1)}^{2} + {(V - 1)}^{2}$ . Déterminer la loi de $S$ .
(c)

On pose $T = (U - 1) (V - 1) + 1$ . Calculer $E (S (T - 1))$ . Déterminer la loi de $T$ . Calculer la covariance de $(S, T)$ . Les variables $S$ et $T$ sont-elles indépendantes?

Solution

(a)

Cf. cours.
(b)

${(U - 1)}^{2}$ prend les valeurs $0$ et $1$ avec

$P ({(U - 1)}^{2} = 1) = P (U = 1) = \frac{1}{2} .$

Les variables ${(U - 1)}^{2}$ et ${(V - 1)}^{2}$ suivent chacune une loi de Bernoulli de paramètre $1 / 2$ . Par indépendance de $U$ et $V$ , on a aussi celle de ${(U - 1)}^{2}$ et ${(V - 1)}^{2}$ et donc $S$ suit une loi $ℬ (2,1 / 2)$ .
(c)

Par indépendance, l’espérance d’un produit est le produit des espérances

$E (S (T - 1)) = E ({(U - 1)}^{3}) E (V - 1) + E (U - 1) E ({(V - 1)}^{3}) = 0 .$

La variable $T$ prend les valeurs $0$ , $1$ et $2$ .

$P (T = 0) = P (U = 0, V = 2) + P (U = 2, V = 0) = \frac{1}{8}$

et

$P (T = 2) = P (U = 0, V = 0) + P (U = 2, V = 2) = \frac{1}{8} .$

On en tire $P (T = 1) = 3 / 4$ .

Par la formule de Huygens,

$Cov (S, T)$ $= E (S T) - E (S) E (T)$

$= E (S (T - 1)) + E (S) - E (S) E (T)$

$= 0 + 1 - 1 = 0 .$

La covariance nulle ne suffit pas à affirmer l’indépendance de $S$ et $T$ . Étudions l’événement $(S = 0, T = 0)$ .

L’événement $(S = 0)$ correspond à $(U = 1, V = 1)$ alors que $(T = 0)$ correspond à $(U = 0, V = 2) \cup (U = 2, V = 0)$ . Ceux-ci sont incompatibles et donc

$P (S = 0, T = 0) = 0 \neq P (S = 0) P (T = 0) .$

Les variables $S$ et $T$ ne sont pas indépendantes.

Exercice 6 5310 CCINP (MP)Correction

L’univers $Ω$ est l’ensemble des permutations de $⟦ 1; n ⟧$ (avec $n \in ℕ^{*}$ ) muni de la probabilité uniforme.

Pour $k \in ⟦ 1; n ⟧$ . on définit une variable aléatoire réelle $X_{k}$ en posant

\forall σ \in Ω, X_{k} (σ) = {\begin{matrix} 1 & si σ (k) = k \\ 0 & sinon. \end{matrix}

(a)

Identifier la loi de la variable $X_{k}$ .
(b)

Calculer son espérance et sa variance.
(c)

Calculer $Cov (X_{i}, X_{j})$ (pour $i, j \in ⟦ 1; n ⟧$ distincts).

Pour $σ \in Ω$ , on pose

N (σ) = Card {k \in ⟦ 1; n ⟧ | σ (k) = k} .

(d)

Exprimer $N$ en fonction des $X_{k}$ .
(e)

En déduire $E (N)$ et $V (N)$ .

Solution

(a)

La variable $X_{k}$ prend ses valeurs dans ${0,1}$ , elle suit une loi de Bernoulli. Il y a $n!$ permutations de $⟦ 1; n ⟧$ et exactement $(n - 1)!$ permutations fixant $k$ . On en déduit

$P (X_{k} = 1) = \frac{(n - 1)!}{n!} = \frac{1}{n} .$
(b)

$E (X_{k}) = \frac{1}{n}$ et $V (X_{k}) = \frac{(n - 1)}{n^{2}}$ .
(c)

Soient $i \neq j$ dans $⟦ 1; n ⟧$ . La variable $X_{i} X_{j}$ prend ses valeurs dans ${0,1}$ , elle suit aussi une loi de Bernoulli. Il y a $(n - 2)!$ permutations de $⟦ 1; n ⟧$ qui fixent $i$ et $j$ et donc

$E (X_{i} X_{j}) = P (X_{i} X_{j} = 1) = \frac{(n - 2)!}{n!} = \frac{1}{n (n - 1)} .$

On en déduit

$Cov (X_{i}, X_{j}) = E (X_{i} X_{j}) - E (X_{i}) E (X_{j}) = \frac{1}{n (n - 1)} - \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{(n - 1) n^{2}} .$
(d)

$N$ est la somme des $X_{k}$ .
(e)

Par linéarité de l’espérance,

$E (N) = \sum_{k = 1}^{n} E (X_{k}) = 1 .$

Par bilinéarité de la covariance,

$V (N) = Cov (N, N) = \sum_{i, j = 1}^{n} Cov (X_{i}, X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} V (X_{i}) + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} Cov (X_{i}, X_{j}) = 1 .$

Exercice 7 5351 Correction

On tire deux parties $A$ et $B$ de $⟦ 1; n ⟧$ indépendamment et selon une loi uniforme.

(a)

Identifier la loi de la variable aléatoire $X = Card (A)$ .
(b)

Déterminer l’espérance et la variance de la variable aléatoire $Y = Card (A \cap B)$ .
(c)

Même question avec $Z = Card (A \cup B)$ .
(d)

Calculer la covariance de $Y$ et $Z$ .

Solution

(a)

$X (Ω) = ⟦ 0; n ⟧$ . Pour $k \in ⟦ 0; n ⟧$ , il y a exactement $(\binom{n}{k})$ parties possèdant exactement $k$ éléments. Puisqu’il existe un total de $2^{n}$ parties dans $⟦ 1; n ⟧$ , on obtient

$P (X = k) = (\binom{n}{k}) \frac{1}{2^{n}} .$

On observe que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 1 / 2$ : $X$ se comprend comme le nombre de succès dans la répétition indépendante de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes et $A$ est l’ensemble des indices où il y a eu succès.
(b)

Si l’on répète deux successions de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès $1 / 2$ et que l’on forme $A$ et $B$ les ensembles constitués des rangs où l’on a obtenu un succès lors de la première et de la deuxième série, on observe que les variables aléatoires $A$ et $B$ sont indépendantes et suivent une loi uniforme¹¹ 1 Chaque tirage correspondant à une partie de $⟦ 0; n ⟧$ a la même probabilité $1 / 2^{n}$ : ces variables respectent le contexte d’étude. La variable $A \cap B$ détermine alors les rangs communs de succès aux deux séries d’épreuves. Or si deux variables suivent des lois de Bernoulli indépendantes de paramètre $1 / 2$ , leur produit suit une loi de Bernoulli de paramètre $1 / 4$ . On en déduit que $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 1 / 4$ . Il vient alors

$E (Y) = \frac{n}{4} et V (Y) = \frac{3 n}{16} .$
(c)

L’interprétation est semblable: $Z$ est le nombre de rangs où il y a un succès lors de l’une ou l’autre des deux séries. On obtient que $Z$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 3 / 4$ . Ainsi,

$E (Z) = \frac{3 n}{4} et V (Y) = \frac{3 n}{16} .$
(d)

On sait

$Card (A \cup B) + Card (A \cap B) = Card (A) + Card (B) .$

Par indépendance,

$V (Card (A) + Card (B)) = V (Card (A)) + V (Card (B)) = 2 V (X) = \frac{n}{2} .$

Par développement,

$V (Card (A \cup B) + Card (A \cap B)) = V (Y) + 2 Cov (Y, Z) + V (Z) .$

On en déduit

$Cov (Y, Z) = \frac{n}{16} .$

[<] Covariance [>] Inégalité de Markov

Édité le 29-08-2023

	$Cov (S, T)$	$= E (S T) - E (S) E (T)$
		$= E (S (T - 1)) + E (S) - E (S) E (T)$
		$= 0 + 1 - 1 = 0 .$

Calcul de covariances