[<] Inégalité de Markov

 
Exercice 1  3982  

Une population présente une propriété dans une proportion inconnue p]0;1[ que l’on souhaite estimer. On choisit un échantillon de n personnes et l’on pose Xi=1 si le i-ème individu présente la propriété étudiée, 0 sinon. On considère que les variables aléatoires Xi ainsi définies sont indépendantes et suivent chacune une loi de Bernoulli de paramètre p. Enfin, on pose Sn=X1++Xn.

  • (a)

    Soit ε>0. Établir

    P(|Snn-p|>ε)14nε2.
  • (b)

    Pour ε=0,05, quelle valeur de n peut-on choisir pour que Sn/n constitue une valeur approchée de p à ε près avec une probabilité supérieure à 95 %?

 
Exercice 2  4042  Correction  

Soit X une variable aléatoire d’espérance μ et de variance σ2. Montrer

P(μ-ασ<X<μ+ασ)1-1α2.

Solution

Par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev,

P(|X-μ|ασ)<σ2(ασ2)=1α2.

On conclut par considération d’évènement complémentaire.

 
Exercice 3  4035   

Soit (Xn)n une suite de variables aléatoires telle que, pour tout n, Xn suit une loi binomiale de paramètres n et p]0;1[. Soit k. Établir

P(Xnk)n+0.

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Édité le 08-11-2019

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