Exercice 1 3982

Une population présente une propriété dans une proportion inconnue $p \in] 0; 1 [$ que l’on souhaite estimer. On choisit un échantillon de $n$ personnes et l’on pose $X_{i} = 1$ si le $i$ -ème individu présente la propriété étudiée, 0 sinon. On considère que les variables aléatoires $X_{i}$ ainsi définies sont indépendantes et suivent chacune une loi de Bernoulli de paramètre $p$ . Enfin, on pose $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n}$ .

(a)

Soit $ε > 0$ . Établir

$P (| \frac{S_{n}}{n} - p | > ε) \leq \frac{1}{4 n ε^{2}} .$
(b)

Pour $ε = 0,05$ , quelle valeur de $n$ peut-on choisir pour que $S_{n} / n$ constitue une valeur approchée de $p$ à $ε$ près avec une probabilité supérieure à 95 %?

Exercice 2 5557 Correction

On souhaite estimer l’équilibre d’une pièce.

On note $p$ la probabilité (inconnue) que la pièce tombe côté face lors d’un lancer.

On lance $n$ fois la pièce et l’on pose $F_{n}$ égal à la fréquence de lancers ayant donné face.

(a)

Calculer $E (F_{n})$ . Vérifier $V (F_{n}) \leq \frac{1}{4 n}$ .
(b)

En employant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, à partir de combien de lancers peut-on supposer que $F_{n}$ est une approximation de $p$ à $ε = 10^{- 2}$ près avec une probabilité supérieure à 95 % ?

Solution

(a)

La variable $S_{n} = n F_{n}$ compte le nombre de lancers ayant donnés face. La variable $S_{n}$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ . Son espérance vaut $n p$ et sa variance vaut $n p (1 - p)$ . On a donc

$E (F_{n}) = \frac{1}{n} E (S_{n}) = p et V (F_{n}) = \frac{1}{n^{2}} V (S_{n}) = \frac{p (1 - p)}{n}$

Par l’inégalité classique $x (1 - x) \leq 1 / 4$ , on obtient $V (F_{n}) \leq 1 / 4 n$ .
(b)

Par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev,

$P (| F_{n} - p | \geq ε) = P (| F_{n} - E (F_{n}) | \geq ε) \leq \frac{V (F_{n})}{ε^{2}} = \frac{1}{4 n ε^{2}} .$

Il suffit que

$\frac{1}{4 n ε^{2}} \leq \ltx@orig@numprint 0.05$

pour assurer que $F_{n}$ est une approximation de $p$ à $ε$ près avec une probabilité supérieure à $95$ %.

Numériquement, cela ndonne $n \geq \ltx@orig@numprint 50000$ .

Exercice 3 4042 Correction

Soit $X$ une variable aléatoire d’espérance $μ$ et de variance $σ^{2}$ . Montrer

P (μ - α σ < X < μ + α σ) \geq 1 - \frac{1}{α^{2}} .

Solution

Par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev,

P (| X - μ | \geq α σ) < \frac{σ^{2}}{(α σ^{2})} = \frac{1}{α^{2}} .

On conclut par considération d’évènement complémentaire.

Exercice 4 4035

Soit ${(X_{n})}_{n \in ℕ}$ une suite de variables aléatoires telle que, pour tout $n \in ℕ$ , $X_{n}$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p \in] 0; 1 [$ . Soit $k \in ℕ$ . Établir

P (X_{n} \leq k) \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

[<] Inégalité de Markov

Édité le 23-02-2024

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev