[<] Indépendance de variables aléatoires [>] Espérance
On lance deux dés équilibrés et l’on note et la plus petite et la plus grande des valeurs obtenues.
Par un tableau, déterminer la loi conjointe de et .
En déduire les lois de et .
Déterminer les lois de sachant .
Soient et deux variables aléatoires à valeurs respectivement dans et (avec ). On suppose que pour tout ,
Montrer que les lois marginales de sont uniformes et indépendantes.
Inversement, on suppose que et sont des variables indépendantes suivant des lois uniformes. La loi conjointe de et est-elle uniforme?
Solution
Pour ,
La variable suit une loi uniforme sur . Par un calcul analogue, on vérifie que suit une loi uniforme sur . De plus, pour tout ,
Les variables aléatoires sont indépendantes.
Supposons que suit une loi uniforme sur un ensemble (fini) et sur un ensemble (fini) . Supposons au surplus les variables et indépendantes.
Posons et . Pour tout ,
Ainsi, suit une loi uniforme sur .
Soit une variable aléatoire à valeurs dans telle que chaque élément de soit une valeur prise par avec une probabilité non nulle. Aussi, soit une variable aléatoire telle que, pour tout , la loi de conditionnée à est uniforme sur
Exprimer la loi de en fonction de celle de .
En déduire l’espérance de en fonction de celle de .
Retrouver ce résultat en considérant la variable .
Soient des réels positifs de somme et .
Soient et deux variables aléatoires à valeurs dans vérifiant
Identifier les lois des variables et .
Identifier la loi de la variable .
Solution
Les variables et sont presque sûrement à valeurs dans .
Pour ,
On réécrit le calcul afin de faire apparaître le développement d’un binôme de Newton
Puisque , on reconnaît une loi binomiale de paramètres et .
Par un calcul analogue, suit une loi binomiale de paramètres et .
La variable est presque sûrement à valeurs dans .
Pour ,
À nouveau, en faisant apparaître le développement d’un binôme de Newton, on obtient que suit une loi de Bernoulli de paramètres et .
Deux variables aléatoires11 1 À défaut de précision, les variables aléatoires introduites sont toujours supposées définies sur un même espace probabilisé fini . indépendantes et suivent des lois binomiales de tailles et et de même probabilité de réussite .
Identifier la loi suivie par la variable aléatoire .
Soit . Calculer la loi de pour la probabilité conditionnelle .
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Édité le 09-06-2025
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