[<] Indépendance de variables aléatoires [>] Espérance

 
Exercice 1  4580  

On lance deux dés équilibrés et l’on note Y et Z la plus petite et la plus grande des valeurs obtenues.

  • (a)

    Par un tableau, déterminer la loi conjointe de Y et Z.

  • (b)

    En déduire les lois de Y et Z.

  • (c)

    Déterminer les lois de Z sachant Y.

 
Exercice 2  5216  Correction  

Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs respectivement dans 1;n et 1;m (avec n,m*). On suppose que pour tout (i,j)1;n×1;m,

P(X=i,Y=j)=1nm.
  • (a)

    Montrer que les lois marginales de (X,Y) sont uniformes et indépendantes.

  • (b)

    Inversement, on suppose que X et Y sont des variables indépendantes suivant des lois uniformes. La loi conjointe de X et Y est-elle uniforme?

Solution

  • (a)

    Pour i1;n,

    P(X=i)=j=1mP(X=i,Y=j)=j=1m1mn=1n.

    La variable X suit une loi uniforme sur 1;n. Par un calcul analogue, on vérifie que Y suit une loi uniforme sur 1;m. De plus, pour tout (i,j)1;n×1;m,

    P(X=i,Y=j)=1nm=1n1m=P(X=i)P(Y=j).

    Les variables aléatoires sont indépendantes.

  • (b)

    Supposons que X suit une loi uniforme sur un ensemble (fini) E et Y sur un ensemble (fini) F. Supposons au surplus les variables X et Y indépendantes.

    Posons n=Card(E) et m=Card(F). Pour tout (x,y)E×F,

    P((X,Y)=(x,y))=P(X=x)P(Y=y)=1n1m=1nm=1Card(E×F).

    Ainsi, (X,Y) suit une loi uniforme sur E×F.

 
Exercice 3  4619   

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans 1;n telle que chaque élément de 1;n soit une valeur prise par X avec une probabilité non nulle. Aussi, soit Y une variable aléatoire telle que, pour tout k1;n, la loi de Y sachant (X=k) est uniforme sur 1;k

  • (a)

    Exprimer la loi de Y en fonction de celle de X.

  • (b)

    En déduire l’espérance de Y en fonction de celle de X.

  • (c)

    Retrouver ce résultat en considérant la variable Z=X+1-Y.

 
Exercice 4  3817   

Deux variables aléatoires11 1 À défaut de précision, les variables aléatoires introduites sont toujours supposées définies sur un même espace probabilisé fini (Ω,P). indépendantes X et Y suivent des lois binomiales de tailles n et m et de même probabilité de réussite p]0;1[.

  • (a)

    Identifier la loi suivie par la variable aléatoire S=X+Y.

  • (b)

    Soit s0;n+m. Identifier la loi de X sachant (S=s).

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Édité le 08-11-2019

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