[<] Indépendance de variables aléatoires [>] Espérance

 
Exercice 1  4580  

On lance deux dés équilibrés et l’on note Y et Z la plus petite et la plus grande des valeurs obtenues.

  • (a)

    Par un tableau, déterminer la loi conjointe de Y et Z.

  • (b)

    En déduire les lois de Y et Z.

  • (c)

    Déterminer les lois de Z sachant Y.

 
Exercice 2  5216  Correction  

Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs respectivement dans 1;n et 1;m (avec n,m*). On suppose que pour tout (i,j)1;n×1;m,

P(X=i,Y=j)=1nm.
  • (a)

    Montrer que les lois marginales de (X,Y) sont uniformes et indépendantes.

  • (b)

    Inversement, on suppose que X et Y sont des variables indépendantes suivant des lois uniformes. La loi conjointe de X et Y est-elle uniforme?

Solution

  • (a)

    Pour i1;n,

    P(X=i)=j=1mP(X=i,Y=j)=j=1m1mn=1n.

    La variable X suit une loi uniforme sur 1;n. Par un calcul analogue, on vérifie que Y suit une loi uniforme sur 1;m. De plus, pour tout (i,j)1;n×1;m,

    P(X=i,Y=j)=1nm=1n1m=P(X=i)P(Y=j).

    Les variables aléatoires sont indépendantes.

  • (b)

    Supposons que X suit une loi uniforme sur un ensemble (fini) E et Y sur un ensemble (fini) F. Supposons au surplus les variables X et Y indépendantes.

    Posons n=Card(E) et m=Card(F). Pour tout (x,y)E×F,

    P((X,Y)=(x,y))=P(X=x)P(Y=y)=1n1m=1nm=1Card(E×F).

    Ainsi, (X,Y) suit une loi uniforme sur E×F.

 
Exercice 3  4619   

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans 1;n telle que chaque élément de 1;n soit une valeur prise par X avec une probabilité non nulle. Aussi, soit Y une variable aléatoire telle que, pour tout k1;n, la loi de Y conditionnée à (X=k) est uniforme sur 1;k

  • (a)

    Exprimer la loi de Y en fonction de celle de X.

  • (b)

    En déduire l’espérance de Y en fonction de celle de X.

  • (c)

    Retrouver ce résultat en considérant la variable Z=X+1Y.

 
Exercice 4  5969   Correction  

Soient a,b,c des réels positifs de somme 1 et n.

Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans vérifiant

k,,P(X=k,Y=)={n!k!!(n-k-)!akbcn-k- si k+n0 sinon.
  • (a)

    Identifier les lois des variables X et Y.

  • (b)

    Identifier la loi de la variable X+Y.

Solution

  • (a)

    Les variables X et Y sont presque sûrement à valeurs dans 0;n.

    Pour k0;n,

    P(X=k)=P(X=k,Y=)==0n-kn!k!!(n-k-)!akbcn-k-.

    On réécrit le calcul afin de faire apparaître le développement d’un binôme de Newton

    P(X=k)=n!k!n-k!ak=0n-k(n-k)!!(n-k-)!bcn-k-=(nk)ak(b+c)n-k.

    Puisque b+c=1-a, on reconnaît une loi binomiale de paramètres n et a.

    Par un calcul analogue, Y suit une loi binomiale de paramètres n et b.

  • (b)

    La variable X+Y est presque sûrement à valeurs dans 0;n.

    Pour m0;n,

    P(X+Y=m)=k,k+=mP(X=k,Y=)=k=0mn!k!(m-k)!(n-k-)!akbm-kcn-k-.

    À nouveau, en faisant apparaître le développement d’un binôme de Newton, on obtient que X+Y suit une loi de Bernoulli de paramètres n et a+b.

 
Exercice 5  3817   

Deux variables aléatoires11 1 À défaut de précision, les variables aléatoires introduites sont toujours supposées définies sur un même espace probabilisé fini (Ω,P). indépendantes X et Y suivent des lois binomiales de tailles n et m et de même probabilité de réussite p]0;1[.

  • (a)

    Identifier la loi suivie par la variable aléatoire S=X+Y.

  • (b)

    Soit s0;n+m. Calculer la loi de X pour la probabilité conditionnelle P(S=s).

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Édité le 09-06-2025

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