Exercice 1 4580

On lance deux dés équilibrés et l’on note $Y$ et $Z$ la plus petite et la plus grande des valeurs obtenues.

(a)

Par un tableau, déterminer la loi conjointe de $Y$ et $Z$ .
(b)

En déduire les lois de $Y$ et $Z$ .
(c)

Déterminer les lois de $Z$ sachant $Y$ .

Exercice 2 5216 Correction

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs respectivement dans $⟦ 1; n ⟧$ et $⟦ 1; m ⟧$ (avec $n, m \in ℕ^{*}$ ). On suppose que pour tout $(i, j) \in ⟦ 1; n ⟧ \times ⟦ 1; m ⟧$ ,

P (X = i, Y = j) = \frac{1}{n m} .

(a)

Montrer que les lois marginales de $(X, Y)$ sont uniformes et indépendantes.
(b)

Inversement, on suppose que $X$ et $Y$ sont des variables indépendantes suivant des lois uniformes. La loi conjointe de $X$ et $Y$ est-elle uniforme?

Solution

(a)

Pour $i \in ⟦ 1; n ⟧$ ,

$P (X = i) = \sum_{j = 1}^{m} P (X = i, Y = j) = \sum_{j = 1}^{m} \frac{1}{m n} = \frac{1}{n} .$

La variable $X$ suit une loi uniforme sur $⟦ 1; n ⟧$ . Par un calcul analogue, on vérifie que $Y$ suit une loi uniforme sur $⟦ 1; m ⟧$ . De plus, pour tout $(i, j) \in ⟦ 1; n ⟧ \times ⟦ 1; m ⟧$ ,

$P (X = i, Y = j) = \frac{1}{n m} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m} = P (X = i) P (Y = j) .$

Les variables aléatoires sont indépendantes.
(b)

Supposons que $X$ suit une loi uniforme sur un ensemble (fini) $E$ et $Y$ sur un ensemble (fini) $F$ . Supposons au surplus les variables $X$ et $Y$ indépendantes.

Posons $n = Card (E)$ et $m = Card (F)$ . Pour tout $(x, y) \in E \times F$ ,

$P ((X, Y) = (x, y)) = P (X = x) P (Y = y) = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m} = \frac{1}{n m} = \frac{1}{Card (E \times F)} .$

Ainsi, $(X, Y)$ suit une loi uniforme sur $E \times F$ .

Exercice 3 4619

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $⟦ 1; n ⟧$ telle que chaque élément de $⟦ 1; n ⟧$ soit une valeur prise par $X$ avec une probabilité non nulle. Aussi, soit $Y$ une variable aléatoire telle que, pour tout $k \in ⟦ 1; n ⟧$ , la loi de $Y$ conditionnée à $(X = k)$ est uniforme sur $⟦ 1; k ⟧$

(a)

Exprimer la loi de $Y$ en fonction de celle de $X$ .
(b)

En déduire l’espérance de $Y$ en fonction de celle de $X$ .
(c)

Retrouver ce résultat en considérant la variable $Z = X + 1 - Y$ .

Exercice 4 5969 Correction

Soient $a, b, c$ des réels positifs de somme $1$ et $n \in ℕ$ .

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $ℕ$ vérifiant

\forall k, ℓ \in ℕ, P (X = k, Y = ℓ) = {\begin{matrix} \frac{n!}{k! ℓ! (n - k - ℓ)!} a^{k} b^{ℓ} c^{n - k - ℓ} & si k + ℓ \leq n \\ 0 & sinon. \end{matrix}

(a)

Identifier les lois des variables $X$ et $Y$ .
(b)

Identifier la loi de la variable $X + Y$ .

Solution

(a)

Les variables $X$ et $Y$ sont presque sûrement à valeurs dans $⟦ 0; n ⟧$ .

Pour $k \in ⟦ 0; n ⟧$ ,

$P (X = k) = \sum_{ℓ \in ℕ} P (X = k, Y = ℓ) = \sum_{ℓ = 0}^{n - k} \frac{n!}{k! ℓ! (n - k - ℓ)!} a^{k} b^{ℓ} c^{n - k - ℓ} .$

On réécrit le calcul afin de faire apparaître le développement d’un binôme de Newton

$P (X = k) = \frac{n!}{k! n - k!} a^{k} \sum_{ℓ = 0}^{n - k} \frac{(n - k)!}{ℓ! (n - k - ℓ)!} b^{ℓ} c^{n - k - ℓ} = (\binom{n}{k}) a^{k} {(b + c)}^{n - k} .$

Puisque $b + c = 1 - a$ , on reconnaît une loi binomiale de paramètres $n$ et $a$ .

Par un calcul analogue, $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $b$ .
(b)

La variable $X + Y$ est presque sûrement à valeurs dans $⟦ 0; n ⟧$ .

Pour $m \in ⟦ 0; n ⟧$ ,

$P (X + Y = m) = \sum_{\binom{k, ℓ \in ℕ}{k + ℓ = m}} P (X = k, Y = ℓ) = \sum_{k = 0}^{m} \frac{n!}{k! (m - k)! (n - k - ℓ)!} a^{k} b^{m - k} c^{n - k - ℓ} .$

À nouveau, en faisant apparaître le développement d’un binôme de Newton, on obtient que $X + Y$ suit une loi de Bernoulli de paramètres $n$ et $a + b$ .

Exercice 5 3817

Deux variables aléatoires¹¹ 1 À défaut de précision, les variables aléatoires introduites sont toujours supposées définies sur un même espace probabilisé fini $(Ω, P)$ . indépendantes $X$ et $Y$ suivent des lois binomiales de tailles $n$ et $m$ et de même probabilité de réussite $p \in] 0; 1 [$ .

(a)

Identifier la loi suivie par la variable aléatoire $S = X + Y$ .
(b)

Soit $s \in ⟦ 0; n + m ⟧$ . Calculer la loi de $X$ pour la probabilité conditionnelle $P_{(S = s)}$ .

[<] Indépendance de variables aléatoires [>] Espérance

Édité le 09-06-2025

Loi conjointe