Exercice 1 4613

On tire successivement $n \in ℕ^{*}$ boules dans une urne contenant $b$ boules blanches et $r$ boules rouges et l’on pose $X$ le nombre de boules blanches obtenues.

(a)

Déterminer la loi de $X$ lorsque le tirage a lieu avec remise.
(b)

Déterminer la loi de $X$ lorsque le tirage a lieu sans remise et que $n \leq b + r$ .

Exercice 2 4625

On considère deux dés discernables à $6$ faces non nécessairement équilibrés, non nécessairement identiques. On note $X_{1}$ et $X_{2}$ les variables aléatoires indépendantes déterminant les valeurs de ces deux dés.

(a)

Montrer que le polynôme réel $P = 1 + X + X^{2} + \dots + X^{10}$ ne peut pas se factoriser dans $ℝ [X]$ comme un produit de deux polynômes réels de degré $5$ .
(b)

Montrer qu’il est impossible que $X_{1} + X_{2}$ suive une loi uniforme sur $⟦ 2; 12 ⟧$ .

Exercice 3 4956 Correction

Une urne contient $n \in ℕ^{*}$ boules numérotées de $1$ à $n$ . On tire avec remise des boules dans cette urne jusqu’à ce qu’une boule ait été tirée deux fois. On note $T$ la variable aléatoire à valeurs dans $⟦ 2; n + 1 ⟧$ précisant le nombre de tirages alors effectués.

(a)

Proposer un espace probabilisé $(Ω, P)$ modélisant cette expérience.
(b)

Calculer $P (T = 2)$ .
(c)

Soit $k \in ⟦ 1; n + 1 ⟧$ . Exprimer $P (T > k ∣ T > k - 1)$ .
(d)

Donner un expression de $P (T = k)$ pour tout $k \in ⟦ 2; n + 1 ⟧$

Solution

(a)

Quitte à poursuivre les tirages dans l’urne, on peut supposer que l’on tire exactement $n + 1$ boules dans celle-ci et l’on s’intéresse alors au rang d’apparition d’un premier tirage identique à l’un des précédents. Les tirages étant équiprobables, on considère $Ω = {⟦ 1; n ⟧}^{n + 1}$ muni de la probabilité uniforme.
(b)

Pour $k \in ⟦ 1; n + 1 ⟧$ , introduisons $X_{k}$ la variable aléatoire déterminant le numéro de la boule obtenue lors du $k$ -ième tirage: celles-ci sont indépendantes car le tirage est supposé avoir lieu avec remise. L’événement $T = 2$ se confond avec $X_{1} = X_{2}$ qui est lui-même la réunion des $(X_{1} = i, X_{2} = i)$ pour $i$ allant de $1$ à $n$ . Ces derniers événements étant deux à deux incompatibles

$P (T = 2) = \sum_{i = 1}^{n} P (X_{1} = i, X_{2} = i) = \sum_{i = 1}^{n} P (X_{1} = i) P (X_{2} = i) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{n} \times \frac{1}{n} = \frac{1}{n} .$
(c)

L’événement $(T > k - 1)$ est de probabilité non nulle et correspond à l’obtention de valeurs deux à deux distinctes de $X_{1}, \dots, X_{k - 1}$ . Par conséquent,

$P (T > k ∣ T > k - 1) = P (X_{k} \neq X_{1}, \dots, X_{k - 1} ∣ T > k - 1) = \frac{n - (k - 1)}{n} .$
(d)

Pour $k \in ⟦ 1; n + 1 ⟧$ , on a par définition d’une probabilité conditionnelle,

$P (T > k ∣ T > k - 1) = \frac{P (T > k, T > k - 1)}{P (T > k - 1)} = \frac{P (T > k)}{P (T > k - 1)}$

et donc

$P (T > k)$ $= \frac{n - (k - 1)}{n} P (T > k - 1) = \dots$

$= \underset{\begin{matrix} k - 1 facteurs \end{matrix}}{\underset{⏟}{\frac{n - (k - 1)}{n} \cdot \frac{n - (k - 2)}{n} \dots \frac{n - 1}{n}}} = \frac{n!}{(n - k)! n^{k}} .$

Pour $k \in ⟦ 2; n ⟧$ , on obtient

$P (T = k)$ $= P (T > k - 1) - P (T > k)$

$= \frac{n!}{(n - k + 1)! n^{k - 1}} - \frac{n!}{(n - k)! n^{k}} = \frac{(k - 1) n!}{(n - k + 1)! n^{k}} .$

Exercice 4 5218

(Fonction caractéristique)

On appelle fonction caractéristique d’une variable aléatoire $X$ prenant un nombre fini de valeurs dans $ℤ$ , l’application $φ_{X} : ℝ \to ℂ$ définie par¹¹ 1 On admet que la notion d’espérance et les résultats associés se généralisent aux variables aléatoires à valeurs complexes.

φ_{X} (t) = E (e^{i t X}) .

(a)

Vérifier que $φ_{X}$ est $2 π$ -périodique et de classe $𝒞^{\infty}$ . Calculer $φ_{X} (0)$ et $φ_{X}^{'} (0)$ .
(b)

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $ℤ$ . Établir

$φ_{X + Y} = φ_{X} φ_{Y} .$
(c)

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $ℤ$ . Établir

$φ_{X} = φ_{Y} ⟹ X et Y suivent la même loi.$
(d)

Application : Retrouver par ces résultats que la somme de $n \geq 1$ variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre $p \in [0; 1]$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ .

[>] Loi binomiale

Édité le 29-08-2023

	$P (T > k)$	$= \frac{n - (k - 1)}{n} P (T > k - 1) = \dots$
		$= \underset{\begin{matrix} k - 1 facteurs \end{matrix}}{\underset{⏟}{\frac{n - (k - 1)}{n} \cdot \frac{n - (k - 2)}{n} \dots \frac{n - 1}{n}}} = \frac{n!}{(n - k)! n^{k}} .$

	$P (T = k)$	$= P (T > k - 1) - P (T > k)$
		$= \frac{n!}{(n - k + 1)! n^{k - 1}} - \frac{n!}{(n - k)! n^{k}} = \frac{(k - 1) n!}{(n - k + 1)! n^{k}} .$

Calcul de loi