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Exercice 1  4613  

On tire successivement n* boules dans une urne contenant b boules blanches et r boules rouges et l’on pose X le nombre de boules blanches obtenues.

  • (a)

    Déterminer la loi de X lorsque le tirage a lieu avec remise.

  • (b)

    Déterminer la loi de X lorsque le tirage a lieu sans remise et que nb+r.

 
Exercice 2  4625   

On considère deux dés discernables à 6 faces non nécessairement équilibrés, non nécessairement identiques. On note X1 et X2 les variables aléatoires indépendantes déterminant les valeurs de ces deux dés.

  • (a)

    Montrer que le polynôme réel P=1+X+X2++X10 ne peut pas se factoriser dans [X] comme un produit de deux polynômes réels de degré 5.

  • (b)

    Montrer qu’il est impossible que X1+X2 suive une loi uniforme sur 2;12.

 
Exercice 3  4956   Correction  

Une urne contient n* boules numérotées de 1 à n. On tire avec remise des boules dans cette urne jusqu’à ce qu’une boule ait été tirée deux fois. On note T la variable aléatoire à valeurs dans 2;n+1 précisant le nombre de tirages alors effectués.

  • (a)

    Proposer un espace probabilisé (Ω,P) modélisant cette expérience.

  • (b)

    Calculer P(T=2).

  • (c)

    Soit k1;n+1. Exprimer P(T>kT>k-1).

  • (d)

    Donner un expression de P(T=k) pour tout k2;n+1

Solution

  • (a)

    Quitte à poursuivre les tirages dans l’urne, on peut supposer que l’on tire exactement n+1 boules dans celle-ci et l’on s’intéresse alors au rang d’apparition d’un premier tirage identique à l’un des précédents. Les tirages étant équiprobables, on considère Ω=1;nn+1 muni de la probabilité uniforme.

  • (b)

    Pour k1;n+1, introduisons Xk la variable aléatoire déterminant le numéro de la boule obtenue lors du k-ième tirage: celles-ci sont mutuellement indépendantes car le tirage est supposé avoir lieu avec remise. L’événement T=2 se confond avec X1=X2 qui est lui-même la réunion des (X1=i,X2=i) pour i allant de 1 à n. Ces derniers événements étant deux à deux incompatibles

    P(T=2)=i=1nP(X1=i,X2=i)=i=1nP(X1=i)P(X2=i)=i=1n1n×1n=1n.
  • (c)

    L’événement (T>k-1) est de probabilité non nulle et correspond à l’obtention de valeurs deux à deux distinctes de X1,,Xk-1. Par conséquent,

    P(T>kT>k-1)=P(XkX1,,Xk-1T>k-1)=n-(k-1)n.
  • (d)

    Pour k1;n+1, on a par définition d’une probabilité conditionnelle,

    P(T>kT>k-1)=P(T>k,T>k-1)P(T>k-1)=P(T>k)P(T>k-1)

    et donc

    P(T>k) =n-(k-1)nP(T>k-1)=
    =n-(k-1)nn-(k-2)nn-1nk-1 facteurs=n!(n-k)!nk.

    Pour k2;n, on obtient

    P(T=k) =P(T>k-1)-P(T>k)
    =n!(n-k+1)!nk-1-n!(n-k)!nk=(k-1)n!(n-k+1)!nk.
 
Exercice 4  5218   

(Fonction caractéristique)

On appelle fonction caractéristique d’une variable aléatoire X prenant ses valeurs dans , l’application φX: définie par11 1 On admet que la notion d’espérance et les résultats associés se généralisent aux variables aléatoires à valeurs complexes.

φX(t)=E(eitX).
  • (a)

    Vérifier que φX est 2π-périodique et de classe 𝒞. Calculer φX(0) et φX(0).

  • (b)

    Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans . Établir

    φX+Y=φXφY.
  • (c)

    Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans . Établir

    φX=φYX et Y suivent la même loi.
  • (d)

    Application: Retrouver par ces résultats que la somme de n1 variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre p[0;1] suit une loi binomiale de paramètres n et p.

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Édité le 08-11-2019

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