Exercice 1 3975 Correction

On suppose que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n \in ℕ^{*}$ et $p \in [0; 1]$ .

Déterminer la loi suivie par la variable $Y = n - X$ .

Solution

Puisque $X (Ω) \subset ⟦ 0; n ⟧$ , on a aussi $Y (Ω) \subset ⟦ 0; n ⟧$ . Pour $k \in ⟦ 0; n ⟧$ ,

P (Y = k) = P (X = n - k) = (\binom{n}{n - k}) p^{n - k} {(1 - p)}^{k} = (\binom{n}{k}) {(1 - p)}^{k} {(1 - (1 - p))}^{n - k} .

La variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $q = 1 - p$ .

Exercice 2 5555 Correction

Soient $X_{1}, \dots, X_{n}$ des variables aléatoires indépendantes uniformes sur ${- 1,1}$ et $S = X_{1} + \dots + X_{n}$ .

(a)

Déterminer la loi de $Y_{i} = (X_{i} + 1) / 2$ .
(b)

En déduire la loi de $S$ .

Solution

(a)

La variable aléatoire $Y_{i}$ prend ses valeurs dans ${0,1}$ et

$P (Y_{i} = 1) = P (X_{i} = 1) = \frac{1}{2} .$

La variable $Y_{i}$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $1 / 2$ .
(b)

Les variables $X_{1}, \dots, X_{n}$ étant indépendantes, il en est de même des variables $Y_{1}, \dots, Y_{n}$ . On sait alors que la variable $T = Y_{1} + \dots + Y_{n}$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $1 / 2$ . Puisque $S = 2 T - n$ , on peut déduire la loi de $T$ de celle de $S$ .

La variable $S$ prend ses valeurs dans ${2 k - n | k \in ⟦ 0; n ⟧}$ et

$P (S = 2 k - n) = P (T = k) = (\binom{n}{k}) \frac{1}{2^{k}} \cdot \frac{1}{2^{n - k}} = \frac{1}{2^{n}} (\binom{n}{k}) .$

Exercice 3 4624

Soient $X_{1}, \dots, X_{n}$ des variables aléatoires indépendantes suivant chacune une même loi de Bernoulli de paramètre $p \in [0; 1]$ . On forme $U$ la colonne de $ℳ_{n, 1} (ℝ)$ dont les éléments sont les valeurs respectives des variables $X_{1}, \dots, X_{n}$ .

Donner la probabilité que $M = U U^{⊤}$ soit une matrice de projection.

Exercice 4 3836

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $⟦ 0; n ⟧$ . On suppose qu’il existe un réel $a$ tel que

P (X = k) = \frac{a}{k! (n - k)!} pour tout k \in ⟦ 0; n ⟧ .

Calculer l’espérance et la variance de $X$ .

Exercice 5 3369

Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale paramètres $n \in ℕ^{*}$ et $p \in] 0; 1 [$ .

Pour quelle valeur de l’entier $k \in ⟦ 0; n ⟧$ , la probabilité $P (X = k)$ est-elle maximale?

Exercice 6 5849 Correction

On effectue $n$ tirages successifs avec remise dans une contenant des boules blanches, rouges et vertes en proportion $p$ , $q$ et $r$ (avec $p + q + r = 1$ ).

On note $X$ et $Y$ les nombres de boules blanches et rouges obtenues.

(a)

Déterminer les lois des variables $X$ , $Y$ et $(X, Y)$ .
(b)

Les variables $X$ et $Y$ sont elles indépendantes?

Solution

(a)

Si l’on considère que tirer une boule blanche est un succès, la variable $X$ compte le nombre de succès lors de la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre $p$ . La variable $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ . De même, $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $q$ .

La variable $(X, Y)$ prend ses valeurs dans ${(k, ℓ) \in ℕ^{2} | k + ℓ \leq n}$ .

Soit $(k, ℓ)$ un couple de cet ensemble. Calculons $P (X = k, Y = ℓ)$ .

Par la formule des probabilités composées,

$P (X = k, Y = ℓ) = P (X = k) P (Y = ℓ ∣ X = k) .$

Pour la probabilité conditionnelle $P_{(X = k)}$ , la variable $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n - k$ et $q / (q + r)$ (car il s’agit de tirages dans une urne contenant uniquement des boules rouges et vertes). On a donc

$P (X = k, Y = ℓ)$ $= (\binom{n}{k}) (\binom{n - k}{ℓ}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k} \frac{q^{ℓ}}{{(q + r)}^{ℓ}} {(\frac{r}{(q + r)})}^{n - k - ℓ}$

$= \frac{n!}{k! ℓ! (n - k - ℓ)!} p^{k} q^{ℓ} r^{n - k - ℓ} .$
(b)

Les variables $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes car $P (X = n, Y = n) = 0$ alors que $P (X = n) P (Y = n) > 0$ .

Exercice 7 3846 Correction

Soit $X$ une variable aléatoire binomiale de paramètres $n$ et $p$ avec $p \in] 0; 1 [$ . On note

b (k, n, p) = P (X = k) .

(a)

Pour quelle valeur $m$ de $k$ , le coefficient $b (k, n, p)$ est-il maximal?
(b)

Étudier la monotonie de la fonction $f : x \mapsto x^{m} {(1 - x)}^{n - m}$ sur $[0; 1]$ .
(c)

Vérifier que si $m \in [n p; (n + 1) p]$ alors

$b (m, n, \frac{m}{n + 1}) \leq b (m, n, p) \leq b (m, n, \frac{m}{n}) .$
(d)

Proposer en encadrement analogue pour $m \in [(n + 1) p - 1; n p]$ .
(e)

On donne la formule de Stirling

$n! \sim \sqrt{2 π n} n^{n} e^{- n} .$

Donner un équivalent simple de $b (m, n, p)$ .

Solution

Rappelons

b (k, n, p) = (\binom{n}{k}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k} .

(a)

Pour $k \in ⟦ 1; n ⟧$ , on a

$\frac{b (k, n, p)}{b (k - 1, n, p)} = \frac{n + 1 - k}{k} \frac{p}{1 - p}$

donc

$\frac{b (k, n, p)}{b (k - 1, n, p)} \geq 1 \Leftrightarrow k \leq (n + 1) p .$

La suite finie ${(b (k, n, p))}_{0 \leq k \leq n}$ est donc croissante jusqu’au plus grand entier $m$ inférieur à $(n + 1) p$ puis devient décroissante ensuite. On peut donc affirmer

$m = ⌊ (n + 1) p ⌋ .$
(b)

La fonction $f$ est dérivable avec

$f^{'} (x) = (m - n x) x^{m - 1} {(1 - x)}^{n - m - 1} .$

La fonction $f$ est donc croissante sur $[0; m / n]$ et décroissante sur $[m / n; 1]$ .
(c)

Si $m \in [n p; (n + 1) p]$ alors $m / (n + 1) \leq p \leq m / n$ et puisque $f$ est croissante sur $[0; m / n]$

$f (m / (n + 1)) \leq f (p) \leq f (m / n)$

ce qui conduit à l’encadrement demandé.
(d)

Si $m \in [(n + 1) p - 1; n p]$ alors $m / n \leq p \leq (m + 1) / (n + 1)$ et par décroissance de $f$ sur $[m / n; 1]$ , on obtient

$b (m, n, \frac{m + 1}{n + 1}) \leq b (m, n, p) \leq b (m, n, \frac{m}{n}) .$
(e)

Quand $n \to + \infty$ , on a $m = ⌊ (n + 1) p ⌋ \sim n p \to + \infty$ et $n - m \sim n (1 - p) \to + \infty$ ce qui permet d’écrire simultanément

$n! \sim \sqrt{2 π n} n^{n} e^{- n}, m! \sim \sqrt{2 π m} m^{m} e^{- m} et$

$(n - m)! \sim \sqrt{2 π (n - m)} {(n - m)}^{n - m} e^{n - m} .$

On en déduit après calcul

$b (m, n, \frac{m}{n}) \sim \sqrt{\frac{n}{2 π m (n - m)}} \sim \frac{1}{\sqrt{2 π n p (1 - p)}} .$

On obtient les mêmes équivalents pour

$b (m, n, \frac{m}{n + 1}) et b (m, n, \frac{m + 1}{n + 1})$

et l’on peut donc conclure par encadrement

$b (m, n, p) \sim \frac{1}{\sqrt{2 π n p (1 - p)}} .$

Exercice 8 4125 Correction

Un étudiant résout un QCM constitué de $n$ questions offrant chacune quatre réponses possibles. Pour chaque question, et indépendamment les unes des autres, il a la probabilité $p$ de savoir résoudre celle-ci. Dans ce cas il produit la bonne réponse. Si en revanche, il ne sait pas résoudre la question, il choisit arbitrairement l’une des quatre réponses possibles. On note $X$ la variable aléatoire déterminant le nombre de questions qu’il savait résoudre et $Y$ le nombre de questions qu’il a correctement résolues parmi celles où il a répondu « au hasard ».

(a)

Reconnaître la loi de $Z = X + Y$ .
(b)

Calculer espérance et variance de $Z$ .

Solution

Compte tenu de l’expérience modélisée, on peut affirmer que la variable $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ .

P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k} .

De plus, pour $k \in ⟦ 0; n ⟧$ , si l’événement $(X = k)$ est réalisé, il y a $n - k$ questions pour lesquelles l’étudiant répond au hasard avec une probabilité $1 / 4$ de réussir:

P (Y = j ∣ X = k) = (\binom{n - k}{j}) {(\frac{1}{4})}^{j} {(\frac{3}{4})}^{n - k - j} avec j \in ⟦ 0; n - k ⟧ .

(a)

La variable $Z$ prend ses valeurs dans $⟦ 0; n ⟧$ .
Pour $k \in ⟦ 0; n ⟧$ , l’événement $(Z = k)$ peut être décomposé en la réunion disjointe des événements

$(X = j, Y = k - j) avec j \in {0,1, \dots, k} .$

Ainsi,

$P (Z = k) = \sum_{j = 0}^{k} P (X = j, Y = k - j) .$

Par probabilité composées

$P (X = j, Y = k - j) = P (Y = k - j ∣ X = j) P (X = j) .$

Ainsi,

$P (Z = k) = \sum_{j = 0}^{k} (\binom{n - j}{k - j}) {(\frac{1}{4})}^{k - j} {(\frac{3}{4})}^{n - k} (\binom{n}{j}) p^{j} {(1 - p)}^{n - j} .$

Or

$(\binom{n - j}{k - j}) (\binom{n}{j}) = \frac{n!}{(k - j)! (n - k)! j!} = (\binom{k}{j}) (\binom{n}{k}) .$

On en déduit

$P (Z = k) = (\binom{n}{k}) {(1 - p)}^{n - k} {(\frac{3}{4})}^{n - k} \sum_{j = 0}^{k} (\binom{k}{j}) {(\frac{1}{4} (1 - p))}^{k - j} p^{j} .$

Par la formule du binôme

$P (Z = k) = (\binom{n}{k}) {(1 - p)}^{n - k} {(\frac{3}{4})}^{n - k} {(\frac{1}{4} (1 - p) + p)}^{k} .$

On simplifie

$P (Z = k) = (\binom{n}{k}) q^{k} {(1 - q)}^{n - k} avec q = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} p .$
(b)

On a alors

$E (Z) = \frac{(3 p + 1) n}{4} et V (Z) = \frac{3 n (3 p + 1) (1 - p)}{16} .$

Exercice 9 4615

Le standardiste d’un centre d’appel téléphonique d’un service après-vente a la probabilité $p \in] 0; 1 [$ d’apporter une solution à l’appel d’un client. Lorsqu’il n’y parvient pas, il transmet l’appel à un spécialiste qui a la probabilité $q \in] 0; 1 [$ de résoudre le problème posé. Si ce dernier n’y parvient pas, un réparateur est envoyé au domicile du client.

On suppose que le centre d’appel a été contacté $n$ fois. Déterminer la loi de la variable aléatoire $N$ donnant le nombre d’interventions du réparateur.

Exercice 10 4118 Correction

Un archer tire sur $n$ cibles. À chaque tir, il a la probabilité $p$ de toucher la cible et les tirs sont supposés indépendants. Il tire une première fois sur chaque cible et l’on note $X$ le nombre de cibles atteintes lors de ce premier jet. L’archer tire ensuite une seconde fois sur les cibles restantes et l’on note $Y$ le nombre de cibles touchés lors de cette tentative. Déterminer la loi de la variable $Z = X + Y$ .

Solution

La modélisation entraîne que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ :

P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k} avec k \in ⟦ 0; n ⟧ .

La variable aléatoire $Y$ n’est quant à elle bien connue que lorsque le nombre $n - X$ de cibles restant l’est, elle suit alors une loi de Bernoulli

P (Y = ℓ ∣ X = k) = (\binom{n - k}{ℓ}) p^{ℓ} {(1 - p)}^{n - k - ℓ} avec ℓ \leq n - k .

Par probabilités totales

P (Z = m) = \sum_{k = 0}^{m} P (X = k, Y = m - k) .

Par probabilités composées

P (Z = m) = \sum_{k = 0}^{m} P (X = k) P (Y = m - k ∣ X = k) .

Ceci donne

P (Z = m) = \sum_{k = 0}^{m} (\binom{n}{k}) (\binom{n - k}{m - k}) p^{m} {(1 - p)}^{2 n - k - m} .

(\binom{n}{k}) (\binom{n - k}{m - k}) = \frac{n!}{k! (m - k)! (n - m)!} = (\binom{n}{m}) (\binom{m}{k})

et donc

P (Z = m) = (\binom{n}{m}) p^{m} {(1 - p)}^{2 n - m} \times \sum_{k = 0}^{m} (\binom{m}{k}) {(\frac{1}{1 - p})}^{k} .

Par la formule du binôme

P (Z = m) = (\binom{n}{m}) p^{m} {(1 - p)}^{2 n - m} \frac{{(2 - p)}^{m}}{{(1 - p)}^{m}} = (\binom{n}{m}) q^{m} {(1 - q)}^{n - m}

avec $q = p (2 - p)$ .
La variable $Z$ suit une loi binomiale.

Exercice 11 4191 Correction

Soient $p, q \in] 0; 1 [$ .

(a)

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Bernoulli de paramètres $p$ et $q$ . Identifier la loi suivie par la variable $Z = \max (X, Y)$ .

Deux archers tirent indépendamment sur $n$ cibles. À chaque tir, le premier archer a la probabilité $p$ de toucher, le second la probabilité $q$ .

(b)

Quelle est la loi suivie par le nombre de cibles touchées au moins une fois?
(c)

Quelle est la loi suivie par le nombre de cibles touchées deux fois?

Solution

(a)

$Z (Ω) \subset {0,1}$ et $P (Z = 0) = P (X = 0, Y = 0)$ . Par indépendance

$P (Z = 0) = P (X = 0) P (Y = 0) = (1 - p) (1 - q) .$

On en déduit que $Z$ suit une loi de Bernoulli de paramètre

$r = 1 - (1 - p) (1 - q) = p + q - p q .$
(b)

Numérotons les cibles de $1$ à $n$ et définissons les variables aléatoires $X_{i}$ et $Y_{i}$ déterminant si la cible $i$ est touchée par l’un ou l’autre des deux archers. Ces variables sont indépendantes, $X_{i}$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ et $Y_{i}$ de paramètre $q$ . La variable $Z_{i} = \max (X_{i}, Y_{i})$ détermine si une cible a été touchée au moins une fois. Le nombre de cibles touchées au moins une fois est donc

$N = \sum_{i = 1}^{n} Z_{i} .$

Les variables $Z_{i}$ étant indépendantes, la variable $N$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $r = p + q - p q$ .
(c)

On pose $T_{i} = X_{i} Y_{i}$ : $T_{i}$ est une variable de Bernoulli qui indique si la cible $i$ est touchée deux fois. Par indépendance, $T_{i}$ suit une loi de paramètre $p q$ et le nombre $M$ de cibles touchées deux fois suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p q$ .

Exercice 12 4614

Deux archers tirent indépendamment sur $n$ cibles. À chaque tir, le premier archer a la probabilité $p$ de toucher et le second la probabilité $q$ .

Quelle est la loi suivie par le nombre de cibles touchées au moins une fois?

Exercice 13 4626

(Théorème de Weierstrass)

Soit $f : [0; 1] \to ℝ$ une fonction de classe $𝒞^{1}$ .

Pour $n \in ℕ^{*}$ et $x \in [0; 1]$ , on introduit une variable aléatoire $X_{n} = S_{n} / n$ où $S_{n}$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $x$ .

(a)

Vérifier que $B_{n} (f) : x \mapsto E (f (X_{n}))$ est une fonction polynomiale sur $[0; 1]$ .
(b)

Justifier l’existence de deux réels $M, M^{'} \in ℝ_{+}$ vérifiant

$\forall x \in [0; 1], | f (x) | \leq M et \forall (x, y) \in {[0; 1]}^{2}, | f (y) - f (x) | \leq M^{'} | y - x | .$
(c)

Soient $x \in [0; 1]$ , $α > 0$ et l’événement $A_{n} = (| X_{n} - x | \leq α)$ . Montrer

$E (| f (X_{n}) - f (x) | 1_{A_{n}}) \leq M^{'} α et E (| f (X_{n}) - f (x) | 1_{\bar{A_{n}}}) \leq \frac{M}{2 n α^{2}} .$
(d)

En déduire

$sup_{x \in [0; 1]} | B_{n} (f) (x) - f (x) | \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

[<] Calcul de loi [>] Indépendance de variables aléatoires

Édité le 18-06-2024

	$P (X = k, Y = ℓ)$	$= (\binom{n}{k}) (\binom{n - k}{ℓ}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k} \frac{q^{ℓ}}{{(q + r)}^{ℓ}} {(\frac{r}{(q + r)})}^{n - k - ℓ}$
		$= \frac{n!}{k! ℓ! (n - k - ℓ)!} p^{k} q^{ℓ} r^{n - k - ℓ} .$

	$n! \sim \sqrt{2 π n} n^{n} e^{- n}, m! \sim \sqrt{2 π m} m^{m} e^{- m} et$
	$(n - m)! \sim \sqrt{2 π (n - m)} {(n - m)}^{n - m} e^{n - m} .$

Loi binomiale