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Exercice 1  3975  Correction  

Une variable aléatoire X suit une loi binomiale de taille n et de paramètre p.
Quelle est la loi suivie par la variable Y=n-X?

Solution

X(Ω)=Y(Ω)=0;n. Pour k0;n,

P(X=k)=(nk)pk(1-p)n-k

donc

P(Y=k)=P(X=n-k)=(nk)pn-k(1-p)k.

La variable aléatoire Y suit une loi binomiale de taille n et de paramètre q=1-p.

 
Exercice 2  3836  

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans 0;n. On suppose qu’il existe un réel a tel que

P(X=k)=ak!(n-k)!pour tout k0;n.

Calculer l’espérance et la variance de X.

 
Exercice 3  3369  

Une variable aléatoire X suit une loi binomiale paramètres n* et p]0;1[.

Pour quelle valeur de l’entier k0;n, la probabilité P(X=k) est-elle maximale?

 
Exercice 4  3846   Correction  

Soit X une variable aléatoire binomiale de paramètres n et p avec p]0;1[. On note

b(k,n,p)=P(X=k).
  • (a)

    Pour quelle valeur m de k, le coefficient b(k,n,p) est-il maximal?

  • (b)

    Étudier la monotonie de la fonction f:xxm(1-x)n-m sur [0;1].

  • (c)

    Vérifier que si m[np;(n+1)p] alors

    b(m,n,mn+1)b(m,n,p)b(m,n,mn).
  • (d)

    Proposer en encadrement analogue pour m[(n+1)p-1;np].

  • (e)

    On donne la formule de Stirling

    n!2πnnne-n.

    Donner un équivalent simple de b(m,n,p).

Solution

Rappelons

b(k,n,p)=(nk)pk(1-p)n-k.
  • (a)

    Pour k1;n, on a

    b(k,n,p)b(k-1,n,p)=n+1-kkp1-p

    donc

    b(k,n,p)b(k-1,n,p)1k(n+1)p.

    La suite finie (b(k,n,p))0kn est donc croissante jusqu’au plus grand entier m inférieur à (n+1)p puis devient décroissante ensuite. On peut donc affirmer

    m=(n+1)p.
  • (b)

    La fonction f est dérivable avec

    f(x)=(m-nx)xm-1(1-x)n-m-1.

    La fonction f est donc croissante sur [0;m/n] et décroissante sur [m/n;1].

  • (c)

    Si m[np;(n+1)p] alors m/(n+1)pm/n et puisque f est croissante sur [0;m/n]

    f(m/(n+1))f(p)f(m/n)

    ce qui conduit à l’encadrement demandé.

  • (d)

    Si m[(n+1)p-1;np] alors m/np(m+1)/(n+1) et par décroissance de f sur [m/n;1], on obtient

    b(m,n,m+1n+1)b(m,n,p)b(m,n,mn).
  • (e)

    Quand n+, on a m=(n+1)pnp+ et n-mn(1-p)+ ce qui permet d’écrire simultanément

    n!2πnnne-n,m!2πmmme-m et
    (n-m)!2π(n-m)(n-m)n-men-m.

    On en déduit après calcul

    b(m,n,mn)n2πm(n-m)12πnp(1-p).

    On obtient les mêmes équivalents pour

    b(m,n,mn+1) et b(m,n,m+1n+1)

    et l’on peut donc conclure par encadrement

    b(m,n,p)12πnp(1-p).
 
Exercice 5  4125   Correction  

Un étudiant résout un QCM constitué de n questions offrant chacune quatre réponses possibles. Pour chaque question, et indépendamment les unes des autres, il a la probabilité p de savoir résoudre celle-ci. Dans ce cas il produit la bonne réponse. Si en revanche, il ne sait pas résoudre la question, il choisit arbitrairement l’une des quatre réponses possibles. On note X la variable aléatoire déterminant le nombre de questions qu’il savait résoudre et Y le nombre de questions qu’il a correctement résolues parmi celles où il a répondu «  au hasard  ».

  • (a)

    Reconnaître la loi de Z=X+Y.

  • (b)

    Calculer espérance et variance de Z.

Solution

Compte tenu de l’expérience modélisée, on peut affirmer que la variable X suit une loi binomiale de paramètres n et p.

P(X=k)=(nk)pk(1-p)n-k.

De plus, pour k0;n, si l’événement (X=k) est réalisé, il y a n-k questions pour lesquelles l’étudiant répond au hasard avec une probabilité 1/4 de réussir:

P(Y=jX=k)=(n-kj)(14)j(34)n-k-j avec j0;n-k.
  • (a)

    La variable Z prend ses valeurs dans 0;n.
    Pour k0;n, l’événement (Z=k) peut être décomposé en la réunion disjointe des événements

    (X=j,Y=k-j) avec j{0,1,,k}.

    Ainsi,

    P(Z=k)=j=0kP(X=j,Y=k-j).

    Par probabilité composées

    P(X=j,Y=k-j)=P(Y=k-jX=j)P(X=j).

    Ainsi,

    P(Z=k)=j=0k(n-jk-j)(14)k-j(34)n-k(nj)pj(1-p)n-j.

    Or

    (n-jk-j)(nj)=n!(k-j)!(n-k)!j!=(kj)(nk).

    On en déduit

    P(Z=k)=(nk)(1-p)n-k(34)n-kj=0k(kj)(14(1-p))k-jpj.

    Par la formule du binôme

    P(Z=k)=(nk)(1-p)n-k(34)n-k(14(1-p)+p)k.

    On simplifie

    P(Z=k)=(nk)qk(1-q)n-k avec q=14+34p.
  • (b)

    On a alors

    E(Z)=(3p+1)n4 et V(Z)=3n(3p+1)(1-p)16.
 
Exercice 6  4615   

Le standardiste d’un centre d’appel téléphonique d’un service après-vente a la probabilité p]0;1[ d’apporter une solution à l’appel d’un client. Lorsqu’il n’y parvient pas, il transmet l’appel à un spécialiste qui a la probabilité q]0;1[ de résoudre le problème posé. Si ce dernier n’y parvient pas, un réparateur est envoyé au domicile du client.

On suppose que le centre d’appel a été contacté n fois. Déterminer la loi de la variable aléatoire N donnant le nombre d’interventions du réparateur.

 
Exercice 7  4118   Correction  

Un archer tire sur n cibles. À chaque tir, il a la probabilité p de toucher la cible et les tirs sont supposés indépendants. Il tire une première fois sur chaque cible et l’on note X le nombre de cibles atteintes lors de ce premier jet. L’archer tire ensuite une seconde fois sur les cibles restantes et l’on note Y le nombre de cibles touchés lors de cette tentative. Déterminer la loi de la variable Z=X+Y.

Solution

La modélisation entraîne que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p:

P(X=k)=(nk)pk(1-p)n-k avec k0;n.

La variable aléatoire Y n’est quant à elle bien connue que lorsque le nombre n-X de cibles restant l’est, elle suit alors une loi de Bernoulli

P(Y=X=k)=(n-k)p(1-p)n-k- avec n-k.

Par probabilités totales

P(Z=m)=k=0mP(X=k,Y=m-k).

Par probabilités composées

P(Z=m)=k=0mP(X=k)P(Y=m-kX=k).

Ceci donne

P(Z=m)=k=0m(nk)(n-km-k)pm(1-p)2n-k-m.

Or

(nk)(n-km-k)=n!k!(m-k)!(n-m)!=(nm)(mk)

et donc

P(Z=m)=(nm)pm(1-p)2n-m×k=0m(mk)(11-p)k.

Par la formule du binôme

P(Z=m)=(nm)pm(1-p)2n-m(2-p)m(1-p)m=(nm)qm(1-q)n-m

avec q=p(2-p).
La variable Z suit une loi binomiale.

 
Exercice 8  4191   Correction  

Soient p,q]0;1[.

  • (a)

    Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Bernoulli de paramètres p et q. Identifier la loi suivie par la variable Z=max(X,Y).

Deux archers tirent indépendemment sur n cibles. À chaque tir, le premier archer a la probabilité p de toucher, le second la probabilité q.

  • (b)

    Quelle est la loi suivie par le nombre de cibles touchées au moins une fois?

  • (c)

    Quelle est la loi suivie par le nombre de cibles touchées deux fois?

Solution

  • (a)

    Z(Ω){0,1} et P(Z=0)=P(X=0,Y=0). Par indépendance

    P(Z=0)=P(X=0)P(Y=0)=(1-p)(1-q).

    On en déduit que Z suit une loi de Bernoulli de paramètre

    r=1-(1-p)(1-q)=p+q-pq.
  • (b)

    Numérotons les cibles de 1 à n et définissons les variables aléatoires Xi et Yi déterminant si la cible i est touchée par l’un ou l’autre des deux archers. Ces variables sont indépendantes, Xi suit une loi de Bernoulli de paramètre p et Yi de paramètre q. La variable Zi=max(Xi,Yi) détermine si une cible a été touchée au moins une fois. Le nombre de cibles touchées au moins une fois est donc

    N=i=1nZi.

    Les variables Zi étant indépendantes, la variable N suit une loi binomiale de paramètres n et r=p+q-pq.

  • (c)

    On pose Ti=XiYi: Ti est une variable de Bernoulli qui indique si la cible i est touchée deux fois. Par indépendance, Ti suit une loi de paramètre pq et le nombre M de cibles touchées deux fois suit une loi binomiale de paramètres n et pq.

 
Exercice 9  4614   

Deux archers tirent indépendamment sur n cibles. À chaque tir, le premier archer a la probabilité p de toucher et le second la probabilité q.

Quelle est la loi suivie par le nombre de cibles touchées au moins une fois?

 
Exercice 10  4624  

Soient X1,,Xn des variables aléatoires indépendantes suivant toutes une même loi de Bernoulli de paramètre p[0;1]. On forme U la colonne de n,1() dont les éléments sont les valeurs respectives des variables X1,,Xn.

Donner la probabilité que M=UUt soit une matrice de projection.

 
Exercice 11  4626    

(Théorème de Weierstrass)

Soit f:[0;1] une fonction de classe 𝒞1.

Pour n* et x[0;1], on introduit une variable aléatoire Xn=Sn/nSn suit une loi binomiale de paramètres n et x.

  • (a)

    Vérifier que Bn(f):xE(f(Xn)) est une fonction polynomiale sur [0;1].

  • (b)

    Justifier l’existence de deux réels M,M+ vérifiant

    x[0;1],|f(x)|Met(x,y)[0;1]2,|f(y)-f(x)|M|y-x|.
  • (c)

    Soient x[0;1], α>0 et l’événement An=(|Xn-x|α). Montrer

    E(|f(Xn)-f(x)|1An)MαetE(|f(Xn)-f(x)|1An¯)M2nα2.
  • (d)

    En déduire

    supx[0;1]|Bn(f)(x)-f(x)|n+0.

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Édité le 08-11-2019

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