[<] Loi conjointe [>] Calcul d'espérances et de variances
Soit une variable aléatoire prenant ses valeurs dans . Établir
Soit
Soit une variable aléatoire prenant ses valeurs dans . Établir
Application : Soient et deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme sur . Calculer l’espérance de la variable .
Solution
Notons . On a par définition
Or donc
donc
Par décalage d’indice dans la première somme
En supprimant le dernier terme assurément nul de la deuxième somme et en y ajoutant un terme nul correspondant à l’indice 0
Enfin, en combinant ces sommes
On applique la formule précédente en remarquant
Par indépendance des variables et ,
Par renversement d’indice,
Soit une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé fini. Établir
Solution
Par la formule de Huygens,
Soient et deux variables aléatoires réelles. On suppose que pour tout .
Montrer que les variables et suivent les mêmes lois.
Deux variables aléatoires réelles indépendantes et prennent leurs valeurs dans un ensemble et suivent une même loi.
Soient et deux fonctions réelles croissantes définies sur . En étudiant l’espérance de , établir
Application : On suppose que prend ses valeurs dans . Montrer
(Fonction caractéristique)
Dans cet exercice, les variables aléatoires sont toutes supposées prendre un nombre fini de valeurs dans .
On appelle fonction caractéristique d’une variable aléatoire l’application définie par
Vérifier que est -périodique et de classe .
Calculer . Comment interpréter et ?
Calculer la fonction caractéristique d’une variable suivant une loi de Bernoulli de paramètre .
Même question avec une loi binomiale de paramètres et .
Soient une variable aléatoire réelle et un entier. Vérifier
En déduire
Soient et deux variables aléatoires indépendantes. Vérifier
Exploiter ce résultat pour retrouver la fonction caractéristique d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale.
Solution
Notons les valeurs (entières) prises par . On a
La fonction est alors combinaison linéaire de fonctions -périodiques (car ) et de classe .
Si suit une loi de Bernoulli de paramètre
Si suit une loi binomiale de paramètres et
Avec les notations qui précèdent
Puisque est un entier
et donc
Si alors
et donc et suivent la même loi.
Notons que prend ses valeurs dans comme et .
car les variables et sont supposées indépendantes.
Une loi binomiale de paramètres et peut se comprendre comme la somme de loi de Bernoulli indépendantes de paramètre .
Avec cet exercice, on perçoit la trace dans une situation particulière de résultats beaucoup plus généraux. Il est assez fréquent d’étudier une variable aléatoire par la fonction caractéristique associée.
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Édité le 29-08-2023
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