[<] Loi conjointe [>] Calcul d'espérances et de variances

 
Exercice 1  4616   

Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans 0;n. Établir

E(X)=k=1nP(Xk).
 
Exercice 2  3835   Correction  

Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans {0,1,,N}.
Établir

E(X)=n=0N-1P(X>n).

Solution

Notons pn=P(X=n). On a par définition

E(X)=n=0Nnpn=n=1Nnpn.

Or {X=n}={X>n-1}{X>n} donc

pn=P(X>n-1)-P(X>n)

donc

E(X)=n=1NnP(X>n-1)-n=1NnP(X>n).

Par décalage d’indice dans la première somme

E(X)=n=0N-1(n+1)P(X>n)-n=1NnP(X>n).

En supprimant le dernier terme assurément nul de la deuxième somme et en y ajoutant un terme nul correspondant à l’indice 0

E(X)=n=0N-1(n+1)P(X>n)-n=0N-1nP(X>n).

Enfin, en combinant ces sommes

E(X)=n=0N-1P(X>n).
 
Exercice 3  3833  Correction  

Soit X une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé fini. Établir

E(X)2E(X2).

Solution

Par la formule de Huygens,

V(X)=E((X-E(X)2))=E(X2)-E(X)20.
 
Exercice 4  3992   

Soient X1 et X2 deux variables aléatoires réelles. On suppose que E(X1k)=E(X2k) pour tout k. Montrer que les variables X1 et X2 suivent les mêmes lois.

 
Exercice 5  4617   

Deux variables aléatoires réelles indépendantes X et Y prennent leurs valeurs dans un ensemble E et suivent une même loi.

  • (a)

    Soient f et g deux fonctions réelles croissantes définies sur E. En étudiant l’espérance de Z=(f(Y)-f(X))(g(Y)-g(X)), établir

    E(f(X)g(X))E(f(X))E(g(X)).
  • (b)

    Application: On suppose que X prend ses valeurs dans E+*. Montrer

    E(X)E(1X)1.
 
Exercice 6  3847   Correction  

Dans cet exercice, les variables aléatoires sont toutes supposées prendre leurs valeurs dans .
On appelle fonction caractéristique d’une variable aléatoire X l’application φX: définie par

φX(u)=E(eiuX).
  • (a)

    Vérifier que φX est 2π-périodique et de classe 𝒞.
    Calculer φX(0). Comment interpréter φX(0) et φX′′(0)?

  • (b)

    Calculer la fonction caractéristique d’une variable X suivant une loi de Bernoulli de paramètre p.
    Même question avec une loi binomiale de paramètres n et p.

  • (c)

    Soient X une variable aléatoire réelle et x0 un entier. Vérifier

    P(X=x0)=12π02πφX(u)e-iux0du.

    En déduire

    φX=φYX et Y suivent la même loi.
  • (d)

    Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes. Vérifier

    φX+Y=φXφY.
  • (e)

    Exploiter ce résultat pour retrouver la fonction caractéristique d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale.

Solution

  • (a)

    Notons x1,,xn les valeurs (entières) prises par X. On a

    φX(u)=k=1neiuxkP(X=xk).

    La fonction φX est alors combinaison linéaire de fonctions 2π-périodiques (car xk) et de classe 𝒞.

    φX(0)=E(1)=1,φX(0)=k=1nixkP(X=xk)=iE(X) et φX′′(0)=-E(X2).
  • (b)

    Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p

    φX(u)=(1-p)+peiu.

    Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p

    φX(u)=k=0n(nk)pk(1-p)n-keiku=(1-p+peiu)n.
  • (c)

    Avec les notations qui précèdent

    02πφX(u)e-iux0du=k=0nP(X=xk)02πeiu(xk-x0)du.

    Puisque xk-x0 est un entier

    02πeiu(xk-x0)du={0 si xkx02π si xk=x0

    et donc

    02πφX(u)e-iux0du=2πP(X=x0).

    Si φX=φY alors

    x0,P(X=x0)=P(Y=x0)

    et donc X et Y suivent la même loi.

  • (d)

    Notons que X+Y prend ses valeurs dans comme X et Y.

    φX+Y(u)=E(eiu(X+Y))=E(eiuXeiuY)=E(eiuX)E(eiuY)=φX(u)φY(u)

    car les variables X et Y sont supposées indépendantes.

  • (e)

    Une loi binomiale de paramètres n et p peut se comprendre comme la somme de n loi de Bernoulli indépendantes de paramètre p.
    Avec cet exercice, on perçoit la trace dans une situation particulière de résultats beaucoup plus généraux. Il est assez fréquent d’étudier une variable aléatoire par la fonction caractéristique associée.

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Édité le 08-11-2019

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