Exercice 1 3974 Correction

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires finies sur un espace $Ω$ . On suppose

\forall (x, y) \in X (Ω) \times Y (Ω), P (X = x, Y = y) = P (X = x) P (Y = y) .

Montrer que les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Solution

Soient $A \subset {x_{1}, \dots, x_{n}}$ et $B \subset {y_{1}, \dots y_{m}}$ . On a

(X = A) \cap (Y = B) = (⋃_{x \in A} X = x) \cap (⋃_{y \in B} Y = y) .

En développant

(X = A) \cap (Y = B) = ⋃_{(x, y) \in A \times B} (X = x) \cap (Y = y) .

Cette réunion étant disjointe

P (X = A, Y = B) = \sum_{(x, y) \in A \times B} P (X = x) P (Y = y)

et donc

P (X = A, Y = B) = \sum_{x \in A} P (X = x) \sum_{y \in B} P (Y = y) .

Finalement,

P (X = A, Y = B) = P (X = A) P (Y = B) .

Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont donc bien indépendantes.

Exercice 2 4618

Deux joueurs lancent chacun $n$ fois une pièce équilibrée. On note $X$ le nombre de côtés faces obtenus par le premier joueur et $Y$ celui du second.

(a)

Calculer $P (X = Y)$ .
(b)

En déduire $P (X \leq Y)$ .

Exercice 3 3825 Correction

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires prenant pour valeurs $a_{1}, \dots, a_{n}$ avec

P (X = a_{i}) = P (Y = a_{i}) = p_{i} .

On suppose que les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes.
Montrer que

P (X \neq Y) = \sum_{i = 1}^{n} p_{i} (1 - p_{i}) .

Solution

L’événement ${X = Y}$ se décompose en les événements incompatibles ${X = a_{i} \cap Y = a_{i}}$ .
Par hypothèse d’indépendance

P ({X = a_{i} \cap Y = a_{i}}) = P ({X = a_{i}}) P ({Y = a_{i}}) = p_{i}^{2}

donc

P ({X = Y}) = \sum_{i = 1}^{n} p_{i}^{2}

puis par complémentation

P ({X \neq Y}) = 1 - \sum_{i = 1}^{n} p_{i}^{2} .

Enfin, on conclut sachant

1 = \sum_{i = 1}^{n} p_{i} .

Exercice 4 3973 Correction

Montrer que deux évènements sont indépendants si, et seulement si, leurs fonctions indicatrices définissent des variables aléatoires indépendantes.

Solution

Soient $A, B$ deux évènements de l’espace probabilisé $(Ω, P)$ .
Supposons les fonctions indicatrices $1_{A}$ et $1_{B}$ indépendantes. On a

P (1_{A} = {1,1}_{B} = 1) = P (1_{A} = 1) P (1_{B} = 1)

ce qui se relit

P (A \cap B) = P (A) P (B) .

Inversement, supposons les évènements $A$ et $B$ indépendants. On sait qu’alors

P (A \cap B) = P (A) P (B), P (\bar{A} \cap B) = P (\bar{A}) P (B), .

P (A \cap \bar{B}) = P (A) P (\bar{B}) et P (\bar{A} \cap \bar{B}) = P (\bar{A}) P (\bar{B}) .

Ceci se relit

	$P (1_{A} = {1,1}_{B} = 1)$	$= P (1_{A} = 1) P (1_{B} = 1),$
	$P (1_{A} = {0,1}_{B} = 1)$	$= P (1_{A} = 0) P (1_{B} = 1),$
	$P (1_{A} = {1,1}_{B} = 0)$	$= P (1_{A} = 1) P (1_{B} = 0) et$
	$P (1_{A} = {0,1}_{B} = 0)$	$= P (1_{A} = 0) P (1_{B} = 0) .$

On en déduit que les variables aléatoires $1_{A}$ et $1_{B}$ sont indépendantes.

Exercice 5 3818 Correction

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles indépendantes.
Les variables aléatoires $X + Y$ et $X - Y$ sont-elles indépendantes?

Solution

La réponse est négative en général.
Supposons que $X$ et $Y$ suivent des lois de Bernoulli de paramètre $1 / 2$ .
On a

P (X + Y = 2) = P (X = 1) P (Y = 1) = 1 / 4

P (X - Y = 0) = P (X = 0) P (Y = 0) + P (X = 1) P (Y = 1) = 1 / 2 .

Or l’événement $X + Y = 2$ est inclus dans l’événement $X - Y = 0$ donc

P (X + Y = 2 \cap X - Y = 0) = P (X + Y = 2)

et l’on constate

P (X + Y = 2 \cap X - Y = 0) \neq P (X + Y = 2) P (X - Y = 0) .

Exercice 6 3981 Correction

Soient $X$ une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé fini $(Ω, P)$ et $f$ une application définie sur $X (Ω)$ .

À quelle condition les variables aléatoires $X$ et $f (X)$ sont-elles indépendantes?

Solution

Supposons les variables aléatoires $X$ et $f (X)$ indépendantes.

Soit $ω \in Ω$ vérifiant $P ({ω}) > 0$ . Posons $x = X (ω)$ et $y = f (x)$ .

On a

P (f (X) = y ∣ X = x) = \frac{P (f (X) = y \cap X = x)}{P (X = x)} .

Or ${X = x} \subset {f (X) = y}$ , donc

P (f (X) = y ∣ X = x) = 1 .

Cependant, les variables $X$ et $f (X)$ étant supposées indépendantes

P (f (X) = y ∣ X = x) = P (f (X) = y) .

Ainsi, $f (X) = y$ presque sûrement.

La réciproque est immédiate et donc $X$ et $f (X)$ sont indépendantes si, et seulement si, $f (X)$ est presque sûrement constante.

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Édité le 29-08-2023

Indépendance de variables aléatoires