[<] Loi binomiale [>] Loi conjointe

 
Exercice 1  3974  Correction  

Soient X et Y deux variables aléatoires finies sur un espace Ω. On suppose

(x,y)X(Ω)×Y(Ω),P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y).

Montrer que les variables X et Y sont indépendantes.

Solution

Soient A{x1,,xn} et B{y1,ym}. On a

(X=A)(Y=B)=(xAX=x)(yBY=y).

En développant

(X=A)(Y=B)=(x,y)A×B(X=x)(Y=y).

Cette réunion étant disjointe

P(X=A,Y=B)=(x,y)A×BP(X=x)P(Y=y)

et donc

P(X=A,Y=B)=xAP(X=x)yBP(Y=y).

Finalement,

P(X=A,Y=B)=P(X=A)P(Y=B).

Les variables aléatoires X et Y sont donc bien indépendantes.

 
Exercice 2  4618  

Deux joueurs lancent chacun n fois une pièce équilibrée. On note X le nombre de côtés faces obtenus par le premier joueur et Y celui du second.

  • (a)

    Calculer P(X=Y).

  • (b)

    En déduire P(XY).

 
Exercice 3  3825  Correction  

Soient X et Y deux variables aléatoires prenant pour valeurs a1,,an avec

P(X=ai)=P(Y=ai)=pi.

On suppose que les variables X et Y sont indépendantes.
Montrer que

P(XY)=i=1npi(1-pi).

Solution

L’événement {X=Y} se décompose en les événements incompatibles {X=aiY=ai}.
Par hypothèse d’indépendance

P({X=aiY=ai})=P({X=ai})P({Y=ai})=pi2

donc

P({X=Y})=i=1npi2

puis par complémentation

P({XY})=1-i=1npi2.

Enfin, on conclut sachant

1=i=1npi.
 
Exercice 4  3973  Correction  

Montrer que deux évènements sont indépendants si, et seulement si, leurs fonctions indicatrices définissent des variables aléatoires indépendantes.

Solution

Soient A,B deux évènements de l’espace probabilisé (Ω,P).
Supposons les fonctions indicatrices 1A et 1B indépendantes. On a

P(1A=1,1B=1)=P(1A=1)P(1B=1)

ce qui se relit

P(AB)=P(A)P(B).

Inversement, supposons les évènements A et B indépendants. On sait qu’alors

P(AB)=P(A)P(B),P(A¯B)=P(A¯)P(B),.
P(AB¯)=P(A)P(B¯) et P(A¯B¯)=P(A¯)P(B¯).

Ceci se relit

P(1A=1,1B=1) =P(1A=1)P(1B=1),
P(1A=0,1B=1) =P(1A=0)P(1B=1),
P(1A=1,1B=0) =P(1A=1)P(1B=0) et
P(1A=0,1B=0) =P(1A=0)P(1B=0).

On en déduit que les variables aléatoires 1A et 1B sont indépendantes.

 
Exercice 5  3818   Correction  

Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes.
Les variables aléatoires X+Y et X-Y sont-elles indépendantes?

Solution

La réponse est négative en général.
Supposons que X et Y suivent des lois de Bernoulli de paramètre 1/2.
On a

P(X+Y=2)=P(X=1)P(Y=1)=1/4

et

P(X-Y=0)=P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=1)=1/2.

Or l’événement X+Y=2 est inclus dans l’événement X-Y=0 donc

P(X+Y=2X-Y=0)=P(X+Y=2)

et l’on constate

P(X+Y=2X-Y=0)P(X+Y=2)P(X-Y=0).
 
Exercice 6  3981   Correction  

Soient X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé fini (Ω,P) et f une application définie sur X(Ω).
À quelle condition les variables aléatoires X et f(X) sont-elles indépendantes?

Solution

Supposons les variables aléatoires X et f(X) indépendantes.
Soient ωΩ vérifiant P({ω})>0.
Posons x=X(ω) et y=f(x).
On a

P(f(X)=yX=x)=P(f(X)=yX=x)P(X=x).

Or {X=x}{f(X)=y}, donc

P(f(X)=yX=x)=1.

Cependant, les variables X et f(X) étant supposées indépendantes

P(f(X)=yX=x)=P(f(X)=y).

Ainsi, f(X)=y presque sûrement.
La réciproque est immédiate et donc X et f(X) sont indépendantes si, et seulement si, f(X) est presque sûrement constante.

[<] Loi binomiale [>] Loi conjointe



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax